一道雙曲線考題的多解探究

☉福建省莆田第六中學 祁國偉

本文擬通過對一道雙曲線考題的多解探究，旨在激發同學們的探究意識，拓寬解題思維，強化雙曲線與其他知識的綜合運用能力，以便幫助同學們理清常用解題思路，進一步提高分析、解決此類問題的能力.

【考題再現】（2019 年全國Ⅰ卷第16 題）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若，則C 的離心率為______.

多解探究：如圖1，先畫出適合題意的圖形，因為，所以A 為F1B 的中點.又O 為F1F2的中點，所以OA 是△BF1F2的中位線.所以OA∥F2B.又由得F1B⊥F2B，所以可得F1B⊥OA.

圖1

解法一：因為點F1（-c，0）到直線的距離，又|OF1|=c，所以

答案：2.

解法二：同解法一先求得|AF1|=b，|OA|=a.于是，直線BF1的方程為，又直線OB 的方程為，所以聯立可求得點B 的縱坐標為

因為易知|BF1|=2b，|BF2|=2a，|F1F2|=2c，所以Rt△BF1F2斜邊上的高為

答案：2.

解法三：因為點B 在漸近線上，所以可設點.又F1（-c，0），A 為F1B 的中點，所以點A 的坐標為

接下來，給出三種不同的思路.

思路1：因為點，又點F1（-c，0）到直線的距離=b.所以兩邊平方得，整理得c4-8a2c2+16a4=0，兩邊同除以a4得e4-8e2+16=0，即（e2-4）2=0，所以e2=4.

答案：2.

思路2：因為點，所以.所以由，得，化簡得所以

答案：2.

思路3：因為點，所以由AF1⊥OA 得kAF1·kAO=-1，即，化簡得所以c=

答案：2.

解法四：因為A 為F1B 的中點，又F1B⊥OA，所以OA 是線段F1B 的中垂線.所以∠F1OA=∠AOB.

又由直線OA，OB 是雙曲線的漸近線可得∠F1OA=∠BOF2，所以∠F1OA=∠AOB=∠BOF2.

又∠F1OA+∠AOB+∠BOF2=π，所以

接下來，給出兩種不同的思路.

思路1：由直線OA 的方程是可得=tan ∠AOF2=，所以.所以c=

答案：2.

思路2：同解法一可求得|AF1|=b，|OA|=a.

于 是，在Rt △F1AO 中，由cos ∠F1OA=，可得，化簡得c=2a.

答案：2.

解法五：因為，所以點B 在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.

又A 為F1B 的中點，所以點A 的坐標為

答案：2.

評注：上述解法一、二、三側重于從“數”的角度加以研究，顯得整個解題過程煩瑣一些，運算量較大；解法四側重于從“形”的角度加以研究，充分借助平面幾何知識及漸近線的圖形特征探究獲得是整個求解的關鍵所在；解法五以構造圓為切入點，關鍵是準確求解點B 的坐標，并充分利用點A 的幾何特征（既是線段F1B 的中點，也在漸近線上）.對比可知，解法四、五比較簡單，可稱之為“秒殺”法！

以上，呈現了求解雙曲線離心率的五種不同解題方法，它們各有自己的優勢與局限.顯然，多解探究溝通了雙曲線與平面向量、平面幾何、直線及圓等知識的內在聯系，優化了考生的認知結構，培養了考生的探究、創新意識，進一步提升了考生的直觀想象、數學運算等核心素養.一言以蔽之，該題設計較好，有利于各類考生充分發揮各自的思維優勢與數學潛能，是一道難得的可以有效培養數學思維的好題.