高考立體幾何命題新動向之探究

■河南省商丘市第一高級中學

高效的高考復習備考,必須準確把握高考的最新動向。最新動向的把握是建立在對新課標思想的深入理解、對最新考綱的深入研究和對近年高考試題細致歸納總結基礎上的。筆者在對近十年各地高考試卷深入研究的基礎上,對高考立體幾何進行合理的總結和預測,力圖揭示立體幾何高考命題新動向,為高效復習備考支招。

一、立體幾何命題特點

立體幾何是高中數學領域的重要模塊,是高考考查考生的空間感、圖形感、語言轉化能力、幾何直觀能力、邏輯推理能力的主要載體。

通過研究近年各地高考試卷,不難發現有關立體幾何的命題較穩定,難易適中,體現出“一小一大”的特點。即1～2道小題,1道大題,占17～22分,小題靈活多變且有一定的難度,其中常有組合體的三視圖問題和開放型試題；而解答題大多屬中檔題,其中包含在幾何體中考查直線與平面的平行與垂直、空間角與距離的計算等。高考命題既注意“知識的重新組合”,又采用“小題綜合化,大題分步設問”的命題思路,朝著“重基礎、直觀感、空間感、探究與創新”的方向發展。

二、客觀題命題規律

1.以三視圖為載體考查空間想象能力。

由幾何體的三視圖識別幾何體,由幾何體的三視圖得到幾何體的直觀圖,由幾何體(組合體)的三視圖求幾何體的表面積和體積等,成為新課標高考必考的內容。

2.點、線、面位置關系的問題。

直線與平面的位置關系是研究立體幾何的核心,主要考查對相關定義、定理的深刻理解,以及對符號語言、圖形語言、文字語言三者之間進行轉換的能力,以選擇題、填空題的形式出現居多,多為判斷命題真假、判斷充要關系、探求動點軌跡等。

3.與球有關的組合體問題。

球與簡單多面體的組合體問題,較好地體現了對空間感的考查,在客觀題中一直是考查的熱點。

三、解答題命題規律

1.以多面體或組合體為載體,證明線線、線面、面面的平行與垂直等位置關系或計算空間角和距離。

證明線、面之間的位置關系常需經過多次轉換才能獲得解決。這類試題以判斷、證明、計算為主要形式來著重考查考生的空間想象能力、邏輯思維能力和計算能力。

2.空間位置關系(特別是平行與垂直)及其逆向問題或探索性問題。

逆向問題往往是已知線面的一些位置關系或已知空間量的大小,要證明或探索另外一些線面的位置關系是否成立。這類問題的一般解決方法是:假設存在,然后運用條件推理計算,若求出,且沒有矛盾,則存在,問題解決；若導出矛盾,則否定假設,說明不存在,導出矛盾的過程就是說明理由的過程。這類給考生留有較大探索余地的試題,已成為近幾年高考試題的一個新亮點。

3.與函數、三角函數、不等式、導數相關的最值問題。

與函數、導數、三角函數、不等式等知識相結合是立體幾何考查的一個新熱點,必須密切關注。

四、備考策略

1.依據考綱,深挖教材,狠抓基礎,控制難點,突出重點,形成體系。

在備考過程中,首先要針對高考要求,結合自己的實際,夯實基礎。準確理解和把握空間幾何體的結構特征,把握它們的內涵和外延,明確定理的內容、作用等,把知識網絡化、系統化。對于重點內容要熟練掌握:直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直的判定定理與性質定理,對它們之間位置關系的判定,各種空間角及距離的求解,空間向量的應用等。

2.兩類方法,兩點注意,規范訓練,過程落實,不斷積累,總結規律。

幾何法:(1)求角的問題時,注意緊扣定義,將空間角(異面直線所成角、線面角、二面角)轉化為平面上兩相交直線所成的角來處理,并可以歸納為:求角先找角,三角形中去解決。若是當余弦值為負值時,異面直線所成角、線面角應取銳角。(2)線面平行與垂直相關的問題,注意轉化的思想方法:面面平行(垂直)轉化為線面平行(垂直),再轉化為線線平行(垂直)。(3)在求距離時,即求有關點集上任兩點間的距離的最小值,可轉化為求線段的長度的最小值,而尋求垂足落點的位置是求距離問題的關鍵。對于距離可歸納為:距離多是垂線段,放到三角形中去計算,若是垂直難作出,等積等高來轉化。(4)在計算體積時,要從多方位、多角度看問題,要注意用“換底法”來求其體積,并注意“割補法”的運用,而“等體積法”則是求解立體幾何問題的特殊方法,用它可求點到平面的距離,異面直線間的距離,多面體的內切球的半徑等。

向量法:在一定條件下把證明與計算問題都轉化為空間向量的計算問題,使復雜問題程序化、公式化。利用空間向量坐標解決立體幾何問題的關鍵是找準位置建立適當的空間直角坐標系或基底,難點是在坐標系中表示已知點(或向量)的坐標,通過向量的坐標運算,實現幾何問題代數化。向量法和坐標法解決立體幾何問題,為立體幾何問題的解決建立了新的角度,是新課標倡導的重點。向量的知識體系可以從向量法和坐標法中體現出來,要從整體上加深理解。

3.加強數學思想、方法的訓練。

貫穿于立體幾何中的化歸思想、分類討論思想、數形結合思想,以及立體幾何特有的平移法、模型法、反證法、翻折法、割補法和等積變換法等都極大地豐富了中學數學的思想和方法。

由于高考數學加強了對能力的考查,所以在立體幾何的備考過程中,應重視空間想象能力、邏輯思維能力、化歸轉化能力的培養,堅持培養我們的識圖、用圖能力,做題時應多畫、多看、多想。