妙用反例，提升學生思維

趙華 四川省射洪縣雙溪鄉仙鶴場學校 629200

正文：

只要舉出一個反例,就能判斷一個命題是假命題。反例構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創造性活動，是培養學生創新精神、誘發學生創造力的一種很好的載體。妙用反例，可以提升學生思維品質。

在數學中，較多的是讓學生利用舉反例的方法來做一些判斷題。例如，讓學生判斷以下命題是否為真命題：（1）如果兩個角互補，那么這兩個角，一個是銳角，一個是鈍角；（2）兩個無理數的和一定是無理數；（3）面積相等的兩個三角形是全等三角形等等。這些數學語言對學生而言比較抽象，容易混淆，如果通過舉反例的方法來解答就比較容易。

當知識的內涵比較豐富時要舉反例，通過反例來加強學生對知識點的理解。例：已知四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,給出下列四個論斷：①OA=OC,②AB=CD,③∠BAD=∠DC B,④AD∥BC.請你從中選擇兩個論斷作為條件,以"四邊形ABCD是平行四邊形"作為結論,構造假命題,并舉反例加以說明。在學習公式、定理時，有的學生常常不注意條件，在解題中常常出現錯誤。這時，教師可以借助反例使學生深入思考，避免解題時再犯同樣的錯誤。例： ① 有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩三角形全等嗎？ ② 有三個角對應相等的兩個三角形全等嗎？

當某一概念容易向鄰近概念泛化時要舉反例。例：在學習等弧的概念時，有這樣一道判斷題：長度相等的弧是等弧。學生可能會因為對弧的度數和弧的長度不了解，而且學生會由于對線段相等的概念的泛化，判斷錯誤。此時可引導學生舉反例：用兩根同樣長度的細鐵絲分別彎成兩段半徑不等的弧，它們的長度顯然是相等的，可是所在圓的大小不等，并不能互相重合。由此來強調等弧的概念必須是在同圓和等圓的前提下。再如：舉反例說明“如果AB=BC，那么點B是AC的中點”這個假命題。反例：若A、B、C三點不在同一直線上，則三點構成一個三角形，如果AB=BC，點B肯定不是AC的中點。

當練習中出現消極思維定勢時要舉反例。例：在學習直線和圓的位置關系時，有這樣一道題：已知⊙O的半徑是5cm，直線l上有一點P，且OP=5cm，則直線l與⊙O是什么位置關系？在解答此題時，很多同學都回答的是相切，因為他們認為OP=5cm，剛好和⊙O的半徑相等，便認為是相切了。實際上，OP=5cm只能判定點P在⊙O上，說明直線l和⊙O有公共點。此時，一名同學舉反例畫出⊙O和直線l相交的情況。因此，此題的正確答案應該是相切或相交。

難以例舉的反例，教師應多示范，多做引導。如在九年級總復習的時候，常會遇到這樣一個命題：“有一組對邊和一組對角相等的四邊形是平行四邊形。”人們都知道這是一個假命題，但往往由于一時找不出它的反例，不能使人心悅誠服，深刻理解。但是我在教學中引導學生給出構造該命題反例的三種獨特方法： 1、幾何作圖法 ：在⊙O中作兩條相交的等弦AB、CD，連結AD、BC，然后延長AD至E，使△ABE構成等腰三角形，則四邊形CDEB就符合上面命題的題設：∠C＝∠E，且CD＝BE，但是四邊形CDEB顯然不是四邊形。 2、分割拼接法： 已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E在DC上,且AE＝AC，對圖形進行改造，割去△ABC和△AED，將△ABC與△AED拼在一起，使C、E點重合，則得新圖形，其中BC＝AD，∠B＝∠D，AB＞DE(C)，顯知四邊形ABCD不是平行四邊形。3、角尺演示法 ：自制兩個V形角尺，使AB＝A′B′，∠ABC＝∠A′B′C′，然后在一平板上將兩個角尺滑動，使端點A沿邊B′C′，端點A′沿邊BC。只要AB′≠A′B時，任一四邊形ABA′B′都不是平行四邊形。

總之，數學反例是數學課堂教學的調節器，其功用旨在防錯、糾錯。在數學教學中，適時、適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，幫助他們鞏固和掌握知識，培養他們思維的深刻性和創新性。妙用反例，可以提升學生思維品質。