問題串設計策略的案例與分析

☉江蘇省海門中學 姜璐璐

具備內在聯系、一定的知識覆蓋面、難易適度的變式串訓練能有效幫助學生理解基本知識、掌握基本技能、提升解題能力.設計、運用問題串實際上就是將學生推至解決問題的前沿并引導其進行分析、對比、思考和探索.教師應設計出與學生已有生活經驗、知識經驗相關的問題串并因此激發學生強烈的求知欲，將問題化大為小、化抽象為具體，并使學生在具體化的目標的引領下重組或深度加工問題信息，挖掘問題本質并探索解題的策略，使學生在一系列“新”問題的解決中獲得思維能力的提高.

一、設計問題串的原則

（1）適宜性.教師設計問題串時應考慮到學生的一般認知規律和身心發展規律，設計出學生思維最近發展區內的問題，使學生在具有一定陌生感的問題中探索和收獲.

（2）遞進性.問題之間具有層層遞進的關系才能推進學生逐步深入的思考和探索.

（3）指向性.圍繞目標設定的一系列問題能使學生在指引性的探索中獲得成功的自主建構.

（4）自然性.過于生硬的問題會使學生感覺琢磨不透且無法展開思索.

二、設計策略

1.圍繞教學目標進行設計

案例1：引入等比數列定義的問題串設計.

問題1：如何用現代語言描述“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話呢？假如將“一尺之錘”看作單位“1”，大家從“日取其半”這句話中是否能夠得出一個數列？這是什么數列？

設計意圖：引導學生從文字描述中發現等比關系.

師生活動：教師啟發學生發現等比關系，并寫出數列.

問題2：若將一張白紙一而再、再而三地進行對折，大家能依次寫出該張白紙對折后的厚度嗎？

設計意圖：引導學生進一步發現等比關系.

師生活動：要求學生進行對折白紙操作并發現其中的規律，并寫出數列.

問題3：若某計算機病毒正在傳播之中，每輪被感染病毒的計算機臺數的數列又該如何列出呢？

設計意圖：引導學生發現等比關系，并寫出數列.

師生活動：啟發學生發現等比關系并引導學生根據規律寫出數列.

問題4：觀察數列并分析其規律，大家能否類比等差數列說說其共同特征？

設計意圖：啟發學生發現等比關系并得出等比數列的定義.

師生活動：觀察所得數列并對其共同特征進行討論，類比等差數列得出等比數列的概念.

2.根據學生認知水平進行設計

案例2：關于求解函數的最小值的解法串.

解法1（求導函數法）：，當x=2 時，y′=0.

當1＜x＜2 時，y′＜0；當x＞2 時，y′＞0.

所以當x=2 時，函數有最小值8.

解法2（基本不等式法）：

3.激發學生參與設計

案例3：引入二項式定理的問題串設計.

問題1：乘積（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4+c5）展開后一共有多少項？

生1：3×3×5 項.

師：怎么想的？

生1：從各括號中各取一個字母并構成項，各括號之內的項數之積即為問題所要求的答案.

變式：（a+b）n展開后的項數共是多少？

全體學生：2n.

問 題2：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，此處展開與之前的項數并不相等，為什么？

合并前幾項還是后幾項是問題中并未明確的，明確合并后幾項嗎？

問題3：（a+b）4=？誰來算一下？

可否用更加理性的思維來展開（a+b）n并發現其中的規律呢？

師：大家是否能在項的次數上發現什么規律？項的數量如何？系數怎樣？

首先我們來看次數.

（a+b）2=a2+2ab+b2，這是齊二次.

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，這是齊三次.

問題4：（a+b）n展開后即為齊n 次，怎樣理解齊n 次呢？

生3：各括號中取一個字母，n 個字母相乘即為n次.

再看項數.

（a+b）2=a2+2ab+b23 項

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b34 項

問題5：（a+b）n展開后是n+1 項，為什么呢？

生4：觀察可得項的字母b 的次數為0，1，…，n，共n+1 項.

最后我們再看系數.

（a+b）n=（？）an+（？）an-1b+（？）an-2b2+…+（？）abn-1+（？）bn.

變 式：（a+b）3=a3+a2b+ba2+ab2+ba2+ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，合并前有8 項，合并后有4 項，“3”的含義何在呢？

生5：合并后的系數與合并前同類項的個數相對應，由此可得：系數即為同類項的個數.

（a+b）n=（a+b）（a+b）（a+b）…（a+b）.

因此an-kbk的系數應與其同類項個數相等，展開（a+b）n，合并后an-kbk的系數和合并前an-kbk的同類項的個數是相等的，即為從n 個（a+b）中取k 個b 的個數.

問題6：從n 個括號中取的b 的個數是多少？

全體學生：k 個.

變式：有多少個同類項？

教師板書各項系數.

…

4.根據一定難度的向量進行設計

案例4：平面向量數量積運算中的變式問題串的設計.

問題：已知等邊△ABC，其邊長是1，平面內一點M 滿足，試求

圖1