正確認識，深刻理解，訓(xùn)練有“素”，方可滋“養(yǎng)”
——對“數(shù)學(xué)運算”核心素養(yǎng)的思考

☉浙江省杭州第四中學(xué) 來麗瑩

學(xué)科核心素養(yǎng)被稱為繼課程改革之后基礎(chǔ)教育最重要的研究成果.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 年版）》明確把“數(shù)學(xué)運算”列為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.“數(shù)學(xué)運算不是一個簡單的運算，而是基于有效方法去解決問題的過程，即在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)”.良好的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)好比是一把解決問題的金鑰匙，有了它，解決問題的速度和正確率會大大提高.然而在實際教學(xué)過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)運算中“會而不對，對而不全，全而不優(yōu)”的現(xiàn)象比比皆是，嚴重制約了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.因此正確認識“數(shù)學(xué)運算”，切實培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)、提高學(xué)生的運算能力，成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.

一、“數(shù)學(xué)運算”的教育價值

1.數(shù)學(xué)運算貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程

從小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)的運算，到中學(xué)階段學(xué)習(xí)式的運算，再到高等數(shù)學(xué)中要通過運算來認識和建構(gòu)群、環(huán)和域等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以及更為抽象的數(shù)學(xué)空間.可見數(shù)學(xué)運算貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，也是一個由淺入深、由表及里的循序漸進的過程.

2.數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)反映并發(fā)展了其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運算是利用運算解決數(shù)學(xué)問題的過程，在這個過程中，學(xué)生首先要分析運算對象，再確定運算的方向，進而選擇合適的運算法則，最后得到運算結(jié)果.這些過程中，邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象都起到了至關(guān)重要的作用，有時候也需要一些數(shù)學(xué)的直觀想象和數(shù)學(xué)建模的思想.整個運算的過程本身又是一個數(shù)據(jù)分析的過程.因此，數(shù)學(xué)運算可以說是其他所有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中呈現(xiàn)過程，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)就是提高學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、“數(shù)學(xué)運算”的主要體現(xiàn)形式

1.深刻理解運算對象

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，首先要明確對誰進行運算，了解運算對象的背景，理解運算對象的實質(zhì)、幾何意義及相關(guān)聯(lián)的概念等，并在運算過程中加深對運算對象的再理解和再認知.

例1存在函數(shù)f（x）滿足：對于任意x∈R 都有（ ）.

A.f（sin2x）=sinx B.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1| D.f（x2+2x）=|x+1|

看到此題，很多學(xué)生無從下手，無法辨別運算的對象是什么，推及原因表面上是因為此題的形式很新穎，但本質(zhì)上是學(xué)生對函數(shù)定義沒有深刻地理解.函數(shù)的定義從初中用變量之間的依賴關(guān)系——函數(shù)的“變量說”進一步抽象到用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)——函數(shù)的“對應(yīng)關(guān)系說”，這是思維深度上的一次重大升華.因此，在平時學(xué)習(xí)中只有對函數(shù)定義的內(nèi)涵即“一種特殊的對應(yīng)關(guān)系”深刻理解、了然于心，才能透過現(xiàn)象看到此題的本質(zhì).

因此對運算對象及其特征做到心中有數(shù)，明確運算對象的內(nèi)涵與外延是運算順暢進行的第一步.

2.靈活掌握運算法則

運算法則是運算過程與結(jié)果正確性的保障，學(xué)生需要熟記相關(guān)的數(shù)學(xué)必備知識.但同時不能生硬地照搬照抄，而是要在理解的基礎(chǔ)上進行靈活運用.高中很多數(shù)學(xué)問題的解決需要用到連續(xù)的恒等變形，這個過程需要學(xué)生從不同的角度運用運算的法則和技巧.

例2已知sinβ=msin（2α+β），求證：tan（α+β）=·tanα（m≠1）.

本題的難點在于此題出現(xiàn)了多個角和不同的三角函數(shù)名.有學(xué)生在證明的過程中，先將目標式切化弦，再運用兩角和的公式展開，最后尋找條件式和目標式的等價關(guān)系.整個運算過程相當(dāng)復(fù)雜，不容易算正確.其實應(yīng)該先觀察已知角和目標角之間的關(guān)系：β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，通過變角得到sin［（α+β）-α］=msin［（α+β）+α］，再通過兩角和的正弦公式進行變形化簡.通過對比可以發(fā)現(xiàn)，第二種“變角”的方法更為簡便，更容易得到正確的運算結(jié)果.由此可見，一樣的運算法則，不同的理解，就會帶來運算速度上的差異，解題的復(fù)雜程度也會不同.

3.探究不同的運算思路

運算思路是數(shù)學(xué)運算得以正確實施的關(guān)鍵，在它的推理過程中蘊含著豐富的邏輯性.不同的運算思路反映著不同層次的運算思維，對運算方法進行優(yōu)化，選擇運算步驟少、變形簡單、運算量小等特點的最佳解題方案，從而便于求得正確的運算結(jié)果.

圖1

例3如圖1，已知拋物線x2=y，點，拋物線上的點，過點B 作直線AP 的垂線，垂足為Q.

（1）求直線AP 的斜率的取值范圍；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

本題第二問（第一問略）中|PA|的長度易得，難點在于|PQ|長度的表達，無論是用兩點之間距離公式，還是勾股定理，計算過程都相當(dāng)復(fù)雜.再觀察一下目標式：|PA|·|PQ|，是兩個長度相乘，于是嘗試用向量視角解決這個問題.

三、落實“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)的教學(xué)策略

1.完善學(xué)生認知結(jié)構(gòu)，夯實運算基礎(chǔ)

（1）重視數(shù)學(xué)必備知識的教學(xué).

數(shù)學(xué)必備知識是數(shù)學(xué)學(xué)科中的核心概念、法則、公式、性質(zhì)等知識，是數(shù)學(xué)運算得以正常實施的基礎(chǔ).學(xué)生數(shù)學(xué)運算的速度和準確率與必備知識掌握得是否準確直接相關(guān).在數(shù)學(xué)必備知識的教學(xué)中，必須重視知識的發(fā)生和發(fā)展過程.

例如：在《橢圓及其標準方程》的教學(xué)中，一定要注重橢圓概念的形成過程，通過學(xué)生自己動手實驗和觀察幾何畫板動畫，引導(dǎo)學(xué)生自我歸納橢圓的定義，學(xué)生通過不斷的“試錯”、修改、補充，一步步完善橢圓的定義，在這由表及里、去偽存真的過程中學(xué)生不僅理解了橢圓的定義，而且提高了邏輯推理、抽象概括等能力，這些都是發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的保障.

同時，教師要經(jīng)常帶領(lǐng)學(xué)生進行知識歸類整理，把一些通性通法進行梳理歸納，通過適度的重復(fù)練習(xí)形成數(shù)學(xué)技能，以便解題時能在短時間內(nèi)自動檢索篩選，獲得解題的思路，從會學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生就獲得了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

（2）及時糾正學(xué)生運算偏差.

學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)是動態(tài)發(fā)展的，尤其在知識的初生長階段，可能因為自己的理解不透徹和掌握不熟練而出現(xiàn)運算錯誤，此時教師必須幫助學(xué)生分析出錯的原因，切不可一句“仔細點”而輕描淡寫地帶過.

例4設(shè)首項為1 的等差數(shù)列{an}的前n 項和為Sn，已知數(shù)列的前n 項和為，等比數(shù)列{bn}滿足公比q＞1，b1=4，且b4是3b3，2b2的等差中項.求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.

本題并不很難，但不少同學(xué)做錯，仔細查看解答過程才發(fā)現(xiàn)他們把理解成了“數(shù)列的通項公式”，這不能用簡單的“看錯”來歸因.分析后，才發(fā)現(xiàn)是因為題設(shè)中的“Sn”成了干擾因素，導(dǎo)致學(xué)生把通項公式和前n項和公式混淆.本質(zhì)還是對“數(shù)列”概念的理解出了錯，除糾正錯誤以外，還要教給學(xué)生利用換元的思想“令從而換成“數(shù)列{cn}的前n 項和為，這樣概念就會清晰很多，錯誤率也會大大減少.

因此，在數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的形成過程中，及時糾正運算錯誤，探究原因，不僅可以使教師了解學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，更可以促進學(xué)生理解水平的提高，從而提高運算的素養(yǎng).

2.優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高運算的靈活性

（1）注重運算思路探究的教學(xué).

運算思路是數(shù)學(xué)運算的核心，教會學(xué)生如何探究運算思路是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵.探究運算思路要理解題意，明確運算的對象，知曉運算道理，能進行概念之間、定理之間、性質(zhì)之間的相互轉(zhuǎn)化.從“問題”開始，直至“問題”結(jié)束，在此過程中教會學(xué)生如何探究解題思路：此題已知條件是什么？要得到結(jié)論需要什么條件？與已知條件之間的關(guān)系是什么？條件和結(jié)論該如何轉(zhuǎn)化？這個題與以前做過的哪些題類似？解決這類問題的主要途徑有什么？能否進行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化等.

例5已知函數(shù)f（x）=-x2-（2-a）x+alnx，a∈R.當(dāng)a＞0 時，若x1，x2為函數(shù)的兩個零點，x3為函數(shù)f（x）的極大值點，且x1＜x2，證明：

在此題的講解過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生做以下層層分析：

①由問題中的條件可得什么結(jié)論？答：可得-x12-（2-a）x1+alnx1=0；-x22-（2-a）x2+alnx2=0

③有這個新創(chuàng)的條件，結(jié)論可以如何轉(zhuǎn)化？答：利用分析法通過代入化簡進行證明，要證x3＞，即證

“授人以魚，不如授人以漁”，因此，教師在解題教學(xué)中要充分展示對數(shù)學(xué)運算對象的理解過程，讓學(xué)生積極參與整個探索數(shù)學(xué)運算思路的過程，使學(xué)生有體會、有感悟、有收獲、有創(chuàng)新！

（2）重視運算過程的優(yōu)化教學(xué).

高中的數(shù)學(xué)題往往是“寬口徑”，即解決方法不止一種，對運算對象的不同理解就會產(chǎn)生不同的運算路徑.實際教學(xué)中，學(xué)生容易陷入一種運算思路，經(jīng)常因為煩瑣的運算過程導(dǎo)致不能得到正確的計算結(jié)果.因此，教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的整合過程，站在數(shù)學(xué)學(xué)科整體高度上優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，強化對數(shù)學(xué)必備知識本質(zhì)的理解與應(yīng)用意識的培養(yǎng)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

總之，要有效培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)，作為教師就要深刻理解數(shù)學(xué)運算的含義，把運算能力的培養(yǎng)滲透到每一節(jié)課的每一道題中.通過精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，并注重整合各個知識點，多角度、多層次地探究解題思路，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，適時講解、反復(fù)強調(diào)，努力讓學(xué)生形成良好的運算心理意識和品質(zhì)！