立體幾何中經典題的突破方法

■河南省商丘市第一高級中學

本文主要介紹解決立體幾何中的經典問題的兩種方法。

一、幾何法

例1 如圖1,已知幾何體E-ABCD是四棱錐,△ABD為正三角形,CB=CD,EC⊥BD。

(1)求證:BE=DE；

(2)若 ∠BCD=120°,M為線段AE的中點,求證:DM∥平面BEC。

考查意圖：空間位置關系的證明。

(一)第(1)問的思路分析

1.審條件,挖掘解題信息。

圖1

(二)第(2)問的思路分析

1.審條件,挖掘解題信息。

2.審結論,明確解題方向。

3.建聯系,找解題突破口。

(三)規范解答

(1)如圖2,取BD的中點O,連接CO,EO。由于CB=CD,所以CO⊥BD。

又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC?平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO。

又O為BD的中點,所以BE=DE。

圖2

(2)法一:如圖3,取AB的中點N,連接DM,DN,MN。

因為M是AE的中點,所以MN∥BE。

又MN?平面BEC,BE?平面BEC,所以MN∥平面BEC。

又因為△ABD 為正三角形,所以∠BDN=30°。

又 CB=CD,∠BCD=120°,因 此∠CBD=30°,所以DN∥BC。

又DN?平面BEC,BC?平面BEC,所以DN∥平面BEC。

又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC。

又DM?平面DMN,所以DM∥平面BEC。

圖3

圖4

法二:如圖4,延長AD,BC交于點F,連接EF。

因為CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°。

因為△ABD為正三角形,所 以 ∠BAD=60°,∠ABC=90°。

又AB=AD,所以D為AF的中點。

連接DM,由M是AE的中點,得DM∥EF。

又DM?平面BEC,EF?平面BEC,所以DM∥平面BEC。

(四)名師點睛

證明空間線面位置關系的一般步驟:

第一步,審清題意:分析條件,挖掘題目中的平行與垂直關系；

第二步,明確方向:確定問題方向,選擇證明平行或垂直的方法,必要時添加輔助線；

第三步,給出證明:利用平行垂直關系的判定或性質給出問題的證明；

第四步,反思回顧:查看關鍵點、易漏點、檢查使用定理時定理成立的條件是否遺漏,符號表達是否準確。

二、向量法

例2 已知平面圖形ABB1A1C1C如圖5所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=2,A1B1=A1C1=5,現將該平面圖形分別沿BC和B1C1折 疊,使 △ABC 與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A1A,A1B,A1C,得到如圖6所示的空間圖形。對此空間圖形解答下列問題。

圖5

(1)證明:AA1⊥BC；

(2)求AA1的長；

(3)求二面角A-BC-A1的余弦值。

考查意圖：空間向量在立體幾何中的應用。

圖6

(一)思路分析

1.審條件,挖掘解題信息。

觀察條件:四邊形BB1C1C是矩形,面ABC⊥面BB1C1C,面A1B1C1⊥面BB1C1C兩垂直。

2.審結論,明確解題方向。

觀察結論:(1)證明:AA1⊥BC；(2)求AA1的長；(3)求二面角A-BC-A1的余弦值

3.建聯系,找解題突破口。

(二)規范解答

(1)取BC,B1C1的中點分別為D和D1,連接A1D1,DD1,AD。

因為BB1C1C為矩形,所以DD1⊥B1C1。

因為平面BB1C1C⊥平面A1B1C1,所以DD1⊥平面A1B1C1。

又A1B1=A1C1,所以A1D1⊥B1C1。

故以D1為坐標原點,可建立如圖7所示的空間直角坐標系D1-xyz。

由題設,可得A1D1=2,AD=1。

由以上可知AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平面BB1C1C,于是AD∥A1D1。

所以A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4)。

圖7

(3)設平面A1BC的法向量為n1=

令z1=1,則n1=(0,2,1)。又因為平面ABC⊥z軸,所以取平面ABC的法向量為

所以二面角A-BC-A1的余弦值為

(三)名師點睛

利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟:

第一步,理解題意:利用條件分析問題,建立恰當的空間直角坐標系；

第二步,確定相關點的坐標:結合建系過程與圖形,準確地寫出相關點的坐標；

第三步,確立平面的法向量:利用點的坐標求出相關直線的方向向量和平面的法向量,若已知某直線垂直某平面,可直接取直線的一個方向向量為該平面的法向量；

第四步,轉化為向量運算:將空間位置關系轉化為向量關系,空間角轉化為向量的夾角問題去論證,求解；

第五步,問題還原:結合條件與圖形,作出結論(注意角的范圍)；

第六步,反思回顧:回顧檢查建系過程、坐標是否有錯及是否忽視了所求角的范圍而寫錯結論。