基于題目特征，合理選擇證明方法

☉江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 陸習(xí)曉

數(shù)學(xué)命題的真假，離不開(kāi)證明.數(shù)學(xué)證明的基本方法主要有兩類(lèi)：直接證明法與間接證明法.數(shù)學(xué)命題大多用直接證法，當(dāng)直接證明遇到困難時(shí)，就采用間接證法（主要是反證法）.所謂直接證明，就是從已知條件出發(fā)，并運(yùn)用有關(guān)定理、定義和性質(zhì)等加以邏輯推理，以證明結(jié)論的真實(shí)性；而間接證明剛好與之相反，從命題結(jié)論的反面出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格而又正確的推理，推出一個(gè)矛盾來(lái)，以此說(shuō)明結(jié)論的錯(cuò)誤性，即原結(jié)論的正確性.反證法的原理體現(xiàn)了原命題與它的逆否命題真假的一致性.

一、“由因?qū)Ч薄C合法

有些命題，條件與結(jié)論之間的關(guān)系比較容易發(fā)現(xiàn)，推理思路也較為清晰，對(duì)于這樣的命題宜采用綜合法，如立體幾何中常見(jiàn)的證明問(wèn)題、三角恒等式的證明等問(wèn)題.

根據(jù)已知條件，并以有關(guān)的定義、公理、定理和性質(zhì)為理論依據(jù)，采用邏輯推理的方法，層層推進(jìn)，一直推到需證明的結(jié)論為止，這就是綜合法.它的一般步驟如下：P0（已知）?P1?P2?…?Q（結(jié)論）.在采用綜合法證明時(shí)，需注意：要從該命題的前提出發(fā)，選定真實(shí)無(wú)誤且無(wú)可爭(zhēng)辯的出發(fā)點(diǎn)，再由此依次得出相關(guān)的命題與判斷，要求命題與判斷都是真實(shí)的，而最后一個(gè)命題或判斷必須包含我們需證明的命題的結(jié)論，這時(shí)命題才算獲證.需指出的是，在證明時(shí)并不是一開(kāi)始就能找到合理的思路，而是要在證明的過(guò)程中不斷對(duì)每步結(jié)論斟酌與推敲、比較與選擇，才能確定合理的思路.而積累解題經(jīng)驗(yàn)、掌握基本證法，則有助于我們縮短探尋證明思路的路程.

例1如圖1，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.設(shè)E 是DC 的中點(diǎn)，求證：D1E∥平面A1BD.

證法一：如圖1，連接BE，則四邊形DABE 為正方形.

所以BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1.

所以四邊形A1D1EB 為平行四邊形.

圖1

所以D1E∥A1B.

又D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

證法二：在圖1中，連接AD1，AE，設(shè)AD1∩A1D=G，AE∩BD=F，連接GF，由題意知G 是A1D 的中點(diǎn).

又E 是CD 的中點(diǎn)，所以四邊形ABED 是正方形，故F 是AE 的中點(diǎn).所以在△AED1中，GF∥D1E.

又GF?平面A1BD，D1E?平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于綜合法的應(yīng)用，我們還需注意：①證明方向是否明確，推理過(guò)程是否合理與恰當(dāng)；②在推理過(guò)程中，題目中的已知條件是否用上，推理過(guò)程是否缺損；③每一步推理得到的結(jié)論與判斷是否真實(shí)可信.

二、“執(zhí)果索因”——分析法

當(dāng)用綜合法證明命題時(shí)發(fā)生困難，覺(jué)得對(duì)已知條件不知從何入手，或者題目中給出的條件要么過(guò)于單一，要么太復(fù)雜煩瑣時(shí)，就可換用分析法來(lái)證明.如有些不等式的證明往往用分析法十分有效.

那么，什么是分析法？就是從所需證明的結(jié)論出發(fā)逆推，逐步探尋使它成立的充分條件，最后推出一個(gè)恒成立的結(jié)論，這個(gè)結(jié)論可以是已知條件，也可以是相關(guān)的定理、定義、公理或公式等，這種證明方法也是三段論的推理形式，它的步驟是：Q（結(jié)論）?Q1?Q2?Q3?…?P0（條件或事實(shí)）.

對(duì)于某些證明問(wèn)題，并不是一眼就看出應(yīng)用分析法的，必須對(duì)題目的條件與需證明的結(jié)論進(jìn)行分析.對(duì)推理過(guò)程中的每一步必須逐個(gè)考察，逐個(gè)思考，逐個(gè)分析，逐個(gè)判斷，看每一步的逆推能否建立相互之間的等效關(guān)系.這樣才可知道每一步的推理是否恰當(dāng)，從而找到正確的證明思路.

例2設(shè)a、b、c為任意三角形的三邊長(zhǎng)，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，試證：3S≤I2＜4S.

證明：因?yàn)镮2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=a2+b2+c2+2S，

所以要證3S≤I2＜4S，

只需證3S≤a2+b2+c2+2S＜4S，

即S≤a2+b2+c2＜2S（這個(gè)結(jié)論與要證明的結(jié)論是等價(jià)的）.

要證上式的左側(cè)，即證a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0，

即證（a2+b2-2ab）+（b2+c2-2bc）+（c2+a2-2ca）≥0（此式與前一式等價(jià)）.

要證上式成立，可證上式三括號(hào)中式子都非負(fù)（保證結(jié)論成立的充分性）.

由于a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，b2+c2-2bc=（b-c）2≥0，c2+a2-2ca=（c-a）2≥0，所以結(jié)論成立.

欲證上式右側(cè)成立，即證a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0，

即證（a2-ab-ac）+（b2-bc-ba）+（c2-ca-cb）＜0.

要證上式成立，可以先證上式三個(gè)括號(hào)中式子都小于零（保證結(jié)論成立的充分性），

即證a2＜ab+ac，b2＜bc+ba，c2＜ca+cb，即a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，顯然它們都成立，理由是“三角形一邊小于其他兩邊的和”.

故有3S≤I2＜4S 成立.

點(diǎn)評(píng)：本例源于教材的變式，具有較強(qiáng)的綜合性.證明過(guò)程中的每一步都是在尋找命題成立的充分條件.而充分條件的尋找，有時(shí)也離不開(kāi)綜合法.所以，分析法與綜合法是相對(duì)而言的，不是絕對(duì)分開(kāi)的，分析法側(cè)重于證明思路的尋找，而綜合法側(cè)重于證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，因?yàn)閷?duì)分析法的書(shū)寫(xiě)要求比較高，一般不建議采用.

三、“首尾并進(jìn)”——分析綜合法

分析法的特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”；綜合法的特點(diǎn)是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.有些命題的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或兩頭湊法.它們之間互為前提、互相滲透，分析法是用來(lái)尋找思路的，綜合法是用來(lái)敘述的，分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).

例3設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若函數(shù)f（x+1）與f（x）的圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱，求證為偶函數(shù).

證明：要證為偶函數(shù)，只需證明其對(duì)稱軸為x=0，即只需證，只要證a=-b 即可.

點(diǎn)評(píng)：①本題證明的前半部分用的是分析法，要證明結(jié)論成立，只需證明a=-b，后半部分用綜合法證明了a=-b；②在用分析綜合法證明時(shí)，可先分析再綜合，也可以先綜合后分析.

四、“推理——猜想”——數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)的命題有關(guān)的方法，先證初始值成立，n=n0時(shí)命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0）時(shí)命題成立，并利用這個(gè)假設(shè)的結(jié)論進(jìn)一步證明當(dāng)n=k+1（k≥n0）時(shí)命題也成立，由此得出原命題成立的結(jié)果.這也是一種演繹推理，主要用在等式的證明、不等式的證明、整除問(wèn)題的證明、幾何問(wèn)題的證明等方面.

例4已知m為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1 時(shí)，（1+x）m≥1+mx.

證明：（1）當(dāng)m=1 時(shí)，原不等式成立；

當(dāng)m=2 時(shí)，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x，因?yàn)閤2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)m=k 時(shí)，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx.

當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k·（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x.

所以當(dāng)m=k+1 時(shí)，不等式也成立.

綜合（1）（2）知，對(duì)一切正整數(shù)m，當(dāng)x＞-1 時(shí)，（1+x）m≥1+mx 都成立.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法證明第二步至關(guān)重要.第一步是證明的基礎(chǔ)，一般沒(méi)有難度，而第二步的證明，必須用到假設(shè)m=k時(shí)成立的結(jié)論，沒(méi)有用到這個(gè)結(jié)論的證明，不是數(shù)學(xué)歸納法.所以這一步的證明必須嚴(yán)格執(zhí)行數(shù)學(xué)歸納法的“規(guī)章制度”.

總覽近幾年的高考命題，往往需要考生用分析法分析問(wèn)題，再用綜合法寫(xiě)出過(guò)程.而數(shù)學(xué)歸納法也是一種要求理科生掌握的重要方法，一般出現(xiàn)在數(shù)列問(wèn)題的證明和組合數(shù)問(wèn)題的證明中.在高考中，雖然直接應(yīng)用反證法證明的題目較少，但反證法作為一種分析問(wèn)題的重要方法，也時(shí)常出現(xiàn)在選擇題或解答題中的某一小問(wèn).考查的方式多以解答題為主，同時(shí)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行綜合考查.本文最后要指出的是，無(wú)論是哪一種方法，應(yīng)用時(shí)必須從實(shí)際出發(fā)，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?會(huì)用、好用、用好才是硬道理.