立體幾何熱點問題求解中的“多種思維方法”

■山東省聊城第三中學

高考對立體幾何的考查始終是圍繞“空間問題平面化、模型化和代數化”展開的,借助熱點題型探究求解中的“多種思維方法”,可以提高“構建函數模型、直觀想象、邏輯推理、合理運算”等核心素養。

熱點1——正方體“截面最值”求解中的多種思維方法

例1 (2018年全國Ⅰ理12)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( )。

解法1：直接作截面構建目標函數求最值,平面A1C1B與每條棱所成的角相等,符合題意,如圖1所示。平面α由面A1C1B平移得到,如圖2,六邊形EFGHMN 為該截面。

圖1

圖2

設A1N=x,則有EN=2x,MN=2(1-x),根據對稱性可知EF=2(1-x),FG=2x,延長EN,HM相交于點P,延長EF,HG相交于點Q,如圖3,由相似比可得PN=PM=2(1-x),QF=QG=2x,易證∠HEF=∠EHG=60°,所以△EHQ為等邊三角形,同理,△EHP為等邊三角形。

圖3

解法2：由特殊位置確定其最大值,由題設可知,截面α應與正方體的體對角線垂直,當平面平移至截面為六邊形時,此時六邊形的周長恒定不變,所以當截面為正六邊形時,

反思:正方體的截面多邊形問題,需要依據公理及推論確定截面的位置,本題從題設的條件中找尋相關的字眼,用多種思維方法得到截面面積最大時為過六條棱的中點的正六邊形,耐人回味。

熱點2——異面直線所成的角求解中的多種思維方法

例2 (2018年新課標Ⅱ卷9)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )。

解法1：平移法作異面直線所成角,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,取E為B1A1的中點,F為AD1與A1D的交點,如圖4,由幾何關系可知DB1∥FE,所以∠EFA1=θ為異面直線AD1與DB1所成的角或補1,在△EFA1中,由余弦定理可知cosθ=

圖4

解法2：補形法作異面直線所成的角,在長方體ABCD-A1B1C1D1右側補一個完全相同的長方體DD1C1C-FGHE,如圖5,∠GDB1=θ為異面直線AD1與DB1所成的角或補角,由幾何關系可知BD=5,DG=2,B1G=5,由余弦定理可得cosθ=

圖5

圖6

解法3：坐標法求異面直線所成的角,建立如圖6所示的空間直角坐標系,由幾何關系可知A的坐標為(1,0,3),點D1的坐標=(0,1,-3)。θ為異面直線AD1與DB1所成的角或補角,則cosθ

反思:傳統的幾何法求異面直線所成的角,依據定義,通過“直接平移或補形平移”得到兩條直線的夾角或夾角的補角,強化邏輯推理與空間想象能力;向量法求異面直線所成的角,借助“兩異面直線對應的方向向量的夾角”的計算求解,凸顯空間問題代數化的本質屬性。不論用何種方法切記異面直線所成

熱點3——直線與平面所成的角求解中的“幾何法和向量法”

例3 (2018年新課標Ⅰ卷理18)如圖7,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF。

(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

解析：(1)由已知和折疊前后不變的線線垂直可得,BF⊥PF,BF⊥EF。又PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF。又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD。

(2)由(1)及面面垂直的判定定理可知平面PEF⊥平面ABFD。選擇向量法或幾何法求線面角。

圖7

解法1：向量法求線面角,作PH⊥EF,垂足為H。由(1)知平面PEF⊥平面ABFD,所以PH⊥平面ABFD。由以H為坐標原點,HF的正方向為y軸正方向,HP的正方向為z軸正方向,設正方形ABCD的邊長為2,建立如圖8所示的空間直角坐標系H-xyz。

圖8

由(1)可得DE⊥PE,又DP=2,DE=1,所以PE=3。又PF=1,EF=2,故PE

解法2：幾何法作線面角算大小,作PH⊥EF,垂足為H,連接DH,如圖9。由(1)知平面PEF⊥平面ABFD,則PH⊥平面ABFD,DH為DP在平面ABFD上的射影,則∠PDH為PD與平面ABFD所成的角。

由(1)知BF⊥平面PEF,又BF∥DE,所以DE⊥PE。

圖9

又DP=2,DE=1,所以PE=3。又PF=1,EF=2,PE=3,則有PE⊥PF。在直角三角形PEF中,可得直角三角形PEH中,可得DH=2,所以ABFD所成角的正弦值為

反思:解決與折疊有關的垂直證明及空間角的計算問題,關鍵是依據折疊前后尋求長度和線線垂直的不變量;向量法求解線面角,利用公式到的角是法向量與斜線AB的夾角,并不是斜線AB和平面α所成的角,此時斜線AB與平面α所成的角為90°-θ,故sinθ=