思維如此活躍，橢圓如此巧妙
——2019年全國卷Ⅰ解幾題

☉山東省淄博實驗中學 劉海峰

橢圓作為解析幾何中的基本曲線，可以從解析幾何角度切入，還可以從平面幾何角度切入，其涉及解析幾何知識、平面幾何知識、平面向量知識、解三角形知識，以及三角函數、函數、不等式等相關知識，是新課標大綱中充分體現在“知識點交匯處”命題的一大主陣地.由于其變化多端，形式多樣，創新點多，難度適中，而且破解的思維方式多樣，切入點靈活，成為歷年高考、自主招生、各類競賽命題中的基本考點和熱點之一.

一、真題在線

【高考真題】（2019年全國卷Ⅰ理10；文12）已知橢圓C的焦點F1（-1，0），F2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為（ ）.

本題給出橢圓的焦點坐標，利用焦點弦的比例關系及相關線段的長度關系來確定焦點弦的準確信息，進而求解橢圓的標準方程.通過題目條件，把對應線段的長度關系加以合理轉化，借助相應的知識與相關的方法加以破解.

二、一題多解

思維角度1.解三角形法

結合橢圓的相關知識，利用其中所構成的三角形的邊與角的關系，結合三角形中的余弦定理加以過渡與轉化，進而達到綜合應用的目的.

方法1：（余弦定理法1）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m.

圖1

在△AF1B 中，由余弦定理可得cos ∠F1AB=

在△AF1F2中，由余弦定理可得4=4m2+4m2-2×2m×2m×，解得m=

答案：B.

方法2：（余弦定理法2）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m.

在△AF1B 中，由余弦定理可得cos ∠F1BA=

在△BF1F2中，由余弦定理可得4=9m2+m2-2×3m×m×，解得m=.

答案：B.

方法3：（余弦定理法3）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m.

設∠AF2F1=θ，在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得，整理可得，解得m=

答案：B.

思維角度2.平面幾何法

結合橢圓的相關知識，利用其中所構成的三角形的邊與角的關系，通過三角形相似、角平分線定理等平面幾何知識加以過渡與轉化，進而達到綜合應用的目的.

方法4：（相似比例法）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m=|AF2|，可知A（0，b）（不失一般性，取A為上頂點）.

所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為

答案：B.

方法5：（角平分線性質法）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m=|AF2|，可知A（0，b）（不失一般性，取A為上頂點）.

如圖2，取AF1的中點H，連接BH交x軸于點E，則知BH⊥AF1，且BH平分∠ABF1.

結合角平分線性質可知|EF1|∶|EF2|=|BF1|∶|BF2|=3∶1，可得

圖2

在△AF1O中，cos∠AF1O=，在△HF1E中，cos∠HF1E=，則有，解得a2=3.

所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為=1.

答案：B.

思維角度3.橢圓第二定義法

方法6：（橢圓第二定義+同位角法）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m=|AF2|，可知A（0，b）（不失一般性，取A為上頂點）.

圖3

由于cos ∠AF2O=，cos ∠BAD=，可得，解得a2=3.

所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為

答案：B.

三、規律總結

在處理圓錐曲線的相關問題中，要合理分析題目條件，轉化為代數法（解析幾何、解三角形等）或幾何法（平面幾何等）來處理，巧妙轉化，合理應用，爭取達到“小題小做，小題巧做”，有助于數學解題能力與應用能力的提高，真正提升綜合能力，拓展數學素養.