探析數學思想在圓錐曲線問題中的應用

☉湖北省通山縣第一中學 黃崇楹

雖數學題目變幻無窮，但數學思想方法相對不變.在圓錐曲線與方程這一部分內容中，運用相關數學思想進行解題，往往會收到出其不意的效果，以下聯系幾則實例進行剖析，以期對學生解題能有一定的啟發.

一、數形結合思想

數形結合在求解圓錐曲線問題中主要體現在以下兩個方面：一是通過“數”的精準性呈現“形”的某一屬性；二是通過“形”的幾何特性來呈現“數”之間的某一種關系.

例1已知圓的曲線方程M：，是一定點，在圓M 上有一動點P，點Q 和G分別在NP、MP 上，且滿足，請嘗試求點G 的軌跡方程.

解析：如圖1，由，，得Q 為NP 的中點且GQ⊥PN，所以GQ為NP的中垂線.因此，從而因此，點G 的軌跡是長半軸長a=3，焦點為M、N的橢圓.故點G的軌跡方程是=1（y≠0）.

圖1

點評：因本題條件繁多，假設通過轉移法（或相關點法）求解點G 的軌跡方程，相對過程較為繁雜，且易出現一些錯誤，借助數形結合的思想進行處理，顯而易見，直觀簡潔，事半功倍.

二、函數與方程思想

曲線的方程和方程的曲線有著天然的聯系，曲線方程也可適當變形，變成函數.曲線和方程，方程和函數，三者之間的合理轉化，便可將有關曲線問題“演繹”成二元二次方程組的問題、一元二次方程根與系數的關系問題、一元二次函數的最值問題等.

例2已知橢圓（a＞b＞0）的長軸長為4，右頂點為A，在橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，求短軸長的取值范圍.

點評：將b2用x0的函數來表示，然后，由0＜x0＜2 可以求得該函數的值域，函數與方程思想體現得淋漓盡致.另外，x0也可以表示成b2的函數，于是原問題就變成了一個關于b2的不等式，再求之.我們還可利用方程③的根的分布：一個根為2，另一個根位于區間（0，2）內，將其轉化為根的分布問題也可讓問題輕松獲解.總之，方程及函數思想方法是解決圓錐曲線相關問題的一條有效路徑.

三、分類討論思想

在圓錐曲線問題中，常常會出現第三個量，即參數，采用分類討論的策略是一條有效的路徑.分類討論，并非無章可循，有時按圓錐曲線的類型分類，有時按聯立方程后方程的解的情形分類，但無論是哪種分類，必須縝密嚴謹做到有理有據、不重不漏.

例3當m 變化時，討論方程mx2+（2-m）y2=1 表示曲線的形狀.

解析：（1）當m＜0時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線；

（4）當m=1 時，方程表示圓x2+y2=1；

點評：數學解題，應以概念、公式、定理、法則等為準則，而這些數學中的要素往往相互制約，牽一發而動全身，所以必須分類討論.本題由于m 取不同的值會導致曲線的類型有異，所以必須將其全面討論，雖然略顯煩瑣，但體現了數學的嚴密性.

四、化歸思想

化歸，其實就是等價轉化，將要解決的新問題轉化為已經解決的老問題.如何轉化，我們必須對問題進行全面分析，將它與已經學習的知識相聯系，方程向圖形轉化、動點向不動點轉化、實際問題通過建模向數學問題轉化……總而言之，轉化就是化新為舊，化生為熟，化繁為簡，化未知為已知，化出數學解題新天地.

例4已知橢圓C 的方程是，試確定m 的取值范圍，使得對直線l：y=4x+m，橢圓C 上有不同的兩點P、Q 關于該直線對稱.

解法1：設橢圓C 上關于直線l 對稱的兩點為P（x1，y1），Q（x2，y2），其所在直線方程為，代入橢圓方程3x2+4y2=12，整理得13x2-8bx+16b2-48=0.

解法2：設PQ 的中點坐標為M（x0，y0），由解法1 知消去y0，把代入可得，所以x0=-m.

由于中點M的位置介于P，Q之間，所以必有不等關系（x1-x0）（x2-x0）＜0，由此可得.經驗證，當.適合條件的P、Q 存在，所以.故所求m的取值范圍為

點評：解法1體現了解析幾何問題常用的對稱思想，數形結合是根本；解法2 體現了解析幾何問題常用的不等式思想，建立方程組是關鍵.從兩種不同的方法中可以看出，思考問題的角度不同，會得到不同的方法，兩法難易不同，各有千秋，每一種方法都體現了轉化與化歸的數學思想.

總之，數學思想能使學生從本質上認識數學知識與方法，是學生形成良好認識的結構紐帶，也是學生將知識轉化成為能力與素養的橋梁，因此，在日常數學活動中，學生務必要高度重視數學思想方法的習得.