加強目標意識 培養解題素養

☉江蘇省蘇州市西安交通大學蘇州附屬中學 梁 超

解題最怕沒有思路，尤其在考場上，沒有合理的思路，既會導致寶貴時間的流失，又會增加考生的心理負擔.對大部分題目而言，解題需要分析條件和目標，學生往往重視條件轉化，卻忽視對目標的分析.解析幾何作為江蘇高考的重點考查內容，所占分值比較大，最能反應出考生“想”與“算”相結合的綜合能力，筆者選取了三道較為典型的解析幾何題，談談在解題過程中加強目標意識的重要性.

類型一、目標明確

圖1

例1（2019 年江蘇卷第17題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：=1（a＞b＞0）的焦點為F1（-1，0），F2（1，0）.過F2作x 軸的垂線l，在x 軸的上方，l與圓F2：（x-1）2+y2=4a2交于點A，與橢圓C交于點D.連接AF1并延長交圓F2于點B，連接BF2交橢圓C 于點E，連接DF1.已知

（1）求橢圓C 的標準方程；（2）求點E 的坐標.

思路分析：第（1）問的目標是求橢圓的標準方程，也就是要確定a，b的值.根據題意知c=1，結合橢圓中的天然關系a2=b2+c2，即有a2=b2+1 ①，我們再找到一個關于a，b的關系式，就可聯立方程組解出a，b，這時需要落實到條件DF1=上.在直角三角形DF1F2中，由DF22=DF12-F1F22得.從而點D 的坐標為，代入橢圓方程得②，聯立①②解出b2=3，a2=4.故橢圓C 的標準方程為=1.第（2）問的目標是求點E的坐標，我們自然地想求出直線BF2的方程，與橢圓方程聯立后即可解出點E 的坐標.因為點F2是已知的，所以只需求出點B 的坐標.又知點B 是直線AF1與圓F2的交點，且點A和點F1是確定的，進而直線AF1是確定的，與圓F2聯立即可求出點B，最后得到點E 的坐標為，具體過程從略.

反思總結：本題分值為14 分，屬于稍有難度的中檔題.我們通過分析目標，回溯到題干條件，兩個問題分別利用方程思想、數形結合思想，即可將求解本題的脈絡梳理清楚.雖然這種方法未必是最簡便的，但整體思路是比較自然的，是大部分學生可以掌握的方法.解題素養的基本要求是迅速、準確、清楚、簡練.解題的迅速性是指方法合理，在盡量短的時間內完成正確的解答.尤其在爭分奪秒的高考考場上，若能迅速合理地找出解題思路，對于穩定心態、建立信心會有非常大的幫助.

解析幾何題常作為江蘇高考的中檔題出現，做好解析幾何題是沖刺高分的必要條件.上述例1 的題干條件還是比較多的，圖形乍一眼看上去也略顯復雜，但只要沉著審題、明確目標，理清目標與條件的關系，細心計算，本題完全可以爭取拿滿分.下面我們再研究兩個例子，當面對題目的目標比較模糊，即目標與條件的關系不是很清晰，或者目標可實現的途徑多樣化時，我們該如何尋找思路？

類型二、目標模糊

例2（2013 年江蘇卷第13 題）在平面直角坐標系xOy 中，設定點A（a，a），P 是函數圖像上的一動點.若點P，A 之間的最短距離為，則滿足條件的實數a 的所有值為______.

思路分析：本題的表層目標是求a 的值，但通過什么途徑求，需要考生自己去挖掘.本題的一大誤區是對圖形認識不到位，部分考生想當然地將點P 固定為直線y=x 和曲線的交點（1，1），然后令PA2=2（a-1）2=8，解出錯誤答案a=-1 或3.

本題要實現從條件到目標的過渡，中間有一段模糊的距離，突破口在于研究“點P，A 之間的最短距離為.首先根據點P 所在曲線的特點，可設點，其中x＞0.從而，展開得PA2=x2-2ax+a2++a2.觀察展開式的特點，整理可得PA2=）+2a2.此時不難發現，整體換元，令t=x+，則PA2就是關于t 的二次函數f（t）=t2-2at+2a2-2，并且f（t）的定義域為［2，+∞），對稱軸為t=a，f（t）的最小值為8.問題就轉化成熟悉的“拋物線動軸定區間問題”，分兩種情形：a≤2和a＞2，對應的最小值為f（2）=8和f（a）=8，最終解得a=-1 或

反思總結：本題作為填空題的倒數第二題，綜合性較強，具有一定的難度.考生在解此題時主要會遇到三類障礙：一是由于解題經驗不足或對難題的畏懼心理導致毫無頭緒，直接放棄解答；二是主觀上帶有較大的盲目性，感性地取定點P（1，1）；三是不會對式子PA2=（xa）2+進行化簡轉化.數學解題不僅是智力活動，也是心理活動，除了平時要積累通性通法，考場上更要善于構建目標與條件之間的橋梁，才能在規定時間內準確地實現思維活動.

類型三、目標可實現途徑多樣

例3（2018 年江蘇卷第18題）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C 過點，焦點，圓O的直徑為F1F2.

圖2

（1）求橢圓C 及圓O 的方程；

（2）設直線l 與圓O 相切于第一象限內的點P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；

②直線l 與橢圓C 交于A，B 兩點.若△OAB 的面積為，求直線l 的方程.

思路分析：容易求出本題第（1）問的答案，橢圓C：+y2=1 及圓O：x2+y2=3.第（2）問分兩問，目標分別是求點P 的坐標和直線l 的方程，可以說目標還是比較明確的.考生審題之后，不難想到兩個切入點：一是設點P（s，t），其中s＞0，t＞0，二是設直線l：y=kx+m（k＜0，m＞0），這就是目標可實現的途徑是多樣的.實際上無論是設點還是設直線，都是引入了兩個未知數，所以我們都需要找兩組關系，一組是大前提——直線l與圓O相切.如果是設點，需要先表示出直線，結合點P在圓O 上，即s2+t2=3，從而；如果是設直線方程，直線與圓相切可轉化成圓心到直線的距離等于半徑，當然也是直線與圓聯立方程后，判別式Δ=0.

我們再來尋找另一組關系，對（2）中的①，將直線與橢圓方程聯立后，由判別式Δ=0即得到另一個關系；對（2）中的②，先根據直線l 與圓O 相切，可將條件△OAB的面積轉化成，所以另一個關系就是直線與橢圓聯立后表示出的弦長AB.兩種思路都能求得結果，即點，直線l：

反思總結：本題分值為16 分，題目易懂，幾乎沒有審題障礙，但問題具有復雜性，對于大部分考生而言，想要設點或設直線的目標意識還是比較清晰的.考場上最忌三心兩意，當我們選定一種方法時，首先大致判斷這個方法的可行性與合理性，然后便是沉著冷靜地計算出來.本題“算”難于“想”，要求教師平時在教學過程中敢于讓學生花時間算，教師帶領學生一起算，克服對復雜計算的畏懼心理.

我們在解題時，需要將條件和目標結合起來看，構建條件和目標的有效聯系路徑，找到解題方法，進而思考方法是否可以優化.加強解題的目標意識不應局限于解析幾何，同樣適用于其他類型的題目.牢記解題目標意識，可有助于尋找解題的切入點，從而有效解決問題.在數學課程改革不斷發展的過程中，數學核心素養的研究備受關注.新課程標準把以學生發展為本，落實立德樹人的根本任務，培養提高學生的數學核心素養作為課程宗旨.培養數學核心素養的主要實現途徑是培養數學解題素養，本文著重分析的目標意識只是解題素養的一個側面，更多豐富的內容需要廣大教師與學生共同研究創造.