考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖決策

張 超 李德玉

(計算智能與中文信息處理教育部重點實驗室(山西大學) 太原 030006) (山西大學計算機與信息技術學院 太原 030006)

作為現代決策科學的重要分支，多屬性決策旨在對有限個方案從多個屬性的角度進行決策分析，進而通過信息集成的方式對備選方案作出選擇，其理論與方法已被廣泛應用于諸多領域，有力推動了社會經濟的發展[1-2].由于決策者的認知存在不確定性以及決策問題的復雜性不斷增加等原因，導致決策者難以準確處理決策信息.而自Zadeh提出模糊集理論以來，模糊多屬性決策問題已成為多屬性決策研究的重要方向[3].近年來，為了從不精確性、不一致性、不完備性、含糊性及猶豫性等不同側面進一步高效描述不確定信息，多種模糊集的推廣形式被提出[4].其中針對決策數據表示過程中體現決策者猶豫程度的需要，Torra[5]將隸屬度的取值由單一值推廣到多個值構成的集合，由此建立了猶豫模糊集理論.之后考慮到猶豫模糊集只關注了評價信息為精確數的情況，若用區間數代替精確數可更有效處理決策信息所蘊含的不完備性.于是Chen等人[6]結合區間數和猶豫模糊集的優勢，發展了區間猶豫模糊集的概念.鑒于區間猶豫模糊集的提出可靈活描述不確定信息具備的不完備性與猶豫性，區間猶豫模糊多屬性決策問題得到了廣泛研究[7-11].

迄今為止，大多數多屬性決策方法是在屬性間存在相互獨立關系的基礎上進行研究的.然而隨著現代決策環境的日益復雜，屬性間存在關聯性與優先關系的情況在現實中普遍存在.例如，高等院校在人才引進中，人力資源專家往往從道德品質、科研能力、教學能力、教育背景等方面對應聘者作出評價.通常擁有高學歷與名校教育背景的應聘者科研能力也較強，即人才評價屬性間存在關聯性.同時專家會優先進行道德品質的考察并將其視為最重要的屬性，之后按重要性依次考察科研能力、教學能力、教育背景，即人才評價屬性間存在優先關系.因此，有必要系統研究考慮關聯性與優先關系的多屬性決策方法.

近年來，針對屬性間存在關聯性的問題，通常利于模糊測度表示屬性間的關系，之后通過Choquet積分的形式進行信息集成[12]；針對屬性間存在優先關系的問題，通過建立一系列優先集成算子來對考慮優先關系的多屬性決策問題進行合理求解[13]；針對屬性間同時存在關聯性與優先關系的問題，Chen等人[14-15]利用Choquet積分，先后提出了廣義優先測度引導集成算子與弱序優先測度引導集成算子.

鑒于模糊圖可通過頂點間的邊高效表示屬性間的關聯性，進而利用模糊圖的概念來研究屬性間的關聯性對決策結果的影響，從而形成了基于模糊圖的多屬性決策方法.Yu等人[16-17]首先提出了基于圖論與模糊圖論的決策方法，隨后建立了基于有向圖的聯盟決策方法.張超等人[18]提出了猶豫模糊圖的概念并用于多屬性決策問題的求解.最近，面向實際應用中存在的諸多基于數據驅動的復雜問題，多種模糊圖的推廣形式被提出[19-22]，為相應背景中基于圖論方法的不確定性表示[23-24]提供了理論支撐.

然而，猶豫模糊背景中針對屬性間同時存在關聯性與優先關系的多屬性決策方法研究還比較少，而屬性間同時具有關聯性與優先關系的區間猶豫模糊多屬性決策問題在現實中又普遍存在.針對解決上述決策問題的需求，考慮到模糊圖建模方法在表示決策中屬性間關系時的靈活性與直觀性，即諸多具備復雜屬性間相互關系的模糊多屬性決策問題都可表示為模糊圖的結構，有必要結合模糊圖的特點與優勢開展對考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法的系統研究.綜上所述，為了有效利用模糊圖解決區間猶豫模糊多屬性決策問題，本文主要提出區間猶豫模糊圖的概念，并面向屬性間同時具有關聯性與優先關系的多屬性決策問題，構建基于區間猶豫模糊圖的多屬性決策方法.

本文主要貢獻包括3個方面：

1) 提出了區間猶豫模糊圖的概念，并研究了區間猶豫模糊圖的定義、運算規則、映射關系；

2) 利用區間猶豫模糊圖的特點與優勢，構建了考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法；

3) 通過實例及對比性分析闡述了所提多屬性決策方法的可行性與有效性.

1 基本理論

在本節中，首先從定義、運算規則及層次化方法等角度回顧區間猶豫模糊集理論，接著簡要介紹模糊圖的相關概念.

1.1 區間猶豫模糊集

定義1[6].設V為一個非空有限論域，int[0,1]代表[0,1]上所有閉子區間構成的集合.在V上的1個區間猶豫模糊集可表示為函數h，該函數應用到V上會返回1個在int[0,1]上的子集，稱

其中,γ=[γL,γU]是1個區間數，該區間數的下界和上界記作γL=infγ和γU=supγ.此外，把V上所有的區間猶豫模糊集記作IVHF(V).

鑒于區間數之間無法直接進行比較，有必要介紹比較不同區間數的常見方法.

定義2[1].設a=[aL,aU]和b=[bL,bU]為區間數，有3個運算規則：

1) 若aL=bL且aU=bU，則a=b；

2)a+b=[aL+bL,aU+bU]，a-b=[min(aL-bL,aU-bU),max(aL-bL,aU-bU)]；

定義3[1].設a=[aL,aU]和b=[bL,bU]為區間數，a≥b和a≤b的可能度定義為

為了提高區間猶豫模糊集的運算效率，Chen等人[6]結合2項假設給出了區間猶豫模糊集的簡化運算規則：

為方便比較不同的區間猶豫模糊元，介紹區間猶豫模糊元得分函數的概念.

1.2 模糊圖

定義6[19].設V為1個非空有限集合，定義在V×V～{(x,x):x∈V}上的等價關系為：(x1,y1)～(x2,y2)?或(x1,y1)=(x2,y2)或x1=y2，y1=x2.

定義7[19].設V為1個非空有限集合，定義模糊圖G為

G=(μ,ρ)，

其中，μ:V→[0,1]，ρ:V×V→[0,1]，且對于所有x,y∈V，有ρ(xy)≤μ(x)∧μ(y)成立，此時G=(μ,ρ)是圖G*=(V,E)的模糊圖.稱μ為關于模糊圖G的模糊頂點集，ρ為關于模糊圖G的模糊邊集.

2 區間猶豫模糊圖

本節將模糊圖的概念發展至區間猶豫模糊背景中，首先提出區間猶豫模糊圖的定義，之后建立區間猶豫模糊圖的運算規則與映射關系.

定義8.設V為1個非空有限集合，定義區間猶豫模糊圖G為

Fig. 1 The interval-valued hesitant fuzzy graph圖1 區間猶豫模糊圖

接下來從區間猶豫模糊圖之間笛卡兒積、合成、并、聯的角度建立相應運算規則.

1) 若映射f滿足2個條件，則稱映射f:V1→V2為G1到G2的同態.

2) 若f是雙射且滿足2個條件，則稱映射f:V1→V2為G1到G2的弱同構.

①f是G1到G2的同態；

3) 若f是雙射且滿足2個條件，則稱映射f:V1→V2為G1到G2的同構.

3 區間猶豫模糊圖多屬性決策方法

針對屬性間同時具有關聯性與優先關系的區間猶豫模糊多屬性決策問題，本節利用區間猶豫模糊圖的概念建立基于區間猶豫模糊圖的多屬性決策方法.首先簡述所研究問題的基本模型，之后給出考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法.

3.1 模型建立

Fig. 2 The multi-attribute decision making model based on interval-valued hesitant fuzzy graphs圖2 基于區間猶豫模糊圖的多屬性決策模型

3.2 模型算法

下面給出考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法，該方法的建立主要在于有效處理屬性間的關聯性與優先關系.

在處理屬性間關聯性方面，將猶豫模糊信息能量系數發展至區間猶豫模糊背景中，以此進行屬性間相互影響程度的求解.對于2個具有關聯性的屬性ai和aj(i,j=1,2,…,n)，區間猶豫模糊信息能量系數表示為

代表ai對于aj相互影響程度.不難看出，若i=j，則有ψi j=ψj i成立，此時區間猶豫模糊信息能量系數達到最大值[1,1]；若屬性間相互獨立，此時區間猶豫模糊信息能量系數達到最小值[0,0]；大部分情況下，區間猶豫模糊信息能量系數介于[0,0]和[1,1]之間.

依據以上處理屬性間的關聯性與優先關系的思路，建立考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法，如算法1所示：

算法1.考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策.

輸出：最優備選方案.

步驟1. 計算具有關聯性的屬性ai和aj之間的區間猶豫模糊信息能量系數ψi j.

步驟2. 利用屬性間的線性優先關系計算屬性權重ωj.

4 實例分析

4.1 實例描述

本節以文獻[7]運用的多屬性決策實例為背景，通過實例分析闡述所提多屬性決策方法的可行性.

依據加強高校人才隊伍建設、吸引緊缺人才到教師隊伍中以有效改善人才隊伍學緣結構的需求，某中國高校管理學院進行了海外優秀人才的引進工作，經過人力資源專家的初步審核，有5位應聘者進入了面試程序，應聘者集合表示為P={p1,p2,p3,p4,p5}.

Fig. 3 The interval-valued hesitant fuzzy graph for describing correlations between attributes圖3 描述屬性間關聯性的區間猶豫模糊圖

Table 1 The Interval-Valued Hesitant Fuzzy Decision Making Matrix表1 區間猶豫模糊決策矩陣

4.2 決策分析

依據算法1可以得出4個分析過程.

1) 計算屬性之間的區間猶豫模糊信息能量系數

同理，不難得到ψ13=[0.025,0.1]，ψ14=[0.045,0.08]，ψ23=[0.05,0.1]，ψ24=[0.02,0.045]，ψ34=[0.125,0.205].

2) 利用人才評價屬性間的線性優先關系a1?a2?a3?a4計算屬性權重.

3) 計算應聘者pk(k=1,2,…,5)的總體屬性值

同理，不難得到：

4) 計算各應聘者對應總體屬性值的得分值：

4.3 對比性分析

本文實例分析部分為具有關聯性與優先關系的區間猶豫模糊多屬性決策問題.在眾多經典多屬性決策方法中，集成算子法利用不同的集成算子對決策信息進行融合，之后依據方案得分值對方案進行排序，是一類常見的多屬性決策方法.為驗證本文所提多屬性決策方法的有效性，本節將與文獻[7]建立的基于區間猶豫模糊Einstein優先加權算子，以及文獻[8]建立的基于區間猶豫模糊優先加權算子的多屬性決策方法進行對比性分析.

1) 與文獻[7]所提方法的對比性分析

依據文獻[7]所提方法，設區間猶豫模糊決策矩陣為D=(dk j)m×n(k=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，則區間猶豫模糊Einstein優先加權平均算子與區間猶豫模糊Einstein優先加權幾何算子表示如下.

① 區間猶豫模糊Einstein優先加權平均算子：

② 區間猶豫模糊Einstein優先加權幾何算子：

依據以上2類優先集成算子，可將各應聘者在相應人才評價屬性下的區間猶豫模糊數進行集成并求得集成后區間猶豫模糊元的得分值，較大得分值所對應的應聘者即為海外優秀人才引進的最佳人選.最終決策結果表明：利用區間猶豫模糊Einstein優先加權平均算子與區間猶豫模糊Einstein優先加權幾何算子所得應聘者排序均為p5?p4?p3?p1?p2，與本文提出的考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法所得結果一致，即最佳人選為應聘者p5.

2) 與文獻[8]所提方法的對比性分析

依據文獻[8]所提方法，設區間猶豫模糊決策矩陣為D=(dk j)m×n(k=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，則區間猶豫模糊優先加權平均算子與區間猶豫模糊優先加權幾何算子表示如下.

① 區間猶豫模糊優先加權平均算子：

② 區間猶豫模糊優先加權幾何算子：

與之前所進行的對比性分析類似，將各應聘者在相應人才評價屬性下的區間猶豫模糊數進行集成并求得集成后區間猶豫模糊元的得分值，較大得分值所對應的應聘者即為海外優秀人才引進的最佳人選.最終決策結果表明：利用區間猶豫模糊優先加權平均算子所得應聘者排序為p5?p4?p3?p1?p2，與利用本文提出方法所得結果一致.而利用區間猶豫模糊優先加權幾何算子所得應聘者排序為p5?p4?p1?p3?p2，與利用本文提出方法所得結果不完全一致，容易看到p1與p3之間的排序存在差異.但以上排序結果均不影響最佳應聘者的選擇，即最佳人選仍為應聘者p5.

依據以上對比性分析結果，基于上述4類優先集成算子的多屬性決策方法可合理求解具有優先關系的區間猶豫模糊多屬性決策問題.但從具體理論模型與決策分析過程來看，尚未考慮屬性間具備關聯性的情況.即在本節所描述的高校人才招聘背景中，無法體現人才評價屬性間存在的關聯性對多屬性決策結果的影響.在極端情況下，當屬性間關聯性的數值差異較大時，所得決策結果容易出現與本文所提方法不一致的情況.例如依據基于區間猶豫模糊優先加權幾何算子所得決策結果，應聘者排序中出現了與之前結果不一致的情況，即屬性間存在的關聯性影響了最終決策結果的得出.

不同于常見的基于集成算子的多屬性決策方法，本文提出的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法充分利用了模糊圖的特點與優勢，不僅能夠有效表示多屬性決策信息具備的不完備性與猶豫性，而且可同時處理區間猶豫模糊環境中屬性間存在的關聯性與優先關系.即利用區間猶豫模糊圖的特點與優勢，為現實中普遍存在的同時具備關聯性與優先關系的復雜不確定多屬性決策問題提供了一種有效的解決方案.同時，本文提出的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法進一步凸顯出了猶豫模糊圖建模在復雜多屬性決策中的重要科學意義與潛在應用價值.

5 總 結

本文針對區間猶豫模糊背景中屬性間同時具有關聯性與優先關系的多屬性決策問題，研究了一種基于模糊圖的多屬性決策方法.首先提出了區間猶豫模糊圖的定義，并從運算規則與映射關系的角度豐富了區間猶豫模糊圖理論；接著構建了考慮關聯性與優先關系的區間猶豫模糊圖多屬性決策方法；最后用某高等院校海外優秀人才引進的實例分析進一步驗證了所提出多屬性決策方法的可行性與有效性.下一步研究工作將關注決策評價信息為不完全或混合猶豫模糊信息的模糊圖多屬性決策方法，同時也可將區間猶豫模糊圖的應用范圍擴大到形式概念分析、聚類分析、自然語言處理等領域.