逆向思維的常見類型及培養(yǎng)策略

☉廣東省信宜中學(xué) 蔡玉姬

根據(jù)心理學(xué)對(duì)思維的研究結(jié)果，人們的思維不是單向的，一個(gè)特定的思維過程一般來說都會(huì)有一個(gè)相應(yīng)的反向思維過程，我們?cè)诮鉀Q問題的過程中會(huì)逐漸形成一種習(xí)慣性思維，在遇到新問題時(shí)也會(huì)傾向于選擇這種對(duì)于自己來說更加熟悉和自然的思考方法，然而在有些情況下這會(huì)在無形之中限制我們思維的靈活性，使我們難以應(yīng)對(duì)不熟悉的問題，因此教師在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng).

一、前言

人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物發(fā)展的時(shí)候會(huì)不自主地帶上一些方向性，比如，我們會(huì)傾向于把符合自己認(rèn)知習(xí)慣的事物發(fā)展方向認(rèn)為是正向的，而把與其對(duì)立的方向認(rèn)為是逆向的，這是人們思維主觀性與客觀性相結(jié)合的結(jié)果.

我們?cè)诮鉀Q問題的時(shí)候會(huì)受這種思維的影響，傾向于從自己習(xí)慣的角度去尋找問題的解決方法，雖然有些時(shí)候這能幫助我們省去一些思考的時(shí)間，提高解決問題的效率，但是如果我們拘泥于用自己習(xí)慣的思維來考慮問題，有時(shí)反而會(huì)限制我們的思路，很多情況下難以得到問題的答案或者解決方案會(huì)不盡人意，這個(gè)時(shí)候逆向思維往往就能發(fā)揮很大的作用.

例如，筆者曾經(jīng)看見過這么一道有趣的例題：某富商在臨終之前將自己剩下的19 頭羊分配給自己的3 個(gè)兒子，希望長(zhǎng)子能夠分得一半，次子可以獲得四分之一，最小的孩子分得五分之一，并且不能殺死羊而分羊肉，富商死后，幾位兒子討論了很多天也沒有結(jié)果，你能嘗試幫助他們解決這個(gè)問題嗎？這個(gè)問題如果按照正向思維來考慮的話很難解決，因?yàn)檠虻目倲?shù)不是2、4、5 中任意一個(gè)數(shù)字的整數(shù)倍，問題會(huì)不可避免地涉及分?jǐn)?shù)，但如果我們嘗試打破思維定勢(shì)，從反方向思考這個(gè)問題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)新天地：假設(shè)我們可以從別處借來一只羊，使羊的總數(shù)達(dá)到20，那么很自然地，我們可以很輕易地得出大兒子可得10 只，二兒子可得5 只，而最小的兒子可得4 只，最后再將借來的羊還回去就可以了，這樣的分配方法滿足富商給出的條件.

另外，逆向思維還能幫助我們發(fā)現(xiàn)一些有價(jià)值的規(guī)律.比如，法拉第的電磁感應(yīng)定律就是逆向思維的產(chǎn)物，早在十九世紀(jì)初，物理學(xué)家奧斯特就發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，即電流可以在其周圍激發(fā)出磁場(chǎng)，英國(guó)物理學(xué)家法拉第受到辨證思想的啟發(fā)，開始逆向思考，既然電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，那么磁場(chǎng)會(huì)不會(huì)也對(duì)電流產(chǎn)生影響呢？在不懈的努力研究下，法拉第發(fā)現(xiàn)了切割磁感線可以產(chǎn)生電流的現(xiàn)象，即著名的電磁感應(yīng)效應(yīng).再比如，德布羅意通過逆向思考發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)波，古今中外的許多科學(xué)家都是在逆向思考的過程中發(fā)現(xiàn)了一些驚人的規(guī)律.

二、逆向思維的心理學(xué)原理和獨(dú)特教育價(jià)值

根據(jù)心理學(xué)對(duì)思維的研究結(jié)果，人們的思維不是單向的，一個(gè)特定的思維過程一般來說都會(huì)有一個(gè)相應(yīng)的反向思維過程，通俗地說，它就是我們生活中的反著想一下.之前提到，我們?cè)诮鉀Q問題的過程中會(huì)逐漸形成一種習(xí)慣性思維，在遇到新問題的時(shí)候也會(huì)傾向于選擇這種對(duì)于自己來說更加熟悉和自然的思考方法，然而在有些情況下這會(huì)在無形之中限制我們的靈活性，使我們難以應(yīng)對(duì)不熟悉的問題.

上述情況對(duì)應(yīng)到學(xué)生身上就體現(xiàn)為思維路徑單一，不能靈活應(yīng)用定理規(guī)則解決變題等問題，這實(shí)際上是學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力缺失的一種表現(xiàn).解決這一問題的關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.逆向思維與習(xí)慣性思維的不同之處在于，它更強(qiáng)調(diào)思維的發(fā)散性與創(chuàng)新性，一般的表現(xiàn)形式有以下幾種：對(duì)常用數(shù)學(xué)定理和定義、公式等的逆向運(yùn)用，很經(jīng)典的一個(gè)例子就是逆用勾股定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形；對(duì)于難以正面證明的問題進(jìn)行逆向的推理和計(jì)算，反證法的思想本質(zhì)上就是這樣一種逆向思維.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力也是實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的重要手段，教師應(yīng)在日常教學(xué)中對(duì)其予以高度重視.

三、兩種常見的逆向思維類型

逆向思維是一個(gè)很大的概念范疇，細(xì)分下來有三種，即反轉(zhuǎn)型、轉(zhuǎn)換型和缺點(diǎn)型逆向思維法，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該著力培養(yǎng)學(xué)生前兩種逆向思維能力，下面筆者將對(duì)應(yīng)到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)這兩種逆向思維類型做簡(jiǎn)單解釋.

所謂反轉(zhuǎn)型逆向思維就是從數(shù)學(xué)定理的因果關(guān)系的反方向開展推理探究的一種思考方式，它能幫助學(xué)生解決一些正向思考較為復(fù)雜的問題，最典型的例子就是我們常用的反證法.舉例說明，要證明任意一個(gè)三角形至少有一個(gè)角是不小于60°的，如果想用正向思維解決就需要分情況討論，然而這樣的問題更適合用反證法來解決，逆向思考問題條件“至少有一個(gè)角不小于60°”，我們可以將其轉(zhuǎn)化為“三個(gè)角都小于60°”，接著再利用三角形內(nèi)角之和為180°這一基本定理證明上述三角形根本不存在即可，反轉(zhuǎn)型逆向思維的針對(duì)性較強(qiáng)，需要學(xué)生能夠精確把握問題的條件和問題的目標(biāo).

轉(zhuǎn)換型逆向思維就是在解決問題時(shí)如果某常用方法受到限制，則嘗試轉(zhuǎn)換思考角度或解決手段以順利解決問題的思想方法，我們耳熟能詳?shù)墓适隆八抉R光砸缸”就是一個(gè)經(jīng)典的例子，司馬光不能按照常規(guī)的方法把朋友從水缸中救出來，就轉(zhuǎn)換思路打破了水缸.以一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)概率題為例，假設(shè)有四名士兵正在進(jìn)行射擊訓(xùn)練，現(xiàn)如果他們同時(shí)向一目標(biāo)模型射擊，只要有一人擊中了目標(biāo)，即判定為目標(biāo)被擊落，四人射中目標(biāo)的概率分別為0.8，0.85，0.9，0.95，試求該目標(biāo)被成功擊落的概率.要想高效率地解決這道題，學(xué)生需要能夠靈活轉(zhuǎn)換問題視角，比如思考問題的對(duì)立情況，即目標(biāo)沒有被任意一名士兵擊中，對(duì)從正面思考難以解決的問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化往往能夠帶來意想不到的簡(jiǎn)化效果.

四、三種基本的逆向思維培養(yǎng)策略

1.立足基本數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生逐漸適應(yīng)利用逆向思維解決問題

學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的掌握程度會(huì)直接影響他們對(duì)后續(xù)公式和定理的理解，因此教師應(yīng)該從數(shù)學(xué)概念入手，逐漸讓學(xué)生適應(yīng)利用逆向思維解決問題.

教學(xué)實(shí)例1現(xiàn)有一個(gè)偶函數(shù)f（x）=（m-1）x2-mx+2，嘗試說明f（0.75）和f（a2-a+1）的大小關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)偶函數(shù)的相關(guān)概念時(shí)是從如何判斷偶函數(shù)開始的，本例題將偶函數(shù)作為條件直接給出，希望學(xué)生能巧妙轉(zhuǎn)換思路，應(yīng)用函數(shù)的定義來解決問題.

解答：由f（x）=（m-1）x2-mx+2，得f（-x）=（m-1）x2+mx+2，又因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x），解得m=0，即f（x）=-x2+2.又易知a2-a+1≥0.75＞0，所以我們只需要關(guān)注f（x）在［0，+∞）部分的單調(diào)性即可，觀察函數(shù)圖像易知其開口向下，所以f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減.因此f（0.75）≥f（a2-a+1）.

教學(xué)實(shí)例2已知函數(shù)y=（a2-3a+3）ax是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，那么下列關(guān)于參數(shù)a 的說法正確的是（ ）.

A.a=1 或2 B.a=1 C.a=2 D.a=3

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試逆向思考和應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的定義.

解答：易知a2-3a+3=1，又因?yàn)閍＞0 并且a≠1，所以a=2.

2.引導(dǎo)學(xué)生逆向應(yīng)用運(yùn)算律和題目提供的條件

教學(xué)實(shí)例3試對(duì)下列表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生熟知的三角函數(shù)倍角公式是2sinαcosα可轉(zhuǎn)化為sin2α，這個(gè)例題的意圖在于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注倍角公式的反向應(yīng)用.

又根據(jù)參數(shù)的取值范圍可知cosα＞sinα，所以最終的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)是cosα-sinα.

教學(xué)實(shí)例4如果f（x）在其定義域（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，并且f（2）=1，且函數(shù)f（x）滿足條件f（xy）=f（x）+f（y），則試求當(dāng)函數(shù)滿足f（x）+f（x-3）≤2 時(shí)x 的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：本例題需要學(xué)生逆向應(yīng)用題干給出的條件.

解答：由條件f（xy）=f（x）+f（y）可知f（x）+f（x-3）=f（x2-3x），又觀察題干條件可知f（2）+f（2）=2，而f（2）+f（2）=f（4），所以f（x2-3x）≤f（4）.又因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上的單調(diào)性為增，所以可得下列關(guān)系式：

3.抓住題目條件中的逆向性

教學(xué)實(shí)例5如果在直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)A（1，2），它在函數(shù)的圖像上，且它也在其反函數(shù)的圖像上，試求參數(shù)a，b 的值.

解答：根據(jù)反函數(shù)的定義可知，函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若點(diǎn)A在某函數(shù)圖像上，則其關(guān)于直線y=x 的對(duì)稱點(diǎn)也在對(duì)應(yīng)的反函數(shù)的圖像上，本題給出的條件中，點(diǎn)A同時(shí)在函數(shù)與對(duì)應(yīng)反函數(shù)的圖像上，因此點(diǎn)A 與其對(duì)稱點(diǎn)A′都在函數(shù)的圖像上，代入兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)并聯(lián)立方程組可得a=-3，b=7.