拓展高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維空間的教學(xué)思考

☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 陶中亞

學(xué)生在知識(shí)的掌握與能力的發(fā)展上很可能并不同步，學(xué)生能力的發(fā)展必須建立在掌握知識(shí)這一基礎(chǔ)與前提之上，但這并不意味著能力的形成與發(fā)展只要堆積知識(shí)就可以實(shí)現(xiàn)，學(xué)生的思維能力需要知識(shí)的積累及學(xué)習(xí)過(guò)程中的不斷探索.

新課標(biāo)理念下的教育思想側(cè)重于知識(shí)傳授與能力培養(yǎng)的雙重發(fā)展，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)著眼于學(xué)生知識(shí)和能力的相互促進(jìn)，幫助學(xué)生有效積累基礎(chǔ)知識(shí)并使其實(shí)驗(yàn)觀察能力、邏輯思維能力、自學(xué)能力、創(chuàng)造能力獲得長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展，在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生情感、意志、毅力、性格等非智力因素的發(fā)展并使其獲得全方位的提升.因此，學(xué)生思維空間的拓展及思維能力的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教師必須重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容.

一、巧設(shè)解題“陷阱”

很多學(xué)生因?yàn)槿狈λ伎级跀?shù)學(xué)問(wèn)題的處理上不能獲得周全、準(zhǔn)確的結(jié)論，教師有意設(shè)計(jì)的解題“陷阱”能夠有效幫助學(xué)生在激烈的思維碰撞中加深對(duì)數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的理解、辨析與刻畫(huà).

例1已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中a3=3，S3=9，則數(shù)列{an}的公比q 為多少？

上述題目對(duì)于初學(xué)等比數(shù)列求和公式的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一道簡(jiǎn)單題，但學(xué)生在此題實(shí)際求解過(guò)程中的表現(xiàn)卻令筆者詫異，很多學(xué)生的解題出現(xiàn)了錯(cuò)誤.探究學(xué)生的錯(cuò)誤，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生沒(méi)有注意到等比數(shù)列求和公式的適用條件是他們解題產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因，學(xué)生在解題中直接使用了公式并漏掉了公比q=1 的情況，令解題正確率偏低.

二、挖掘題目?jī)?nèi)涵

引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立明確目標(biāo)、探索條件的思維方式并使其對(duì)題目的內(nèi)涵展開(kāi)深入的挖掘，能使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到很大的提升，使其思路更加活躍并能夠提升其學(xué)習(xí)的效率.

例2已知向量a=（3，-4），a+b=（4，-3）.

（1）試求向量a 和b 的夾角θ 的余弦值；

（2）對(duì)p、q 兩個(gè)向量，若存在不全為零的常數(shù)α、β，使αp+βq=0，則稱向量p 和q 線性相關(guān)，反之則稱為線性無(wú)關(guān).那么向量a、b 屬于線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)呢？

解析：（1）因?yàn)閍=（3，-4），a+b=（4，-3），所以b=（1，1）.所以

（2）如果向量a、b 線性相關(guān)，那么存在不全為零的常數(shù)α、β，使αa+βb=0，即（3α+β，-4α+β）=（0，0）.故，解得這α、β不全為零相矛盾.所以向量a、b 線性無(wú)關(guān).

三、一題多解訓(xùn)練

精心設(shè)計(jì)一題多解的教學(xué)訓(xùn)練能夠有效幫助不同層次的學(xué)生獲得有意義的拓展和提升，幫助學(xué)生拓寬思路并使其求異思維能力獲得長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展.

例3已知α、β 是銳角，sin（α+β）=2sinα，求證：α＜β.

解決此題應(yīng)從三角函數(shù)值的相等關(guān)系推出角度的不等關(guān)系，涉及的領(lǐng)域從概念和運(yùn)算關(guān)系來(lái)看是比較廣泛的，此題的解決對(duì)于拓展學(xué)生的思維能夠起到很好的作用.此題的不同證法如下.

證法1：著眼于解決此題的一般方法并進(jìn)行遷移.

因?yàn)棣痢ⅵ?是銳角，所以結(jié)論α＜β 與sinα＜sinβ 是等價(jià)的.

因?yàn)閟in（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，所以sin（α+β）＜sinα+sinβ.

又因?yàn)閟in（α+β）=2sinα，所以2sinα＜sinα+sinβ.所以sinα＜sinβ.所以α＜β.

證法2：著眼于此題中有關(guān)三角、幾何的有意義的細(xì)節(jié)，以及特殊因素進(jìn)行解題，在直徑是1 的圓內(nèi)作角α、β，如圖1 所示.

BC=sinα，BD=sinβ，CD=2Rsin（α+β），即CD=sin（α+β）.

因?yàn)锽D＞CD-CB，所以sinβ＞sin（α+β）-sinα=sinα.所以β＞α.

圖1

圖2

證法3：將α、β 看作△ABC 的兩個(gè)銳角，如圖2 所示.

證法4：用反證法進(jìn)行證明，由α=β 或α＞β 推出矛盾，證得α＜β，證明過(guò)程略.

類似上面的訓(xùn)練能很好地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓學(xué)生思路的同時(shí)也使其視野得以開(kāi)闊.

四、多題歸一訓(xùn)練

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題之間存在不同程度的量的差異，但在問(wèn)題的本質(zhì)上往往區(qū)別不大，甚至沒(méi)有區(qū)別.教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)精選典型習(xí)題并進(jìn)行有的放矢的精講、點(diǎn)撥與拓寬，幫助學(xué)生在掌握某類題目解法的同時(shí)熟練掌握其一般解題方法，凸顯問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵并幫助學(xué)生逐步積累正確的解題經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在解題訓(xùn)練中逐步獲得舉一反三、觸類旁通的解題能力與思維.

例4求下列函數(shù)的值域：

分析：求上述函數(shù)的值域，看似問(wèn)題不同，但如果將（2）、（3）、（4）中的x2、2x、sinx 看成整體，那么這三個(gè)小題和（1）就成了同一類型的題目了，因此，學(xué)生只要能求出（1）中函數(shù)的值域，求解（2）、（3）、（4）中函數(shù)的值域也就不難了，不過(guò)解題過(guò)程中還是應(yīng)該注意這四個(gè)小題的區(qū)別的，x、x2、2x、sinx 間的取值范圍各有不同.

五、一題多問(wèn)訓(xùn)練

訓(xùn)練學(xué)生串聯(lián)解題能力與邏輯推理能力的一個(gè)有力舉措就是一題多問(wèn)，一題多問(wèn)訓(xùn)練能幫助學(xué)生更好地深化概念或規(guī)律并令概念或規(guī)律得以升華發(fā)展，這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維來(lái)說(shuō)是最為有力的手段.以下例題中環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，著眼于學(xué)生已有知識(shí)與問(wèn)題之間的聯(lián)系，進(jìn)行了學(xué)生思維的啟發(fā)，使學(xué)生能夠在相對(duì)集中的線索中展開(kāi)思考與探索并獲得了發(fā)散思維的鍛煉，知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系得以順利揭示的同時(shí)也令學(xué)生更好地掌握了解題的思路與脈絡(luò).

例5已知函數(shù)f（x）=x2-4，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線和x 軸相交，其交點(diǎn)是（xn+1，0）（n∈N*），其中x1為正實(shí)數(shù).

（1）用xn表示xn+1；

（2）求證：對(duì)一切正整數(shù)n，xn+1≤xn的充要條件為x1≥2；

（3）若x1=4，記，請(qǐng)嘗試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)所應(yīng)具備的思維能力的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)中最應(yīng)該關(guān)注的，拓展學(xué)生的思維空間能夠給予學(xué)生更多的獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在解題中運(yùn)用不同的思路進(jìn)行解題探究并不斷嘗試思維的求異性，幫助學(xué)生逐步提升思維能力并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)、歸納一些高效思考和分析問(wèn)題的方式，使學(xué)生能夠在解決各種問(wèn)題的過(guò)程中不斷積累解題的經(jīng)驗(yàn)并獲得發(fā)揮思維能力的空間.

學(xué)生數(shù)學(xué)思維空間的拓展必須依賴有效的數(shù)學(xué)實(shí)踐，也就是解題，巧設(shè)“陷阱”、一題多解、挖掘題目?jī)?nèi)涵、多題歸一、一題多問(wèn)等訓(xùn)練方式能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間，教師應(yīng)精心營(yíng)造適合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維環(huán)境并注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維需求的引發(fā)，使學(xué)生在掌握一定思維方法的基礎(chǔ)上獲得更好的思維狀態(tài)、思維品質(zhì)并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維空間來(lái)說(shuō)是極為重要的前提條件.

總之，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)并有意識(shí)地創(chuàng)造出適合學(xué)生思維的空間與平臺(tái)，使學(xué)生借助已有知識(shí)信息展開(kāi)合理高效的思維并在遷移思維、逆向思維、求異思維、發(fā)散思維、推理思維的推動(dòng)下對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)不同角度的思考、分析、解決和論證，使學(xué)生在思維迅速發(fā)展的過(guò)程中不斷積累知識(shí)和解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生在思維和知識(shí)的相互促進(jìn)、共同發(fā)展的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力的全方位發(fā)展.