對高中數學試題評講課的一點思考

☉江蘇省南京市行知實驗中學 徐 敏

考試完后，教師要做的第一件事就是評講試卷，上試卷評講課.如何上好試題評講課，需要教師認真思考，積極探索.在日常教學中，我們不難發現，有的老師在講評試題時，只公布答案，其結果必然是學生知其然而不知其所以然，以后遇到相類似的題目，他們依然是“一頭霧水”或“重蹈覆轍”.其實任何一道精心設計的數學試題，都蘊含著豐富的數學思想，如果教師在評講試題時注重思想方法的滲透、技能技巧的傳授、解題誤區的提醒等，那么學生會“吃一塹長一智”，從而養成良好的思維品格.所以說，講評課也要講究教法，只有正確的教法才能促使學生的思維得到進一步發展.那么數學評講課應特別注意哪些細節問題呢？本文做了一點思考.

思考一、試卷評講課要注重“一題多解”，培養學生思維的求異性

講評時，教師可以啟發學生從不同角度去思考問題，讓學生展示多種解題思路，以提高學生的綜合分析能力和數學知識的整合能力，發展他們的求異思維.在講評試題時，教師不能僅僅滿足于常規方法的介紹，更要引導學生探究一些既簡單明了又凸顯數學本質的，極富創造性的解題思路，這樣才能使學生的思維水平有所提高，使數學能力“更上一層樓”.

案例1已知點A，B，C 滿足5，則的值是______.

本題出自一次期中測試，難度中等，全班正確率達百分之八十二，可能有的教師認為這種題可讓學生自己訂正，不必在講評課上大費周章，但筆者卻認為，越是基礎性的問題，講評時越要講到位，可謂“小題大做”，讓學生從一個題目中感悟多種方法.于是，筆者引導學生發現了以下五種解題思路：

圖1

圖2

一題五解，讓學生興奮不已，深感數學的神奇魅力.興奮之余，教師必須向學生指明這類問題的通法：

（1）矢量運算，根據向量運算的定義或是把向量轉化為基底處理；

（2）坐標運算，通過建立合適的坐標系表示出題目中的點的坐標.坐標運算的思維要求相對較低，可優先考慮.

思考二、試卷評講課要注重“一題多變”，培養學生思維的廣闊性

我們倡導學生在“變”中學數學，試題評講課更要注重“變”，即“一題多變”，通過對原考試題的結構變換，如數學情境的變化，已知條件的變化，已知條件與所求結論的互換等，讓數學問題由淺入深，層層遞進，這樣不但可以上出試題評講課的新意，吸引學生的注意力，而且還能收到觸類旁通、舉一反三的效果，培養學生思維的廣闊性.

案例2求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值為______.

這是一道高一三角恒等變換單元的測試題目，屬非特殊角三角函數求值問題，一般可通過“變角”變出特殊角，或通過改變式子結構，利用整體思想求值就可求得答案.本題也是一個“一題多解”的好素材，筆者先引導學生發現了三種解法（由于篇幅有限，這里略）后，又提出了以下變式，請大家思考：

變式1：求cos273°+cos247°+cos47°cos73°的值.

點撥：本題與原題相比，結構一脈相承，只是函數名做了變化，只要利用誘導公式就可將其還原，容易求得答案.

變式2：求sin2α+cos2（α+60°）+sinαcos（α+60°）的值.

點撥：本題結構依然與例題相同，但角加入了參數，容易發現兩角之差是特殊角，這就是破解本題的突破口.受原題一題多解的啟發，得到如下解答：

變式3：證明x+y=2kπ+（k∈Z），則sin2x+sin2y+sinxsiny 為定值

點撥：參照變式2，本題將結論一般化，具體如何證明可仿造變式2 的解答過程.（過程略）

值得說明的是，一題多變的目的是讓學生感悟一類問題的解法，原題與變式之間，變式與變式之間的解法往往具有一致性，這樣更有利于學生從一道題的講解中掌握一類題的解法.

思考三、試卷評講課要注重“一題多拓”，培養學生思維的深刻性

試卷評講課，應該借助試題平臺，引導學生開展研究性學習，讓學生“溫故而知新”.當一道試題分析完畢，教師應該將這個問題適當加以拓展，在題目的深度上做些思考，最常見而又最有效的教法就是“一題多拓”.即從學生的實際認知水平出發，通過對試題的開放性與發散性進行拓展，彰顯問題的數學本質，通過對拓展問題的探究與探討，進一步激活學生的思維，發展學生思維的深刻性.

案例3在△ABC 中，角A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC 的平分線交AC 于點D，且BD=1，則4a+c 的最小值為______.

本題出自2018年高考江蘇卷，考查基本不等式的應用，難度中等偏上.高考結束后，筆者請高二學生也做了這份試題，發現此題的得分率并不理想，問題出在面對多元問題，學生不知如何去利用基本不等式.于是筆者在講評課上，對此類多元不等式問題做了些拓展.

拓展1：若x，y，z 均為正實數，且x2+y2+z2=1，則的最小值為______.

拓展2：已知正數x，y 滿足，那么y 的最大值為______.

拓展3：若實數x，y 滿足2x2+xy-y2=1，則的最大值為______.

設計說明：拓展1 主要指導學生利用換元法將三元問題轉化為一元問題；拓展2 可將兩個變量分離，先將目標轉化為求函數值域問題，再將其轉化為解對應不等式問題，思維再上一個臺階.拓展3 是前2 題方法的綜合，難度進一步加大，其解答如下：

把2x2+xy-y2=1 變為（x+y）（2x-y）=1，

從拓展3的解答可以看出，引進參數不是增加元，而是為了巧妙消元，引入一元參數t，消去兩元x 與y，不僅使原式成為關于t 的函數，而且還可將其配成基本不等式應用的模式，真可謂“合理引參，巧奪天工”.將學生的思維推向更高的層次.

從某個角度看，講評試卷是對考試的一種反思，而反思其實是一種更高層次的學習.因此教師講評試卷，應引導學生思考，切不可就題論題，應借助“一題多解”、“一題多變”和“一題多拓”等手段，進一步激發學生的思維，為學生思維的可持續發展創造條件.