滲透思想方法的高中數學教學例談與思考

☉江蘇省奔牛高級中學 林美仙

對數學事實和理論進行高度提煉、概括所得的本質認識即為我們通常所講的數學思想，數學思想這一數學知識與方法產生的根本源泉對于解決數學問題來說無異于指路明燈.華麗的“包裝”對于試題來說遠遠比不上其本身所蘊含的思想方法.教師在實際教學中應努力體現數學思想的價值并引導學生對多種解法進行全方位、多角度的思考，使學生能夠在多維思考與探究的過程中進行不同知識間聯系的溝通，順利構建知識網絡并獲得發散思維的鍛煉，并因此在不同的切入口進行思維與鍛煉的過程中獲得數學能力與核心素養的發展.本文著眼于一道基礎測試題的解法探究，主要談談筆者在解題教學中滲透數學思想、內化素養的一些思考和體會.

一、各種視角下的解題探究

試題已知實數x，y 滿足x2+xy+4y2=1，則x+2y 的最大值為______.

視角1.構造思想

構造法運用于解題主要是數學式子或模型的構建，這需要對已知條件與問題進行觀察和分析并聯系已有知識來實現.本題的解決可以利用重要不等式x，y∈R，x2+y2≥2xy，當且僅當x=y 時取等號.

視角2.函數與方程思想

利用函數概念和性質對問題進行分析、轉化和解決即為函數思想的運用，方程思想則是著眼于問題的數量關系進行轉化和數學模型的建構，方程、不等式和不等式組是運用方程思想解題的主要形式.

令x+2y=t，則直線x+2y=t 和曲線x2+xy+4y2=1 有交點.

視角3.換元思想

又被稱作輔助元素法和變量代換法的換元法需要引進新的變量，問題中分散的條件及隱含的條件因此得以聯系與顯露，在此基礎上所進行的條件與結論的聯系往往能使問題獲得轉化.三角換元解決此題是完全可行的.

視角4.等價轉換思想

當問題比較難以解決時，教師可以引導學生將需要解決或者較難解決的問題進行某種轉化，使問題最終歸結為一類已經解決或者比較容易解決的問題，這種思想即為等價轉換，等價轉換思想用于解題思考也是一種有效的方法.應用1 的代換與齊次化方法解決本題一樣可行.

視角5.數形結合思想

運用數形結合思想解題的關鍵在于數形之間的相互轉化，也就是運用代數方法對幾何問題進行處理和解決，或者根據問題的已知條件進行構圖來解決代數問題.構造三角形并利用正弦余弦定理解決這一問題一樣可行.

因為x2+xy+4y2=1，當x＞0，y＞0 時，x+2y 可取最大值.令2y=t，則

圖1

根據正弦定理可得：

視角6.特殊化思想

數學高考試題往往變化多端且深淺難測，充分挖掘隱藏于問題之中的特殊因素能使解題更加簡捷，很多煩瑣的運算、作圖與推理往往會因此避開，一些意想不到且新穎獨特的解法也會因此產生.利用特殊因素對解題進行特殊的思維即為特殊化思想視角下的解題.事實上，高考試題中的不少選擇題與填空題可以運用特殊化思想實現順利解題.

令x=2y，則由x2+xy+4y2=1，可得10y2=1，所以y=.因此x+2y 的最大值為

二、教學思考

1.幫助學生在解題中領悟數學思想

幫助學生解決數學問題自然不會是數學教學的根本目的，數學教學的根本目的應該是幫助學生在數學學習中領悟數學思想并學會具體的應用，也就是說，教師幫助學生學會運用數學思想解決實際問題才是最根本的.不過，學生僅憑教師的講授是無法真正熟練掌握數學思想的，教師必須進行針對性的反復訓練，才能幫助學生在實際應用中進行揣摩并學會靈活運用.教師應有意識地引導學生思考解題并使其思維模式獲得最大化的提高.學生的思考過程在缺失教師引領的情況下往往會產生一定的錯誤或發生偏差，因此，教師在實際教學中一定要注意典型題目的講解，使學生能夠在一些典型的、具有代表性的解題教學中獲得啟發，不斷萌發學習興趣并因此逐步提升自己的學習效率、創造能力與思維能力.

2.幫助學生在知識發生中領悟數學思想

數學學習有一定的層次之分，理論知識屬于相對較淺層次的學習，數學思想則屬于相對較深層次的學習.數學知識的熟練掌握是數學思想學習與領悟的基礎.表層知識的學習在教師的傳授中一般能獲得較為理想的效果，但深層的數學思想卻離不開學生自己的領悟與體會，而且這必須建立在學生已經熟練掌握知識并知識積累達到一定的程度才能實現.支撐、統帥表層知識的數學思想這一深層次的學習離不開學生對這一學科精髓的深層理解.因此，教師在實際教學中一定要加以深層次知識的灌輸并使表層知識、深層思想都能得到有意義的傳授，使學生在雙管齊下的教學模式中獲得思維最大化的發展和提高.

數學思想方法與操作程序是兩個完全不同的概念，數學思想方法的教學自然沒有具體的步驟，需要的是學生在熟練掌握知識基礎之上的深層領悟與理解，只有這樣，學生在解題時才能快速尋得準確的解題方向.本文所闡述的各種不同視角下的解題，實際上是對學生感悟數學思想的引領.筆者在上述章節中闡述的各種數學思想在近年來的數學高考試題中均有所體現，試題難度的上升也將數學思想方法在解題中的作用體現得越發明顯.教師在實際教學中應多加重視數學思想在解題中的引領并啟發學生進行多種解法的思考.滲透數學思想方法的教學能幫助學生在傳統的知識學習中獲得轉型，使學生能夠在知識型學習向能力型學習的轉化中獲得有意義的啟發與領悟.