集合與常用邏輯用語“錯例點擊”

☉江蘇省灌云縣第一中學 周井喜

對學生在學習集合與常用邏輯用語這一部分知識時，常犯的典型錯誤加以歸類解析，以幫助學生理清錯之根源，明確解題易錯點，進一步提高解題的準確性.

類型一、忽視含參集合可能為“空集”，導致錯誤

例1設集合A={x｜x2+x-6=0}，B={x｜mx+1=0}，若A∩B=B，則實數m 的值為______.

錯解：化簡集合A={2，-3}，又A∩B=B，所以集合B={2}，或B={-3}，或B={2，-3}（顯然不適合題意，舍去）.所以2m+1=0，或-3m+1=0，解得，或.故所求實數m 的值為

剖析：A∩B=B，即B?A，顯然B=?也滿足.據此可知，上述錯解的根源在于沒有考慮B=?（即對應方程無解）這種特殊情形.

正解：化簡集合A={2，-3}，又A∩B=B，所以集合B=?，或B={2}，或B={-3}.所以方程mx+1=0 無解，或2m+1=0，或-3m+1=0，解得m=0，或，或.故所求實數m 的值為0 或

類型二、忽視對約束條件的“辯證”分析，導致錯誤

例2已知集合{b}={x｜ax2-4x+1=0}（a，b∈R），則a+b=（ ）.

錯解：因為{b}={x｜ax2-4x+1=0}（a，b∈R），所以方程ax2-4x+1=0 有兩個相等的實數根，均為b.

剖析：因為a∈R，所以集合中的約束條件ax2-4x+1=0 不一定是關于x 的一元二次方程（當a=0 時，為一元一次方程；當a≠0 時，為一元二次方程）.據此可知，上述錯解的根源在于將方程ax2-4x+1=0 看作是關于x 的一元二次方程，缺少對a=0 這種特殊情況的分析，從而導致了錯解.

正解：因為{b}={x｜ax2-4x+1=0}（a，b∈R），所以方程ax2-4x+1=0 有且只有一個實根b.當a=0 時，有-4b+1=0，解得，所以；當a≠0 時，有解得，所以.故所求a+b 的值為或.故選D.

類型三、忽視具體分析“等號”能否真正取到，導致錯誤

例3已知集合M={x｜0＜x＜4}，N={x｜x＜-1 或x＞2}，P={x｜m-1≤x≤m+1}，求分別滿足下列條件的實數m 的取值范圍：（1）P?RM；（2）N∩P=?；（3）M∪P=M.

錯解：（1）因為RM={x｜x≤0 或x≥4}，P={x｜m-1≤x≤m+1}，所以借助數軸分析知，應使m+1＜0 或m-1＞4?m＜-1 或m＞5.

故所求實數m 的取值范圍是（-∞，-1）∪（5，+∞）.

（2）借助數軸分析知，應使m-1＞-1 且m+1＜2?0＜m＜1.故所求實數m 的取值范圍是（0，1）.

（3）因為M∪P=M，即P?M，所以借助數軸分析知，應使m-1≥0 且m+1≤4?1≤m≤3.故所求實數m 的取值范圍是［1，3］.

剖析：根據集合之間的約束條件，探求參數滿足的不等關系時，需要特別注意——具體考查不等關系中的“等號”是否能夠真正取到；否則，極易出錯.通過具體的考查判斷，可知上述第（1）、（2）題的解析，借助數軸分析得到的不等關系中應該均有“等號”，而第（3）題應該沒有“等號”.

正解：結合上述剖析易知：（1）所求實數m 的取值范圍是（-∞，-1］∪［5，+∞）；（2）所求實數m 的取值范圍是［0，1］；（3）所求實數m 的取值范圍是（1，3）.

類型四、忽視準確“否定”條件或結論，導致錯誤

例4（1）命題“若a+b 是奇數，則a，b 都是奇數”的否命題是______；

（2）命題“已知a，b，c，d∈R，若a≥b，且c≥d，則a+c＜b+d”的逆否命題是______.

錯解：（1）否命題是：若a+b 不是奇數，則a，b 都不是奇數；（2）逆否命題是：已知a，b，c，d∈R，若a+c≥b+d，則a＜b，且c＜d.

剖析：第（1）題錯在誤以為“都是”的否定是“都不是”，實際上應該是“不都是”；第（2）題錯在誤以為“a≥b，且c≥d”的否定是“a＜b，且c＜d”，實際上應該是“a＜b，或c＜d”.一般地，我們應該注意：“p 且q”的否定是“┐p或┐q”，“p 或q”的否定是“┐p 且┐q”.

正解：（1）否命題是：若a+b 不是奇數，則a，b 不都是奇數；（2）逆否命題是：已知a，b，c，d∈R，若a+c≥b+d，則a＜b，或c＜d.

類型五、忽視對充分條件和必要條件在不同敘述方式上的“準確”理解，導致錯誤

例5設m，n 是平面α 內的兩條不同直線，l1，l2是平面β 內的兩條相交直線，則α∥β 的一個充分而不必要條件是（ ）.

A.m∥β 且l1∥α B.m∥l1且n∥l2

C.m∥β 且n∥β D.m∥β 且n∥l2

錯解：本題考查α∥β 的一個充分而不必要條件是什么，即考查由α∥β 能得到什么結論，但反之由這個結論不能得到α∥β.

要得到兩個平面平行，則必須是一個平面內的兩條相交直線分別與另外一個平面平行.若兩個平面平行，則一個平面內的任一直線必平行于另一個平面.

結合以上分析，易判斷知，本題應選C.

剖析：本題易錯點是混淆“p 是q 的充分不必要條件”與“p 的充分不必要條件是q”.這兩種敘述的含義是不同的，請注意：“p 的充分不必要條件是q”，等價于“q是p 的充分不必要條件”，也等價于“p 是q 的必要不充分條件”.據此可知，上述錯解的根源在于，對目標問題的等價轉化分析恰好搞反啦，從而導致了錯誤的產生.

正解：本題考查α∥β 的一個充分不必要條件是什么，即考查由什么條件能得到α∥β，但反之由α∥β 不能得到這個條件.

要得到兩個平面平行，則必須是一個平面內的兩條相交直線分別與另外一個平面平行.若兩個平面平行，則一個平面內的任一直線必平行于另一個平面.

結合以上分析，易判斷知，本題應選B.

類型六、忽視對約束條件的“等價”轉化，導致錯誤

例6已知命題p：方程x2+mx+1=0 有兩個相異負根，命題p：方程4x2+4（m-2）x+1=0 無實根.若命題“p 且q”為假命題，命題“p 或q”為真命題，求實數m 的取值范圍.

錯解：對于命題?m＞2，即p 為“m＞2”.

對于命題q：Δ＜0?16（m-2）2-16＜0?m2-4m+3＜0?1＜m＜3，即q 為“1＜m＜3”.

因為“p 且q”為假，“p 或q”為真，所以p 真q 假.所以

故所求實數m 的取值范圍是［3，+∞）.

剖析：因為“p 且q”為假，是指p 和q 至少有一個為假，而“p 或q”為真，是指p 和q 至少有一個為真，所以約束條件“p 且q”為假，“p 或q”為真，即就是“p 與q 一真一假”.據此易知，上述錯解中得到——所以p 真q假，存在問題，因為缺少p 假q 真這種情況.

正解：對于命題p 和q 的等價轉化，同錯解（具體過程，略）.

因為“p 且q”為假，“p 或q”為真，所以p 與q 一真一假.具體討論如下：

綜上，可得1＜m≤2 或m≥3.故所求實數m 的取值范圍是（1，2］∪［3，+∞）.

總之，認真學習有關集合與常用邏輯用語常見錯誤類型，不但有利于提高對教材知識的到位認識，而且有利于積累解題經驗，有效避免一些差錯的產生，提升解題思維能力！