基底建系是通法，向量策略“三板斧”
——2019年江蘇卷第12題

☉江蘇省宜興市第二高級中學 吳勇珍

平面向量問題一直是江蘇高考、模擬考填空題后四個小題中的常客，難度中等，方式新穎，背景創新，一直備受關注.破解平面向量的一些常用方法與常見技巧一定要深入理解與熟練掌握，其中基底法是破解的重點，需要通過平面向量的線性關系的轉化來厘清；而涉及直角或相關問題時考慮通過建系法，利用平面直角坐標系中的坐標運算來處理；而在一般問題中，經常借助特殊圖形加以一般性來解決，又極化恒等式法是一個出現頻率較高的基本方法，采用這兩種方法，往往可以達到省時省力、提高解題效益的目的.

一、真題在線

【高考真題】（2019 年江蘇卷12）如圖1，在△ABC中，D 是BC 的中點，E 在邊AB 上，BE=2EA，AD與CE交于點O.若，則的值是______.

圖1

本題以三角形為問題背景，利用中點、定比分點來設置條件，結合平面向量的數量積的關系式來確定位置關系，進而求解在此條件下三角形的兩邊長之比.破解此類問題，基底法、建系法、幾何法是最常見的“三招”，具體破解與切入方式又有不同的形式.

二、多法破解

思維角度1.基底法

基底法是平面向量的本質所在，是平面向量“幾何”化的重要特征.通過選用合適的基底，借助平面向量的線性運算把相關的平面向量用這組基底加以表示，進一步結合平面向量的線性運算、數量積等方式加以轉化與應用，從而達到求解的目的.

方法1：（基底法1）如圖2，過點D 作DF∥CE 交AB于點F，由于D 是BC 的中點，所以F 為BE 的中點.

圖2

圖3

方法2：（基底法2）如圖3，過點E 作EF∥BC 交AD于點F，根據平面幾何知識可知，則知AD=3AF，OD=3FO.

方法3：（梅涅勞斯定理法）由條件可知直線EC 分別交△ABD三邊所在的直線AB、BD、DA于點E、C、O.

思維角度2.建系法

建系法是將平面向量進行“代數”化的一大特征，是基于可以建系的前提下來進行的代數化處理幾何問題.通過建系，把平面向量問題轉化為平面向量的坐標運算問題、平面解析幾何問題等來處理，往往可以簡化推理步驟、優化運算過程、提高解題效益.同時注意，不同的建系法會導致不同的效果，經常可以采用不同的方式來處理.

方法4：（坐標法）以點D 為坐標原點，BC 所在的直線為x 軸建立平面直角坐標系，如圖4 所示.

圖4

不失一般性，設B（-1，0），C（1，0），A（m，km）（k≠0），由于BE=2EA，結合定比分點公式可得

而AB2=（m+1）2+（km）2=k2m2+m2+2m+1=4m-1+2m+1=6m，AC2=（m-1）2+（km）2=k2m2+m2-2m+1=4m-1-2m+1=2m，可得AB2=3AC2，即

思維角度3.特殊圖形法

在一些具有定值結論的平面向量問題，特殊圖形法是解決問題比較常見的一種技巧方法.其往往在題目一般性平面幾何圖形的基礎上加以特殊化（如一般的三角形進行特殊化為直角三角形、等腰三角形等，一般的四邊形進行特殊化為平行四邊形、矩形等），這樣處理可以使得問題更加特殊、簡單，使解題更直觀、更簡捷，便于判斷與操作.

方法5：（相似三角形法）不失一般性，取△ABC 為以角A 為直角的直角三角形，則有=0.

由于D 是BC 的中點，根據直角三角形的性質知∠B=∠BAD.

三、解后反思

解決平面向量問題，首先就是建立問題中相關幾何元素與平面向量之間的聯系，通過平面向量的運算，研究幾何元素之間的關系.而采用平面向量的線性運算或坐標運算，就是從“形”的思維角度與“數”的思維角度切入，這也是平面向量獨具一格的特征.因而，破解平面向量問題時，可以從“形”的角度出發，通過基底法或特殊圖形法以“形”的形式來破解；也可以從“數”的角度出發，通過建系法或三角函數法以“數”的形式來破解.不同破解角度，各有各的好，各有各的妙.