基于問題驅(qū)動，構(gòu)建簡約質(zhì)樸的數(shù)學教學
——以《三角函數(shù)的周期性》的教學實錄為例

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“高中數(shù)學課程應努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)”，還指出：“數(shù)學課程要通過學生的自主探索活動，使學生理解數(shù)學概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的數(shù)學思想，遵循數(shù)學發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài)”.新課標的總目標在原來“提高數(shù)學的提出、分析和解決問題的能力”上還增加了一條“發(fā)現(xiàn)問題的能力”，并且整體上升到問題解決“四能”的層面.問題解決的過程是培養(yǎng)學生能力、發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的過程.為了使基于問題的“四能”培育能有效落實到課堂教學的各個環(huán)節(jié)，并能在潛移默化中提升學生的核心素養(yǎng)，本文僅以三角函數(shù)的周期性教學為載體，談談問題驅(qū)動在課堂教學中的浸潤深化，以期管中窺豹、拋磚引玉.

二、學情分析

《三角函數(shù)的周期性》是蘇教版教材必修4第一章第三節(jié)的內(nèi)容，主要是理解周期函數(shù)的概念，認識周期性的作用并會求正、余弦函數(shù)的周期，并能根據(jù)周期函數(shù)的定義進行簡單的拓展運用.在知識體系中本節(jié)起著承上啟下的作用，一是因為在學習本章之前已經(jīng)學習了任意角的三角函數(shù)和誘導公式；二是由于基于本節(jié)之后的三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學習，因此周期性的作用為三角函數(shù)的作圖埋下伏筆.從這個意義上說，三角函數(shù)的周期性既是已學知識的延續(xù)，又是即將學習的知識的基礎(chǔ).

三、教學片段

環(huán)節(jié)一——創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1：請同學們思考以下三個問題，并思考這三個問題有何共同點？

（1）觀察鐘表上的時針、分針、秒針，給我們什么樣的感覺？

（2）每年的秋天，我們都可以觀賞美麗的楓葉，這能給我們什么樣的啟示？

（3）為何我們的課表只列出周一到周五的課程？

生1：問題（1）中鐘表上的時針、分針、秒針感覺是一圈又一圈地轉(zhuǎn)，周而復始；問題（2）中每到秋天就可以觀賞楓葉，也是四季輪回；在問題（3）中，因為每周一到周五的課程表都是一樣的，所以只需列出周一到周五，下一周就是循環(huán)了.三個問題都是體現(xiàn)了一種周而復始的現(xiàn)象.

師：很好！我們把這種現(xiàn)象叫做周期現(xiàn)象.在日常生活中還有哪些周而復始的現(xiàn)象？請舉例.

學生舉例生日、屬相等.

問題2：在數(shù)學中，我們稱具有這種性質(zhì)的函數(shù)具有周期性，你能舉出學過的周期函數(shù)嗎？為什么？

生2：剛學過的三角函數(shù)，例如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或正切函數(shù)都是周期函數(shù).可從誘導公式加以解釋.

設(shè)計意圖：列舉生活現(xiàn)象，引導學生從實際生活出發(fā)，體會周期性；列舉周期函數(shù)，讓學生再回到數(shù)學中體會這種性質(zhì)，用數(shù)學化的式子刻畫數(shù)學本質(zhì).由于學生剛學過三角函數(shù)，通過三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，學生不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)中的這種性質(zhì).實現(xiàn)從自然現(xiàn)象到數(shù)學現(xiàn)象的遷移，有利于學生獲取心理邏輯的自然.

環(huán)節(jié)二——學生活動，概念生成

問題3：三角函數(shù)具有怎樣的周期性？能否具體說明？

生3：學過的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，例如：sin（2π+α）=sinα.

追問1：還可以怎么解釋三角函數(shù)的周期性？

生4：還可以在單位圓中用三角函數(shù)線研究正弦、余弦函數(shù)值，即：

每當角α 增加或減少2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數(shù)值也分別相同，即有：

sin（2π+α）=sinα，cos（2π+α）=cosα.

追問2：上述等式對任意的角α 都成立嗎？

生4：由誘導公式可知，對任意角α 都成立.

圖1

設(shè)計意圖：雖然學生很容易想到三角函數(shù)的周期性，但是從學生的認知心理看，要描述周期函數(shù)的特征還是有一定難度的，因此充分利用三角函數(shù)這個載體，從單位圓入手展開對三角函數(shù)的研究，通過角的終邊在旋轉(zhuǎn)變化過程中函數(shù)值的變化，一方面，引導學生觀察三角函數(shù)的周期性；另一方面，能將單位圓的運用發(fā)揮到極致.

師：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱為周期性.一般用T 表示函數(shù)的周期.能否用統(tǒng)一的式子表示這兩個式子？

生5：記f（x+2π）=f（x）.

問題4：你能用數(shù)學符號描述這種周期性嗎？是不是只有三角函數(shù)才有周期性？如果不是，一般函數(shù)的周期性怎么用數(shù)學符號刻畫？

在此期間學生自主思考，小組討論交流，教師來回巡查，督促或指導學生討論的進展情況，或參與個別小組討論，最后選出幾個比較有代表性的小組展示成果，并與大家一起分享研討成果和困惑，并嘗試利用班級力量解決其中的困惑.

生6：T非零，而且x在定義域中，x+T也必須要在定義域中.

生7：上述式子可以統(tǒng)一寫成f（x+T）=f（x）.

師：為何要規(guī)定周期非零？T 可以為負值嗎？T 為正值或負值有什么區(qū)別？

生8：若T 不規(guī)定非零，那么任何函數(shù)均為周期函數(shù)了.T 無論正負，只要滿足x 在定義域中，x+T 也必須在定義域中就可以了，要保證函數(shù)有意義.

生9（迫不及待地補充）：T 為負值時，函數(shù)圖像就分布在x 軸的左邊，通俗的說，周期函數(shù)就是指定義域內(nèi)每一個值加上固定的值（不為0）后函數(shù)值不變.

師：理解得很到位！這樣我們就得到了周期函數(shù)的概念.

設(shè)計意圖：基于學生已有的知識儲備，由自然現(xiàn)象過渡到數(shù)學中的周期性，再通過研究單位圓從中提煉周期函數(shù)隨自變量變化的規(guī)律.通過學生自主探究，自主交流，激發(fā)了學生的學習欲望.

環(huán)節(jié)三——本真探究，建構(gòu)數(shù)學

師：這樣我們就得到了周期函數(shù)及周期的概念：

一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個值x，滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T 叫做這個函數(shù)的周期.

師：下面我們解決幾道辨析題：判斷下面說法是否正確，并說明理由.

（2）4π 是正弦函數(shù)y=sinx 的周期嗎？說明理由.6π，-2π 呢？

設(shè)計意圖：幾個辨析概念的例子從反例出發(fā)，緊扣定義的核心要素，引導學生不斷用定義進行辨析、理解，檢驗結(jié)論的正確性，加強學生對概念的鞏固.

問題5：若函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，T 為該函數(shù)的一個周期，該函數(shù)還有其他周期嗎？請寫出幾個，并說明理由.

生11：若函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，T 為該函數(shù)的一個周期，則T 的非零整數(shù)倍都是函數(shù)的周期.

追問1：周期有無數(shù)多個，最有代表性的是哪一個？我們研究什么樣的周期比較合理、科學？

生12：最小正周期！

追問2：如何理解最小正周期？

幾何畫板演示正弦線在旋轉(zhuǎn)一周后回到原點！同時引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)、正切函數(shù)的最小正周期分別是2π 和π.

追問3：是否任何周期函數(shù)均有最小正周期？

生13：不一定，例如f（x）=1，x∈R，沒有最小正周期！

設(shè)計意圖：本片斷中，通過對幾個問題的拓展，延伸了學生的思維，指向性明確，便于引導學生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，通過一系列問題的探究，對概念中的要素進行辨析，便于更好地掌握概念.因此，在問題解決的過程中滲透數(shù)學思想方法，這是概念教學設(shè)計的一般途徑，也是數(shù)學教學的主題.

環(huán)節(jié)四——數(shù)學應用，深化概念

例1若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2 所示：

（1）求該函數(shù)的周期；

（2）求t=10s 時鐘擺的高度.t=100s 呢？

圖2

這是書上例題，根據(jù)周期函數(shù)的圖像解決問題，學生不難解答，為了學生能更好地掌握，筆者將此題做了一點改動，即已知周期函數(shù)，能否根據(jù)某區(qū)間上的圖像畫出整個定義域上的圖像？

變式1：函數(shù)f（x）=x2是周期函數(shù)嗎？

變式2：已知函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，周期為2，并且f（x）=x2，x∈［0，2］，你能否畫出整個定義域上的圖像？

問題6：周期函數(shù)的圖像具有什么特征？

生14：周而復始，連綿不斷！

追問：我們?yōu)楹我芯恐芷诤瘮?shù)？（學生茫然）

師：那大家回憶下我們?yōu)楹我芯亢瘮?shù)的奇偶性？

生15：畫函數(shù)圖像時只要畫一半，即減少了研究的范圍！

師：很好！研究函數(shù)周期性也一樣，只要我們研究一個周期上的性質(zhì)即可.

設(shè)計意圖：通過類比引入周期函數(shù)研究的必要性，不但可以加強知識間的聯(lián)系，而且有效突破難點，促進學生對新知識的理解，是一種行之有效的教學方式.問題“函數(shù)f（x）=x2是周期函數(shù)嗎？”短小精悍，基于學生的盲點，引導學生對函數(shù)周期性的概念進一步辨析和理解，理清了學生對周期性概念的錯誤認識，起到鞏固與深化的作用，從而激發(fā)了學生的學習成就感，課堂效果非常好.

例2求函數(shù)f（x）=cos2x 的周期.

展示學生的解法：設(shè)函數(shù)周期為T，則f（x+T）=f（x），即cos2（x+T）=cos2x 對任意實數(shù)x 都成立，即cos（2x+2T）=cos2x 對任意實數(shù)x 都成立.

令2x=u，則cos（u+2T）=cosu 對任意實數(shù)u 恒成立.

又y=cosu 的周期為2π，所以2T=2π，可得周期T=π.

變式：求函數(shù)的周期.

問題7：你能總結(jié)出形如函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期為多少嗎？函數(shù)y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期呢？

請?zhí)羁铡呛瘮?shù)的周期公式：

①一般地，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期為T=______.

②一般地，函數(shù)y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期為T=______.

設(shè)計意圖：將三角函數(shù)的周期公式以填空的形式給出，讓學生再次鞏固新學的公式.

環(huán)節(jié)五——課堂小結(jié)，提煉升化

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生16：知識上：①周期函數(shù)的概念，最小正周期；②三角函數(shù)的周期公式.

方法上：換元法，數(shù)形結(jié)合的思想，由特殊到一般的思想.

四、教學思考

本節(jié)課的總體思路是通過對生活中周期現(xiàn)象的認識及數(shù)學中周期函數(shù)的把握這兩種不同角度的認識，引導學生將“周而復始”數(shù)學化、形式化，有效突破了難點.辨析問題、例題解析及問題拓展讓學生從不同角度認識周期性的變化規(guī)律，從表到里，進一步體會“周期函數(shù)”的內(nèi)涵.

1.問題驅(qū)動，追求教學的自然合理

一堂好課必然會激發(fā)學生的求知欲，而問題是實現(xiàn)這個目標的催化劑.本節(jié)課運用一系列的問題，將函數(shù)周期性的重點、難點用問題呈現(xiàn)，引導學生積極思考、主動交流，能清楚有效地表達自己的觀點，形成自己的理解力.例如，本案例中例1 的教學，通過兩個變式的追問和問題6 的設(shè)置，凸顯了編者的意圖，如周期函數(shù)的圖像特征是怎樣的？為后面的“借圖識性”作了鋪墊.而例2的教學，通過變式和問題7 的設(shè)置，讓學生更加深刻地理解周期函數(shù)的內(nèi)涵.同時與例1 呼應.

2.簡約質(zhì)樸，順應學生的思維方式

課堂上每一個問題的提出，都是學生思維活動的開始，教師只需當好引導者，適時點撥、啟發(fā)、指導.例如，本節(jié)課的引入立足于生活中常見的現(xiàn)象，力求樸實自然；接著過渡到數(shù)學中學過的周期函數(shù)，在學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學生根據(jù)已有知識經(jīng)驗能粗略概括出概念，同時，類比函數(shù)奇偶性的性質(zhì)來幫助學生突破難點.一連串的問題設(shè)置使得整個教學流程自然合理，順應學生的思維方式.

3.注重探究，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

波利亞說：“學習東西最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富有成效的學習是自己去探索、去發(fā)現(xiàn).”《新課標》指出：“普通高中數(shù)學課程應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式，應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”本課例中通過對單位圓中三角函數(shù)線的觀察、探究感受并識別函數(shù)的周期性；通過與函數(shù)奇偶性的類比，探究得到函數(shù)周期性的定義.通過學生觀察、分析、對比，在探究中加深了對數(shù)學本質(zhì)的理解.