“任意角的三角函數(shù)”概念教學(xué)的分析與建議

☉江蘇省南京市秦淮中學(xué) 孫幫蘭

“任意角的三角函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，其概念也是高中數(shù)學(xué)需要掌握的核心概念之一，學(xué)習(xí)和掌握任意角的三角函數(shù)對(duì)于后續(xù)三角函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究有著重要的影響，同時(shí)也是學(xué)習(xí)參數(shù)方程、平面向量等知識(shí)的基礎(chǔ)，因此該章節(jié)的知識(shí)內(nèi)容具有極高的承接性，下面開展教學(xué)探討.

一、合理引入問題，把握知識(shí)生成點(diǎn)

“任意角的三角函數(shù)”內(nèi)容是對(duì)初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的深度拓展，因此課堂教學(xué)開展應(yīng)以學(xué)生已掌握的直角三角形邊長(zhǎng)比值、銳角三角函數(shù)作為起點(diǎn)，通過概念的同化及知識(shí)的衍生來完成構(gòu)建.在課堂教學(xué)伊始十分有必要引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí)，充分喚醒學(xué)生的知識(shí)記憶，利用學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)完成教學(xué)的過渡.

利用銳角三角函數(shù)知識(shí)開展教學(xué)引入，可以進(jìn)行如下設(shè)置：首先讓學(xué)生回憶初中階段學(xué)習(xí)的特殊角的三角函數(shù)值，例如30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值，然后讓學(xué)生思考這些角的三角函數(shù)值是如何求出的，最后利用幾何畫板繪制出一個(gè)銳角α，讓學(xué)生思考如何求出sinα、cosα和tanα的近似值，或者讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，在白紙上給出相應(yīng)的計(jì)算方案.

圖1

圖2

學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)基礎(chǔ)很容易想到對(duì)于銳角α，可以通過作垂線構(gòu)建直角三角形的方式來完成，而，如圖1所示.此時(shí)則需要教師通過啟發(fā)設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，并向本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容靠攏，即思考圖中利用直角三角形邊長(zhǎng)比值的方式求三角函數(shù)是否與所作圖形上點(diǎn)的位置有關(guān)，從而引導(dǎo)學(xué)生引入直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P的位置坐標(biāo)化.以銳角α的頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角α一邊所在直線作為x軸，構(gòu)建如圖2所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），其到原點(diǎn)O的距離為r，然后讓學(xué)生思考是否可以用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示角α的三角函數(shù)，以及改變點(diǎn)P的位置是否會(huì)影響角α的三角函數(shù)值.

利用直角坐標(biāo)系很容易引導(dǎo)學(xué)生完成對(duì)角α的三角函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建，同時(shí)深刻理解銳角固定時(shí)，三角函數(shù)值與角終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)，只與終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比值有關(guān).而在后續(xù)的教學(xué)中需要教師引入函數(shù)的概念，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到對(duì)于sinα，可將其視為一個(gè)函數(shù)，而自變量就為角α，函數(shù)值即為因變量.同時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注銳角三角函數(shù)的定義域，即α的取值范圍為，并讓學(xué)生關(guān)注角的表示方法，可以直接使用角度，也可以使用弧度制，掌握兩者之間的換算方法.必要時(shí)可以采用列表對(duì)應(yīng)的方式，從函數(shù)定義的角度來定義銳角三角函數(shù)，進(jìn)而完成課堂教學(xué)的基礎(chǔ)鋪墊.

二、調(diào)動(dòng)學(xué)生思考，重視知識(shí)本質(zhì)揭示

從數(shù)學(xué)概念本身來看，其內(nèi)容相對(duì)來說較為抽象，學(xué)生在理解時(shí)存在一定的困難，比如，若不能引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，學(xué)生很容易陷入思維誤區(qū)，從而難以達(dá)到學(xué)以致用的效果，這也違背了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理念.因此，在課堂教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生參與概念的定義過程，理解概念背后的本質(zhì)內(nèi)容.

本節(jié)重點(diǎn)是教學(xué)任意角的三角函數(shù)概念，采用知識(shí)推廣拓展的方式，使其更有利于學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，即在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上生成新的概念，讓學(xué)生理解銳角只是任意角的一個(gè)特例，任意角的三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的進(jìn)一步推廣.教學(xué)中可以采用象限變換、角邊旋轉(zhuǎn)的方式，即首先讓學(xué)生思考角α為銳角時(shí)其終邊OP所在的象限，然后進(jìn)一步思考若終邊OP不再位于第一象限時(shí)應(yīng)如何定義角α和sinα，同時(shí)思考角的終邊OP 在坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)的范圍及角α 的取值范圍，如圖3 所示.該過程中學(xué)生通過思考會(huì)發(fā)現(xiàn)無法用求解銳角三角函數(shù)的方式來構(gòu)建任意角的三角函數(shù).此時(shí)需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注之前構(gòu)建直角坐標(biāo)系的方法，體會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)定義三角函數(shù)的合理性，同樣在分析任意角時(shí)利用直角坐標(biāo)系，進(jìn)而引入單位圓，如圖4所示.利用單位圓的特殊性及點(diǎn)P的坐標(biāo)，采用類比的方式來獲得角α對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)：sinα=y，cosα=x，tanα=，從而完成對(duì)任意角的三角函數(shù)定義：一般地，對(duì)于任意角α，角α終邊上的任意一點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（x，y），它到原點(diǎn)O 的距離為r（r=＞0），那么就存在如下關(guān)系……

圖3

圖4

外推概念是與原概念或原理相一致的問題，因此必然具有同樣的合理性，教學(xué)中教師應(yīng)適度把握概念外推，從而可以有效地完成對(duì)新知的定義.同時(shí)在教學(xué)過程中讓學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考，分析任意角的三角函數(shù)定義的合理性，強(qiáng)化學(xué)生理解新知，發(fā)展學(xué)生思維.需要注意的是：學(xué)生在參與概念定義的過程中要合理安排思考內(nèi)容，充分利用直觀圖形道具，使知識(shí)的推廣過程動(dòng)態(tài)化.

三、應(yīng)用深化概念，注重思維水平的發(fā)展

對(duì)概念的深化理解是概念教學(xué)過程中十分重要的環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中需要幫助學(xué)生內(nèi)化吸收概念，使學(xué)生能夠應(yīng)用概念來解決相應(yīng)的問題.而深化概念較為有效的方式是對(duì)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用.對(duì)于任意角的三角函數(shù)內(nèi)容，在概念定義完成后可以采用特殊角及變式計(jì)算結(jié)合的方式.

在應(yīng)用概念計(jì)算之前有必要重申任意角α的取值范圍，即α∈（0，2π），然后選取一些較為特殊的角，讓學(xué)生計(jì)算對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，并交流計(jì)算的方法和過程，例如特殊角，并完成表1的填寫.

表1 任意特殊角的三角函數(shù)

學(xué)生在計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)直接使用計(jì)算器的情況，而忽視了上述生成的概念.雖然計(jì)算器也可以獲得對(duì)應(yīng)的答案，但這樣的計(jì)算方式是沒有意義的，更不利于概念應(yīng)用的強(qiáng)化，因此需要教師利用概念生成的過程重構(gòu)特殊角的模型，然后按照如下思路引導(dǎo)學(xué)生解題：先求出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)定義來完成角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的構(gòu)建和計(jì)算.以這樣的方式實(shí)現(xiàn)任意角的三角函數(shù)計(jì)算的算法化和程序化，從而降低三角函數(shù)問題求解的思維難度.

在完成特殊角計(jì)算后可以進(jìn)一步給出任意角的三角函數(shù)計(jì)算的變式問題，即不再給出角α的具體大小，而是定義角α終邊上經(jīng)過一點(diǎn)的坐標(biāo)或終邊所在直線的解析式，然后讓學(xué)生利用上述生成的程序化算法計(jì)算角α對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，例如給出如下問題.

變式問題1：已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，3a）（a＞0），試求角α的三角函數(shù)值.

變式問題2：已知角α的終邊與直線y=3x重合，試求角α的三角函數(shù)值.

顯然上述問題與直接給出特殊角來求三角函數(shù)值的問題不同，但學(xué)生利用總結(jié)的算法很容易找到解決問題的思路，這樣的變式有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.而在求解變式問題1時(shí)，在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：若沒有限定參數(shù)a的符號(hào)，又該如何計(jì)算呢？教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生采用如下思路來分析：分類討論a的符號(hào)→確定點(diǎn)P所在的象限→構(gòu)建求解角α的模型→轉(zhuǎn)化三角函數(shù)式.采用分類討論設(shè)問的方式不僅可以幫助學(xué)生掌握分類討論的解題方法，同時(shí)還可以提升學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性，而思維雙重特性的提升對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是十分有利的.

總之，對(duì)于“任意角的三角函數(shù)”概念教學(xué)，需要教師尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，關(guān)注知識(shí)的衍生過程，合理設(shè)置預(yù)設(shè)；在定義概念時(shí)，需要教師設(shè)置具有啟發(fā)性的問題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與思考，體會(huì)概念生成的過程；采用應(yīng)用強(qiáng)化、思想滲透的方式幫助學(xué)生內(nèi)化概念，發(fā)展學(xué)生的思維，使學(xué)生獲得知識(shí)和能力的雙重提高.