對(duì)接已有經(jīng)驗(yàn) 趨向數(shù)理認(rèn)知
——三種“認(rèn)識(shí)射線”教學(xué)方式的分析與思考

沈 俊

【案例呈現(xiàn)】

射線的主要幾何屬性有三個(gè)——直的、有一個(gè)端點(diǎn)、無限長(zhǎng)。由于缺乏相應(yīng)的生活積累和數(shù)理經(jīng)驗(yàn)，小學(xué)生認(rèn)識(shí)射線需要解決這樣一些問題：射線和線段有什么關(guān)聯(lián)？生活中存在射線嗎？“無限長(zhǎng)”是什么樣子的？怎樣畫出一條射線？……概而言之：怎樣以有限來表達(dá)無限？為了突破前述認(rèn)知難點(diǎn)，教師執(zhí)教時(shí)通常會(huì)將手電筒、激光筆、激光測(cè)距儀等器具引入課堂，讓學(xué)生在觀察、想象、對(duì)話、描摹等活動(dòng)中明晰射線的幾何特征。但是，由于師生之間的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、信息不對(duì)稱，常常會(huì)出現(xiàn)課堂互懟的情況，令人深思。

［案例1］神器未必“神”

師：老師今天帶了一個(gè)“神器”來上課，想知道是什么嗎？

生：想！

師：看，這是一支激光筆。老師打開激光筆，投在黑板上，你看到了什么？

生：一個(gè)很亮很亮的點(diǎn)。

師：對(duì)！激光筆的發(fā)射端和這個(gè)亮點(diǎn)之間可以看作一條線段。

為了使學(xué)生看清楚，用噴水壺灑水，呈現(xiàn)出那根“神奇”的線，引出線段，并借機(jī)復(fù)習(xí)線段的基本特征。

師：請(qǐng)同學(xué)們閉上眼睛，發(fā)揮想象力——這根神奇的線具有超強(qiáng)的穿透力，它穿過墻壁，越出學(xué)校，透過云層，射向遙遠(yuǎn)的天空。這條線段形成了一根新的線，只有起點(diǎn)，沒有終點(diǎn)。大家能想象出來嗎？

生1：老師，這根線是有終點(diǎn)的。因?yàn)椴还茉趺窗l(fā)射，它始終會(huì)落在一個(gè)地方。

生2：是啊，再怎么遙遠(yuǎn)的天邊總是會(huì)有東西啊。這個(gè)點(diǎn)也許會(huì)落在一棵樹上、一座山上、另一個(gè)星球上……

生3：對(duì)，那它還是一條線段啊。

教師不知如何應(yīng)答，只能尷尬地轉(zhuǎn)移話題。

點(diǎn)和線在幾何體系里是不證自明的公理性定義，理解這些概念，需要學(xué)習(xí)者聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行感悟。任何一種幾何圖形在生活中都不是絕對(duì)的存在，它們皆是原型的提煉與概括。如線段的生活原型有毛線、筷子、鉛筆、直尺和桌子的邊沿等，但射線的生活原型稀缺，學(xué)生嚴(yán)重缺乏這方面的體驗(yàn)，即使用激光筆等工具來輔助教學(xué)，也難以讓學(xué)習(xí)者克服想象中的束縛——激光筆的能量再強(qiáng)，另一端的點(diǎn)總是會(huì)射在某個(gè)物體上。不得不說，理解射線無限長(zhǎng)的特征的確是教學(xué)難點(diǎn)，在材料呈現(xiàn)順序或語言引導(dǎo)方向上稍有不注意，教學(xué)便會(huì)陷入泥淖難以自拔。

［案例2］想象來助力

蘇教版四上第77 頁提供的學(xué)習(xí)“射線、直線和線段”的主題圖如圖1 所示，它為學(xué)習(xí)射線提供了很好的情境。“射燈”情境既對(duì)接學(xué)生既有的生活經(jīng)驗(yàn)，又為他們理解射線的無限長(zhǎng)提供了資源。“射出的光線”與射線有一些相關(guān)的屬性：射燈的光源可以看作射線的一個(gè)端點(diǎn)；射燈射出去的光線也是直的；射燈射出的光線射向遙遠(yuǎn)的天空，容易使學(xué)習(xí)者建立“無限”的語詞概念，便于他們發(fā)揮數(shù)學(xué)的空間想象。筆者基于教材而教，借助數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮想象力，較好地突破了“認(rèn)識(shí)射線”的教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)流程如下：

（圖1）

（1）呈現(xiàn)主題圖，讓學(xué)生說說這些線的共同點(diǎn)，指明這些線可以看作射線。

（2）利用激光筆溝通射線與線段的聯(lián)系和區(qū)別：激光筆射出的光線和射燈射出的光線都可以看作射線；用黑板擋住激光筆的光線，黑板上的光點(diǎn)與發(fā)射端之間的線可看作一條線段；比較線段和射線的異同。

（3）數(shù)形結(jié)合，深化認(rèn)知：先畫一條10 厘米長(zhǎng)的線段，標(biāo)注好0 和10；緊接著再畫一條10厘米長(zhǎng)的線段，兩條線段共20 厘米長(zhǎng)；再畫一條，該畫多長(zhǎng)呢？一直像這樣畫下去畫得完嗎？（如圖2）

（圖2）

數(shù)直線由“0”開始，數(shù)是無限的，線也可以不斷延伸下去，這就是射線。

（4）嘗試畫射線，比較幾種畫法的異同，體會(huì)無限長(zhǎng)，學(xué)習(xí)以有限表示無限。

教材霓虹燈（射燈）主題情境圖處于一個(gè)開闊的空間，且齊齊射向浩渺的天空，自然而然使人產(chǎn)生無限的空間想象。四年級(jí)學(xué)生具備初步的抽象能力，可以通過觀察、想象、討論等方式來體會(huì)射線的無限長(zhǎng)。教師借助數(shù)形結(jié)合，巧妙地將正整數(shù)的無限性和射線一端無限延長(zhǎng)交融在一起，深化了學(xué)生對(duì)射線的認(rèn)知。教材文本是眾多智者的智慧結(jié)晶，也是最重要的活動(dòng)資源和教學(xué)依據(jù)，用心揣摩，為我所用，往往能取得較好的教學(xué)效果。

［案例3］“角”里有乾坤

學(xué)生在正式進(jìn)行科學(xué)的學(xué)習(xí)之前便對(duì)事物形成了自己的認(rèn)知，有些認(rèn)知會(huì)促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行新的學(xué)習(xí)，為正遷移；有些會(huì)阻礙學(xué)生建構(gòu)新知，為負(fù)遷移。那么，要“認(rèn)識(shí)射線”，在學(xué)生原有的認(rèn)知中存在促進(jìn)他們正遷移的數(shù)理經(jīng)驗(yàn)嗎？學(xué)生在二年級(jí)時(shí)初步認(rèn)識(shí)了角，可以嘗試從“角”出發(fā)，打通線段、射線和直線的關(guān)系，突破射線無限長(zhǎng)的認(rèn)知難點(diǎn)。

（1）比較長(zhǎng)短。畫一條長(zhǎng)10 厘米的線段，再畫一條長(zhǎng)20 厘米的線段。提問：哪條線段長(zhǎng)？線段有長(zhǎng)有短，是可測(cè)量的，由此引出線段的特征。

（2）比較大小。教師分別以剛才畫好的長(zhǎng)10 厘 米 和20 厘 米的線段為邊長(zhǎng)，畫出兩個(gè)正方形（如圖3）。提問：哪個(gè)正方形大一些？為什么？為下面比較角的大小做好沖突孕伏。

（圖3）

（圖4）

（3）觀察比較。用三角尺畫兩個(gè)30°的角（如圖4）。提問：這兩個(gè)角誰大誰小？為什么？

生1：一眼就看出來了，右邊的角大一些。

生2：不同意！這兩個(gè)角都是沿同一把三角尺的同一個(gè)角畫出來的，肯定一樣大。

師：可是我就是覺得右邊的角大啊！

生3：二年級(jí)就學(xué)過了，角的大小與邊叉開的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無關(guān)。我們用三角尺去量一量就知道了。

教師將左邊的角的兩條邊延長(zhǎng)至夸張的地步，提問：現(xiàn)在哪個(gè)角大？為什么？引導(dǎo)學(xué)生得出角的兩條邊可以無限延長(zhǎng)。

（4）引出射線。和線段相比，這條線有什么不同？數(shù)學(xué)上，我們把這種線叫作射線。射線有什么特征？

（5）畫一條射線。在不同的畫法中深化學(xué)生對(duì)射線的認(rèn)知。

（6）創(chuàng)造直線。數(shù)學(xué)是講究推理的，咱們回顧線段和射線的聯(lián)系，你還想創(chuàng)造一條什么樣的線？這條線有什么特征？直線呼之欲出。

為了說明一個(gè)定義或概念，我們可以借助多種直觀手段形象描摹，一步步完成概括和抽象。如果學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備中有相關(guān)的數(shù)理認(rèn)知，我們也用不著舍近求遠(yuǎn)地去聯(lián)系生活。二年級(jí)初步認(rèn)識(shí)了角，學(xué)生在操作“活動(dòng)角”的過程中積累了相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)理認(rèn)知，角的大小與邊的長(zhǎng)短沒有關(guān)系，即角的兩條邊縮短或延長(zhǎng)都不影響角的大小。射線的教學(xué)對(duì)接這樣的經(jīng)驗(yàn)，更具數(shù)學(xué)味了。同時(shí)，“以有限表達(dá)無限”的學(xué)習(xí)難點(diǎn)也隨之得以突破。既然線段和面積都可以測(cè)量，那角的大小該如何測(cè)量呢？后續(xù)的學(xué)習(xí)水到渠成，更有延續(xù)性和整體性。

【問題思考】

英國(guó)哲學(xué)家羅素說：“教師的工作基本上屬于表演業(yè)，他要用戲劇的和故事的方式，將知識(shí)和智能呈現(xiàn)出來。這種工作，要有很多時(shí)間做預(yù)備、做鍛煉。教學(xué)的現(xiàn)場(chǎng)乃是開花結(jié)果的現(xiàn)場(chǎng)，許多辛苦，都是在教室外面經(jīng)歷的。”是的，教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)是不可復(fù)制與再造的。教師只有在深度備課、增強(qiáng)底蘊(yùn)、積累機(jī)智上多下苦功，才能在教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)駕輕就熟、游刃有余。

1.講求意義聯(lián)結(jié)。教材編撰有標(biāo)準(zhǔn)的約束和編者的考量，又因螺旋上升、小步子前行等知識(shí)學(xué)習(xí)策略要求，知識(shí)往往被切分得比較瑣碎，這就需要教師想方設(shè)法將教材和兒童在教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)和日常生活中聯(lián)結(jié)起來，因?yàn)樾聦W(xué)習(xí)若建立在熟悉材料的基礎(chǔ)上，學(xué)生則更容易找到意義聯(lián)結(jié)，學(xué)習(xí)便更容易真實(shí)發(fā)生。正如美國(guó)心理學(xué)家奧蘇伯爾強(qiáng)調(diào)的“先行組織者”理論：“只有當(dāng)新的材料與長(zhǎng)時(shí)記憶中相關(guān)概念形成系統(tǒng)的聯(lián)系，學(xué)習(xí)才是有意義的，也就是說，新材料擴(kuò)展、修改或詳細(xì)闡述了記憶中已有的知識(shí)。”［1］上述三個(gè)認(rèn)識(shí)射線的案例，都意在聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)者舊有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，尋找新知識(shí)的生發(fā)點(diǎn)。

2.著意經(jīng)驗(yàn)卷入。兒童對(duì)世界的經(jīng)驗(yàn)可分為兩種：一是物理經(jīng)驗(yàn)；二是邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。［2］兩種經(jīng)驗(yàn)相輔相成，構(gòu)成了兒童完整的經(jīng)驗(yàn)世界。如兒童看到一支激光筆，發(fā)現(xiàn)它的色彩、形狀、開關(guān)、能發(fā)射光線等方面固有的屬性，即是兒童對(duì)激光筆建立了物理經(jīng)驗(yàn)。邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)則不同——教師引導(dǎo)學(xué)生將激光筆射出的光線與射線的特征聯(lián)系起來，展開辨析比較、空間想象和邏輯推理，則是協(xié)助學(xué)生建立某種邏輯數(shù)學(xué)相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)。皮亞杰認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是原有的經(jīng)驗(yàn)獲得平衡、打破平衡、重新協(xié)調(diào)的過程。好的教學(xué)便是要邀請(qǐng)學(xué)習(xí)者親自對(duì)物體施加動(dòng)作或運(yùn)算，從而獲得體驗(yàn)、改造經(jīng)驗(yàn)、轉(zhuǎn)識(shí)成智，使新知識(shí)成為其本身智慧結(jié)構(gòu)的一部分。

3.重視數(shù)理抽象。教材往往省略了一些概念與定義的誕生細(xì)節(jié)，使“火熱的思考”變成形式化的演繹推理。教師需要深入揣摩教材，審視文本背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，帶領(lǐng)兒童去經(jīng)歷、體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，從而使他們獲得豁然開朗的頓悟。同時(shí)，我們也得明確“數(shù)學(xué)教育的一個(gè)主要目標(biāo)是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，而不是提高動(dòng)手的能力乃至獲得相關(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”［3］。高度的數(shù)理抽象可以避免知識(shí)的碎片化，促進(jìn)其整體建構(gòu)。當(dāng)我們還在糾結(jié)使用激光筆等工具的時(shí)機(jī)時(shí)，案例3 無疑給了我們很好的啟迪。射線的特征原本已孕伏在二年級(jí)的“初步認(rèn)識(shí)角”里了，可以順承其數(shù)理經(jīng)驗(yàn)，自然而然地引出來，而不需要我們苦心孤詣地對(duì)接其生活經(jīng)驗(yàn)了。總之，教師設(shè)計(jì)教學(xué)，在充分了解學(xué)生和深度研讀教材的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)一步瞻前顧后、梳理體系、順承結(jié)構(gòu)、揣摩細(xì)節(jié)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中增加思考產(chǎn)出，生發(fā)新的視角。