基于“歷史上的為什么”的概念教學引入
——以“函數的奇偶性”概念教學為例

☉上海市建平中學 李傳峰

2014 年3 月的《數學通報》在首篇位置刊登了汪曉勤教授的文章《“奇、偶函數”考源》，文中提到學生在學習“函數的奇偶性”概念時，總會產生疑問：為什么具有性質f（-x）=f（x）的函數叫“偶函數”，具有性質f（-x）=-f（x）的函數叫“奇函數”？汪曉勤老師把該問題叫“歷史上的為什么”.作為一線的高中數學教師，筆者頗有感觸，教師在數學概念教學中通常更關注如何把數學概念的數學內涵講透徹、講明白，而忽視數學概念最早是怎么形成的.這會造成學生在數學概念學習中產生障礙和困惑.筆者以為，應當在數學概念教學中恰當地引入數學史，講清“歷史上的為什么”.

文［1］中考證了“奇、偶函數”概念最初源于冪函數f（x）=xn，當n 為偶數時f（-x）=f（x），把這樣的函數叫偶函數；當n 為奇數時f（-x）=-f（x），把這樣的函數叫奇函數.后來，通過歷史的不斷演變，為了敘述簡便，我們教材直接把在定義域上具有性質f（-x）=f（x）的函數叫偶函數；在定義域上具有性質f（-x）=-f（x）的函數叫奇函數.這樣使“奇、偶函數”的名稱與內涵發生分離，從而造成以后學習者對概念名稱來源的困惑.

基于此，筆者重新設計了“奇、偶函數”概念課的教學引入.

一、筆者的教學引入設計

（一）函數求值.

（1）f（x）=x0；（2）f（x）=x；（3）f（x）=x2；（4）f（x）=x3.

（四個學生在黑板上做）

（二）觀察求值結果，歸納函數特點.

結論1：函數（1）、（3）有f（-x）=f（x）；函數（2）、（4）有f（-x）=-f（x）.

（三）推廣1：（1）函數f（x）=x2n（n∈Z）對定義域內任意的x 滿足f（-x）=f（x）；

（2）函數f（x）=x2n+1（n∈Z）對定義域內任意的x 滿足f（-x）=-f（x）.

（四）結論2：（1）把函數f（x）=x2n（n∈Z）稱為偶函數；

（2）把函數f（x）=x2n+1（n∈Z）稱為奇函數.

（五）把（一）中有關函數的函數值所對應的點在坐標系中畫出來.

（六）畫下列函數的圖像：

（1）f（x）=x0；（2）f（x）=x；（3）f（x）=x2；（4）f（x）=x3.

圖1

（七）結論3：偶函數的圖像關于y 軸對稱；奇函數的圖像關于原點對稱.

（八）推廣2：凡是圖像關于y 軸對稱的函數都稱為偶函數；凡是圖像關于原點對稱的函數都稱為奇函數.

…

筆者放棄了使用多媒體設備，以傳統的粉筆、黑板為主陣地，通過學生計算、描點、畫圖等活動，使學生在活動中自然地獲得概念的產生、發展與形成.

從課后對學生的訪談和測試成績來看，學生對“函數的奇偶性”概念的認識是深刻的、本質的，沒有學生再問那個“為什么”.由于跳出了高度抽象化的“函數的奇偶性”概念表述，因此，學生對y=x5、y=x6、y=x-x3、y=x2+x4等類型函數的奇偶性判定有很好的直覺效果.甚至到后面學習更復雜的復合型函數奇偶性時，學生由于了解“函數的奇偶性”概念由來的“歷史上的為什么”，也可以比較輕松的理解和運用.

需要說明的是，由于在本節概念課的設計中“奇、偶函數”概念的內涵是通過兩個階段逐漸給出的，從而拉長了概念引入的時間.為了增加課堂教學的思維容量，該課堂引入中涉及的函數均是一題多用.

（1）以這些函數復習冪函數的有關知識，為學習新知識做好知識鋪墊；（2）自然引出“奇、偶函數”概念的歷史來源；（3）后面作為例題起到板書示范的功能；（4）也作為練習起到熟悉概念和鞏固概念的功能.

這樣，把引入部分的具體函數既作為引入背景，又作為例題和練習來鞏固概念，從而提高了課堂效率．

二、對教學實踐的體會

為什么學生在本節課學習后有較好的學習效果？筆者以為，該教學引入的設計有利于呈現“奇、偶函數”概念的本質屬性.

“奇、偶函數”概念的本質屬性有兩個側面：“形”的特征和“數”的表示.前者表現為圖形特征的描述，即關于y 軸對稱（或原點對稱）；后者表現為函數性質的形式化表示，即f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x））.函數奇偶性的形式化實質上體現了數學概念抽象性的特征，因而具有一定的難度.筆者設計了函數求值作為教學起點，這樣比用函數圖像引入更有利于學生從具體函數中歸納和抽象一般的代數形式的性質結論.另外，筆者以為，函數性質是函數內在的固有的規律，函數圖像是函數性質的外在顯現，通過函數圖像歸納性質固然是直觀性更好一點，但由于課堂教學中函數圖像的獲得正是運用函數性質結合描點法得到的，這樣，通過圖像發現性質就有點陷入循環論證的嫌疑.所以，筆者通過函數求值，把函數值外顯到坐標系中，再通過圖像印證性質，實現由數到形，再由形到數，力圖使概念抽象的過程更自然，使學生對概念內涵的把握更深刻全面.

三、對數學概念教學的反思

當前中學數學概念教學的現狀是：一方面，由于許多老師對數學概念存在“不準”、“不精”、“不簡”的問題，同時受“應試教育”的影響，對數學概念教學不重視，造成數學概念教學搞“一個定義，三個注意”.另一方面，部分重視數學概念教學的老師只在如何理解概念的內涵、本質屬性、數學推理上下功夫，忽視了數學概念的來龍去脈，忽視了數學概念的歷史演變.基于此，在數學概念教學中，恰當引入數學史，同時考慮數學史實和概念本質屬性兩方面因素來設計概念教學的過程，使學生自然地、水到渠成地實現“概念的形成”，不僅可以解決數學概念教學中“邏輯上的為什么”，還可以解決“歷史上的為什么”.