數(shù)學(xué)解題也需“以退求進(jìn)”

☉江蘇省宜興中學(xué) 郭駿聰

數(shù)學(xué)解題，必須講究策略，有退有進(jìn).所謂進(jìn)，即按照題意步步深入，這對(duì)較為簡(jiǎn)單的題目十分有效，但當(dāng)你碰到較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，只想到進(jìn)可能就會(huì)無(wú)門(mén)可入，這時(shí)就要想到退，可謂“退一步，海闊天空”，退回定義、退回原始問(wèn)題、退回簡(jiǎn)單問(wèn)題，只要把最簡(jiǎn)單的問(wèn)題想通想透，原來(lái)的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.“以退求進(jìn)”是一種好的解題方法，那么究竟怎么“退”呢？

一、從結(jié)論向條件“退”

由結(jié)論出發(fā)，反推命題成立的條件，這其實(shí)就是推理與證明中的分析法.在不等式證明中應(yīng)用最為廣泛.

例1設(shè)a＞b＞0，求證

分析：直接證明結(jié)論非常困難，故可從結(jié)論入手，尋找使結(jié)論成立的充分條件，即采取分析法證明.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于不等式的證明一般先采用分析法探求思路，再用綜合法書(shū)寫(xiě).如果當(dāng)用分析法反推時(shí)每一個(gè)步驟都是等價(jià)的，這時(shí)也可以采用分析法書(shū)寫(xiě)，但一定要注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性.

二、從一般向特殊“退”

一般與特殊既是一對(duì)矛盾體，又是一對(duì)統(tǒng)一體.從特殊到一般，這是人們認(rèn)識(shí)事物并掌握事物發(fā)展規(guī)律的一般方法，體現(xiàn)了辯證唯物主義矛盾論的觀點(diǎn).數(shù)學(xué)解題也是如此.我們要解決一個(gè)一般的問(wèn)題時(shí)，可以從特殊入手，即所謂的特殊值法，從中找出規(guī)律，并用一般的方法加以驗(yàn)證，這種方法對(duì)于某些證明題十分有效.

例2已知方程x2+y2+2（2-cos2θ）x-2（1+sin2θ）y-4cos2θ+2sin2θ+5=0，試證明：無(wú)論θ 取何實(shí)數(shù)值，該方程所表示的曲線總是經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)P1和P2，并求定點(diǎn)P1和P2的坐標(biāo).

分析：已知方程本質(zhì)上是圓系方程，θ 可取特殊值0，得

證明：當(dāng)x=-1，y=2 時(shí)，

x2+y2+2（2-cos2θ）x-2（1+sin2θ）y-4cos2θ+2sin2θ+5

=5-2（2-cos2θ）-4（1+sin2θ）-4cos2θ+2sin2θ+5

=5-4+2cos2θ-4-4sin2θ-4cos2θ+2sin2θ+5

=2-2（cos2θ+sin2θ）=2-2=0.

當(dāng)x=-2，y=1 時(shí)，同理可得：

x2+y2+2（2-cos2θ）x-2（1+sin2θ）y-4cos2θ+2sin2θ+5=0.

故無(wú)論θ 取何實(shí)數(shù)值，方程所表示的曲線總經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)P1（-1，2），P2（-2，1）.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于定點(diǎn)、定值問(wèn)題，一般可采用特殊化法，找到定值或定點(diǎn)，然后加以驗(yàn)證.

三、從抽象向具體“退”

數(shù)學(xué)是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，因此解題時(shí)可將數(shù)學(xué)的抽象性退回到實(shí)際問(wèn)題的“具體性”，從而更能把握住問(wèn)題的本質(zhì).

例3已知集合A 和集合B 分別有12 個(gè)元素，A∩B 中有4 個(gè)元素，請(qǐng)求出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)：①CA∪B，并且C中必須含有3個(gè)元素；②C∩A≠?.

分析：題意比較抽象，導(dǎo)致理解較困難，所以可將原問(wèn)題退到一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，選擇具體的模型來(lái)將原題的意思表達(dá)出來(lái).

解：假設(shè)我班英語(yǔ)興趣小組與體育興趣小組分別有12 人（集合A 與B），其中有4 名學(xué)生同時(shí)參加了兩個(gè)興趣小組（A∩B），現(xiàn)從這些學(xué)生中挑選3 人（集合C），來(lái)參加一次興趣小組組織的活動(dòng)，要求至少有1 人是英語(yǔ)小組成員，問(wèn)：這樣的組團(tuán)方式有多少種？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)未發(fā)生任何變化，但求解思路十分明晰，所以可直接寫(xiě)出結(jié)果如下：

點(diǎn)評(píng)：從抽象向具體“退”，就是建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的構(gòu)造思想.由數(shù)思形，挖掘所求問(wèn)題的幾何意義或?qū)嶋H意義，是從抽象向具體“退”最常見(jiàn)的思維方法.

四、從高維向低維“退”

在幾何問(wèn)題中，將立體幾何問(wèn)題“退”成平面幾何來(lái)求解，這種從“三維空間”退到“二維平面”上來(lái)解的方法，體現(xiàn)了復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的解題策略.

例4求證：在四面體中連接頂點(diǎn)與對(duì)面重心的四條線相交于一點(diǎn)，且此點(diǎn)將每一線段分成3∶1.

分析：從三維向二維后退，讓我們先證明一個(gè)相類(lèi)似的平面幾何題：三角形三條中線交于一點(diǎn)，并且此點(diǎn)把每一條中線都分成2∶1 兩個(gè)部分.

圖1

證明：如圖1，設(shè)中線BE，AD交于點(diǎn)P，連接DE，則DE∥AB且.連接CP 并延長(zhǎng)交AB 于F，則△DEP∽△ABP，故.所以中線EB，AD 交于一點(diǎn)，此點(diǎn)分AD 為2∶1，同理可證CF 與中線AD 交于一點(diǎn)，此點(diǎn)分AD 為2∶1，所以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)是同一點(diǎn)，即AD，BE，CF 交于同一點(diǎn)P，且點(diǎn)P 分AD，BE，CF都為2∶1.

下面給出例4 的證明：

證明：設(shè)四面體A-BCD的表面BCD的重心為G1，表面ACD的重心為G2，表面ABD 的重心為G3，表面ABC 的重心為G4，取線段CD的中點(diǎn)M，連接AM 和BM，則G1，G2分別在BM，AM 上，且AG2∶G2M=BG1∶G1M=2∶1，連接AG1，BG2交于點(diǎn)O，又連接G1G2.

因?yàn)锳G2∶G2M=BG1∶G1M=2∶1，所以G1G2∥AB.

圖2

所以AB∶G1G2=AM∶G2M=3∶1，易證△OG1G2∽△OAB.

所以AO∶OG1=BO∶OG2=AB∶G1G2=3∶1.

同理可得：線段CG3與線段AG1相交于一點(diǎn)，并且此點(diǎn)分線段AG1為3∶1，線段DG4與線段AG1相交于一點(diǎn)，并且此點(diǎn)分線段AG1為3∶1，因此，AG1，BG2，CG3，DG4相交于一點(diǎn)O，且點(diǎn)O 分AG1，BG2，CG3，DG4都為3∶1.

點(diǎn)評(píng)：立體幾何的證明方法或策略，可以由相應(yīng)的平面幾何問(wèn)題的求解方法中類(lèi)比獲得，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的類(lèi)比思想.

五、從綜合向單一“后退”

綜合題，是考試的重點(diǎn)題型，主要考查考生的綜合能力.任何復(fù)雜問(wèn)題都是由簡(jiǎn)單問(wèn)題組合起來(lái)的，面對(duì)綜合性問(wèn)題，我們可將其“瓦解”成幾個(gè)單一問(wèn)題.

例5設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，對(duì)于任意x，y∈R 都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0 時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-2.試問(wèn)：當(dāng)-3≤x≤3 時(shí)，f（x）有最值嗎？若有，求出最值；若沒(méi)有，試說(shuō)明理由.

分析：對(duì)于函數(shù)綜合題，一般可把整個(gè)大問(wèn)題分解，變成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解.

解：（首先來(lái)判斷單調(diào)性）設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0.

由題意可得f（x2-x1）＜0，而f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1），又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，故f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2）.故f（x）在實(shí)數(shù)集上是單調(diào)遞減函數(shù).

（下面求f（3）的值）因?yàn)閒（1）=-2，并且對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，故f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6.

又由于f（x）是奇函數(shù)，所以f（-3）=-f（3）=6.

綜上可知，當(dāng)-3≤x≤3時(shí)，f（x）有最值，且最大值為f（-3）=6，最小值為f（3）=-6.

點(diǎn)評(píng)：本題是最常見(jiàn)的抽象函數(shù)的性質(zhì)證明及應(yīng)用問(wèn)題，解答這類(lèi)綜合性問(wèn)題需采用“化整為零，各個(gè)擊破”的策略.

自古兵法有“欲擒故縱”，而數(shù)學(xué)解題有“以退求進(jìn)”，兩者其實(shí)是一個(gè)道理.