非對稱耦合半導體激光器環的組間混沌同步增強研究

李 嵐，趙曉丹，武 敏，王龍生，楊毅彪

(太原理工大學 物理與光電工程學院，太原 030024)

近幾年，互耦合半導體激光器網絡同步受到研究學者的廣泛關注[1-3]。其原因在于，半導體激光器豐富的非線性動態特性(尤其是混沌)在模擬和分析神經、社會以及通信等網絡行為時發揮了重要作用[4-5]。2007年，SORRENTINO et al首先在復雜網絡系統中發現了混沌同步現象[6]。2012年，DAHMS et al數值研究了由延時耦合混沌半導體激光器構成的復雜網絡的同步穩定性[7]。2013年，WILLIAMS et al實驗證明由混沌半導體激光器構成的網絡中存在組同步[8]。

需要注意的是，復雜網絡組同步主要包括兩種類型的同步：組內同步和組間同步。前者是指同組節點之間具有零延時同步，后者是指不同組節點之間具有延遲同步。此外，同組節點的動態特性與不同組節點的動態特性具有明顯的區別，這就為非均勻網絡系統節點之間構建同步提供了可能[9]。最近報道發現，目前研究主要集中于如何獲得高質量的組內同步[10]，卻很少關注于如何獲得高質量的組間同步。實際上，組間同步同樣可以在動態網絡系統中發揮重要作用，例如，在基于混沌同步的保密通信網絡中，信息不僅可以通過組內同步在組內節點之間傳輸，同樣可以通過組間同步在不同組節點之間傳輸[11-12]。此外，在神經網絡中神經元的抑制或者興奮也可通過組間同步達到一致[7]。目前，只有少量關于網絡組間同步的探索研究，而研究結果表明組間同步系數還無法達到組內同步水平，這就限制了組間同步的實際應用。

筆者理論證明了通過非對稱耦合可以提高激光器環網絡的組間同步。在該系統中，四個激光器被分成兩組，每組兩個激光器光頻(波長)相同但不相鄰。筆者研究了在對稱耦合和非對稱耦合方式下激光器的組間同步特性。結果表明，在對稱耦合方式下，激光器組間同步具有飽和效應——同步系數穩定于0.8到0.9之間。在非對稱耦合方式下，激光器組間同步可被提高至0.9以上，且最大值可達0.98.此外，該結構下組間同步系數大于0.9的魯棒性參數區間可達數十吉赫茲。分析表明組間同步質量增強主要得益于非對稱耦合的注入鎖定效應。

1 理論模型

如圖1所示，環形網絡系統由四個帶有光反饋的半導體激光器構成。根據激光器的光頻(波長)，這四個激光器被分成A，B兩組。每一組包含具有相同光頻(波長)的兩個激光器，但這兩個激光器不直接耦合。在A組內的激光器表示為LDA1，LDA2，B組內的激光器表示為LDB1，LDB2.除了光頻(波長)外，激光器的其他參數一致。此外，激光器的耦合延遲和反饋延遲均保持相同且表示為τ.從A組激光器耦合進B組激光器的耦合強度表示為σAB，從B組激光器耦合進A組激光器的耦合強度表示為σBA.如果σAB=σBA，該環形結構就是對稱的；如果σAB≠σBA，該環形結構就是非對稱的。環結構激光器模型LDm(m=A1,A2,B1,B2)是根據L-K方程建立的[13]，如等式(1)-(5)所示：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

在上述方程中，引入了激光器互耦合項和光反饋項。其中，Em(t)為激光器LDm的光場復振幅；Nm(t)代表對應的載流子數，Gm(Nm(t))代表光增益函數。I為激光器的偏置電流并將其設置在1.25倍閾值電流處。A是線寬增強因子，τp是光子壽命，τn是載流子壽命，τin是激光器腔內往返時間，g是差分增益，N0是透明載流子數，ε是增益飽和系數，β是自發輻射速率，kf代表反饋強度且四個激光器的反饋強度均相同。激光器LDA1,A2和LDB1,B2之間的頻率失諧定義為Δυ=(ωA1,A2-ωB1,B2)/2π，ωA1,A2和ωB1,B2分別是激光器LDA1,A2和LDB1,B2自由運行時的角頻率，且ωA1=ωA2,ωB1=ωB2.此外，激光器自發輻射過程通過引入獨立的高斯白噪聲χA1,A2,B1,B2進行模擬[14]。

圖1 混沌半導體激光器環結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of chaotic laser diode ring

激光器的混沌同步質量通過計算時序的互相關進行定量表征，其定義如下[15]：

(6)

式中：括號<·>表示在一定的時間范圍內求平均，P(t)表示激光器輸出信號的光功率，該值正比于光場幅度的平方。互相關函數的最大值用于表征激光器的同步質量。數值模擬研究中所用的參數如表1所示。

表1 數值模擬參數Table 1 Values of parameters used in simulations

2 模擬結果

2.1 對稱耦合(σAB=σBA)

在本節內容中，首先研究了對稱耦合方式下(σAB=σBA)激光器環的混沌同步特性。圖2所示為激光器LDA1,LDA2,LDB1,LDB2的時序及其互相關函數。如圖2(a)和圖2(b)所示，混沌激光器LDA1和LDA2具有相似的時序，而其同步系數在零延時處接近1.激光器LDB1和LDB2也具有類似的同步現象。這表明兩組激光器均可獲得高質量的組內零延時同步。對比之下，如圖2(a)和圖2(c)所示，激光器LDA1和LDB1之間沒有明顯的同步特征。通過對其做互相關運算，如圖2(g)所示，他們的相關性在延時2 ns處為0.81.這表明激光器LDA1和LDB1建立了組間延遲同步，但其同步質量較組內同步較差。需要注意的是，這里只以組A中的激光器LDA1和組B中的激光器LDB1為例進行上述說明，類似的現象同樣可以在其他兩個激光器中觀察到。進一步研究了隨著對稱耦合強度的增加，激光器同步特性的變化情況。如圖3所示，激光器LDA1和LDA2(三角形)、LDB1和LDB2(正方形)之間分別建立了高質量的零延時同步，其同步系數接近1.這表明，在對稱耦合方式下，無論耦合強度如何改變，組內激光器可以一直建立高質量的組內零延時同步。對比之下，如圖1中圓形所示，激光器LDA1和LDB1之間建立的組間同步系數隨著耦合強度的增加呈現快速增長隨后穩定保持在0.8～0.9的趨勢。類似的現象也曾在相關文獻中報道[16]。可以發現，在對稱耦合方式下，很大耦合強度范圍內均可建立具有飽和效應的組間同步。但需要注意的是，模擬中所用的最大耦合強度設置為0.62，這在實際中不僅可以保證激光器工作在混沌狀態[17]還可以避免由于強注入導致激光器損壞。

眾所周知，激光器頻率失諧也是一個影響混沌同步質量的重要參數。圖4給出了在不同對稱耦合強度下，激光器頻率失諧對組間同步質量的影響。圖4(a)和圖4(b)分別為在負頻率失諧以及正頻率失諧情況下激光器LDA1和LDB1之間的同步系數。需要注意的是，用于將激光器進行分組的頻率失諧一直存在，因此頻率失諧為0的情況并未給出。從圖4(a)或者圖4(b)中可以發現，當耦合強度位于0.02～0.3時，組間同步系數隨著頻率失諧絕對值的增加而降低。當耦合強度增加至0.3以上時，頻率失諧將不再對組間同步系數產生明顯影響，其同步系數穩定于0.8～0.9.該現象與圖3所示結果一致。這表明在對稱耦合方式下組間同步質量增強遇到了瓶頸。

圖2 激光器(a) LDA1，(b) LDA2，(c) LDB1，(d) LDB2的時序以及激光器(e) LDA1和LDA2，(f) LDB1和LDB2，(g) LDA1和LDB1之間的互相關。激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=σBA=0.12，Δυ=-1 GHzFig.2 Temporal outputs (a) LDA1, (b) LDA2, (c) LDB1, and (d) LDB2. Cross-correlation function (CCF) between (e) LDA1 and LDA2, (f) LDB1 and LDB2, (g) LDA1 and LDB1. The coupling strength and frequency detuning parameters are chosen as σAB=σBA=0.12, Δυ=-1 GHz

正方形代表激光器LDB1和 LDB2之間的同步系數。三角形代表激光器LDA1和LDA2之間的同步系數。環形代表激光器LDA1和LDB1之間的同步系數。激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=σBA=0.02～0.62，Δυ=-1 GHz圖3 激光器同步系數隨對稱耦合強度的變化情況(σAB=σBA)Fig.3 Synchronization coefficient (SC) of LDs as a function of symmetric coupling strength (σAB=σBA)

激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=σBA=0.02～0.62,Δυ=-30～-1 GHz，1-30 GHz圖4 激光器LDA1和LDB1同步系數隨頻率失諧和對稱耦合強度的變化情況Fig.4 Color coded synchronization coefficient of LDA1 and LDB1 as a function of frequency detuning and symmetric coupling strength

2.2 非對稱耦合(σAB≠σBA)

在本節內容中，進一步研究了在非對稱耦合方式下(σAB≠σBA) 激光器環的混沌同步特性。圖5所示為激光器LDA1,LDA2,LDB1,LDB2的時序及其互相關函數。很明顯，激光器LDA1和LDA2，以及LDB1和LDB2的混沌輸出呈現零延時同步。這表明即使耦合方式從非對稱耦合變為對稱耦合，組內激光器仍保持高質量的零延時同步。更加有意思的是，如圖5(g)所示，激光器LDA1和LDB1在2 ns延時處建立了同步系數為0.93的組間同步。該結果與圖2(g)結果對比說明，非對稱耦合可以提高組間同步質量，但不改變同步類型，即延遲同步。同樣，在該研究中只以組A中的激光器LDA1和組B中的激光器LDB1為例進行上述說明，類似的現象同樣可以在其他兩個激光器中觀察到。進一步研究了隨著對非稱耦合強度的增加，激光器同步特性的變化情況。如圖6所示，隨著耦合強度的增加，激光器組內同步系數仍然穩定在1附近，該結果與圖3所示結果類似。但可以發現，隨著耦合強度的增加，組間同步系數逐漸增加，并且在耦合強度為0.62時組間同步系數達到最大值0.98，最終實現了組間同步質量的增強。

圖5 激光器 (a) LDA1，(b) LDA2，(c) LDB1，(d) LDB2的時序以及激光器 (e) LDA1和LDA2，(f) LDB1和LDB2，(g) LDA1和LDB1之間的互相關。激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=0.51，σBA=0.02，Δυ=-1 GHFig.5 Temporal outputs (a) LDA1, (b) LDA2, (c) LDB1, and (d) LDB2. Cross-correlation function (CCF) between (e) LDA1 and LDA2, (f) LDB1 and LDB2, (g) LDA1 and LDB1. The coupling strength and frequency detuning parameters are chosen as σAB=0.51, σBA=0.02, Δυ=-1 GH

正方形代表激光器LDB1和LDB2之間的同步系數。三角形代表激光器LDA1和LDA2之間的同步系數。環形代表激光器LDA1和LDB1之間的同步系數。激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=0.02～0.62，σBA=0.02，Δυ=-1 GHz圖6 激光器同步系數隨非對稱耦合強度的變化情況(σAB≠σBA)Fig.6 Synchronization coefficient (SC) of LDs as a function of asymmetric coupling strength (σAB≠σBA)

進一步，圖7給出了在不同非對稱耦合強度下，激光器頻率失諧對組間同步質量的影響。與圖4對稱耦合方式下的結果對比表明，在非對稱耦合方式下組間同步系數大于0.9的區間可占整個參數區間的很大一部分，達數十吉赫茲。此外，發現高質量組間同步在負頻率失諧的參數范圍明顯大于正頻率失諧的參數范圍。出現上述現象的原因分析如下：激光器的頻率失諧是通過測量自由運行激光器的頻率差獲得的。在外部激光器注入下，靜態激光器的波長將會發生紅移[18]。為了獲得同步系數大于0.9的組間同步，注入強度σAB要遠大于σBA，即激光器LDB1,B2接收的注入強度明顯高于LDA1,A2接收的注入強度。對比于激光器LDB1,B2對LDA1,A2的影響，激光器LDA1,A2對LDB1,B2的影響發揮主要作用。這導致激光器LDA1,A2和LDB1,B2之間的負頻率失諧將會得到補償，從而使得高質量組間同步具有較寬的參數調節范圍。對于正頻率失諧而言，外部光注入將會進一步增大失諧，這將導致組間同步質量下降，高質量組間同步參數區間也將會隨之減小。

激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=0.02～0.62，σBA=0.02, Δυ=-30～-1 GHz，1-30 GHz圖7 激光器LDA1和LDB1同步系數隨頻率失諧和非對稱耦合強度的變化情況Fig.7 Color coded SC of LDA1 and LDB1 as a function of frequency detuning and asymmetric coupling strength

3 討論與結論

利用非對稱耦合，可以打破對稱耦合下組間同步飽和狀態，將其最大提高至0.98，這歸結于非對稱耦合方式下的注入鎖定效應[19]。為了更加清晰地揭示這一現象，研究了注入鎖定狀態下激光器的光譜。可以發現，如圖8(a)和圖8(b)所示，在注入鎖定條件下激光器LDA1和LDB1的光譜具有高相似性，特別是中心波長處。這主要是因為耦合強度σAB遠大于σBA，進而激光器LDB1的輸出被激光器LDA1放大和鎖定，同步系數大于0.9的組間同步即可建立。對比之下，如圖8(c)和圖8(d)所示，在非注入鎖定條件下，激光器LDB1的光譜明顯不同于激光器LDA1的光譜。這主要是因為耦合強度σAB相對于σBA并不是足夠大，進而導致激光器LDB1的輸出無法被激光器LDA1完全鎖定。

圖8 激光器LDA1和LDB1在(a), (b)注入鎖定條件下的光譜，激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=0.6，σBA=0.02，Δυ=-1 GHz以及(c), (d)非注入鎖定條件下的光譜，激光器耦合強度和頻率失諧設置為σAB=0.6，σBA=0.2，Δυ=-1 GHzFig.8 Optical spectra of (a) LDA1, (b) LDB1 in the injection-locking region with parameters of σAB=0.6, σBA=0.02, Δυ=-1 GHz, and optical spectra of (c) LDA1, (d) LDB1 in the injection-unlocking region with parameters of σAB=0.6, σBA=0.2, Δυ=-1 GHz

本文研究了在對稱耦合和非對稱耦合方式下，混沌半導體激光器環系統的組間同步特性。數值研究結果表明，在對稱耦合方式下組間同步呈現飽和狀，其同步系數穩定于0.8～0.9.在非對稱耦合方式下，組間同步系數可被提高至0.9以上，且最大值可達0.98.此外，該高質量組間同步的參數調節范圍可達數十吉赫茲.分析表明，這是由組間激光器非對稱耦合導致的注入鎖定效應引起的。受益于該效應，環形激光器網絡的整體同步性能得到了大幅提高，這將助益于其在復雜網絡中的應用。