“新知”遇上“舊知”：引導學生想通想透
——從一篇學生寫作說起

江蘇省海安市海陵中學 吳 晶

一、從一篇學生習作說起

這是筆者所帶班級在初學一元二次方程后，安排學生所寫數學周記，從中收集的一篇優秀學生寫作.

當一元二次方程遇上線段

小柯（學生化名）

從小學開始，我們便與線段打交道，有關線段的問題更是數不勝數，那么，當線段遇上一元二次方程時又會擦出什么樣的火花呢？下面，我將用一道例題和大家探討一元二次方程與線段的關系.

問題：如圖1，線段AB的長為1.

圖1

（1）線段AB上的點C滿足關系式AC2=BC·AB，求線段AC的長度.

（2）線段AC上的點D滿足關系式AD2=CD·AC，求線段AD的長度.

（3）線段AD上的點E滿足關系式AE2=DE·AD，求線段AE的長度.

解：設AC=x，則BC=AB-AC=1-x.

因為AC2=BC·AB，所以x2=1×（1-x）.

整理得x2=1-x，解得（不合題意，舍去），所以AC的長度為

類似的，可設AD=x，則CD=AC-x.

因為AD2=CD·AC，所以x2=AC·（AC-x），則x2+AC·x-AC2=0.

經整理發現：AB∶AC=AC∶BC.我在網上檢索了一下這種奇異的性質，發現這是一種“黃金分割”的概念，也就是若線段AB上的點C滿足關系式AC2=BC·AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點.據網上介紹，黃金分割在大自然界、動植物、藝術、建筑等領域有著非常廣泛的存在.看來當一元二次方程遇上線段之后，又得到了線段的一個奇異性質“黃金分割”，數學的世界真是博大、美妙，有待我們進一步探索和發現.

簡評：小柯同學這篇數學寫作關注了線段“黃金分割點”問題，運用新學一元二次方程的工具研究了這個新的概念.小文章的標題中有關鍵詞“遇上”，這個“遇上”是值得一說的.因為數學來源于生活，抽象于生活，并獲得了一種數學活力，繼續生長，不斷擴張，幾千年來，越來越多的數學概念被創造（發明）或發現，而運用這些新的數學概念或新的數學工具解決（有時換一種視角進行再認識）一些“舊問題”或“經典問題”，往往就能獲得更多、更新及更有深度的認識和理解.

二、初中數學“新概念”遇上“舊概念”的案例

由學生提到的一個新概念遇上之前的舊概念，引發我們思考在初中階段的很多類似案例，下面列舉一些案例，供研討.

案例1：“新的運算”遇上“運算律”

初中階段數系進一步擴充，從七年級一開始就引入負數，數系擴充到有理數范圍，在有理數的一些相關概念（如相反數、數軸、絕對值等）學習之后，就是學習有理數的運算，有理數的加、減、乘、除、乘方運算都有各自的運算法則，都不同于小學階段的整數和分數的運算法則.然而它們遵循一個共性——“運算通性”（加法交換律、結合律，乘法對加法的分配律）.這就是說，當一類新數（或式）的運算引進之后，先討論了它的運算法則，接下來還需要靈活運用“運算通性”（運算律）進行簡化運算，這也就使得運算不只是機械、死算，而是需要“相機行事”和智慧決策.在初中各個階段教學進程中，要注意向學生傳遞數式運算的研究路徑：數式的概念及相關概念→數式的運算→靈活利用“運算通性”簡化運算.

案例2：“平行”遇上“平分”

七年級圖形初步認識學習時，往往對幾何的基本圖形直線、射線、線段研究之后，就重點學習“角”.而與角相關的一個要素或概念就是角的平分線，對角的平分線的研究只涉及它的定義、性質（由定義得到的性質）.當后續繼續學習平行線之后，在同一個圖形中，角平分線往往會與平行線相遇，這時就會得到基本圖形（如圖2），AB∥CD、AD平分∠CAB.一定有∠CAD=∠CDA.

圖2

圖3

七年級平行線學習之后對這類問題要重視從正、反角度進行變式訓練，上述3個條件可以幫助學生總結出“知二推一”.因為這種基本圖形很容易在八年級等腰三角形中得到進一步的應用.比如給出圖3，在△ABC中，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB，過點F作DE∥BC，分別交AB、AC于D、E兩點，可以安排學生證明DE=BD+CE，或者給出AB、AC的長，求△ADE的周長.我們一直強調要從學生已有經驗出發，從學生最近發展區出發，如果能多重視之前學習路上一些經典問題，則學生往往會有一種親切感，并且運用新知識之后可以獲得對原有問題更加深刻的理解.

案例3：“完全平方公式”遇上“非負數”

在七年級引入負數之后，數系很快擴充到有理數、實數，并且隨著相關概念如絕對值、乘方的出現，有一類“非負數”的概念常常出現，并且在不少解題中作為關鍵步驟需要攻克.這里應用較多的關于非負數的性質就是：幾個非負數的和為0，則這幾個非負數均為0，比如|x-2|+（y+5）2=0.

到了學習整式乘除與因式分解之后，又出現了完全平方式這個重要概念，形如y2+10y+25的式子可以分解為（y+5）2，稱這樣的二次三項式為完全平方式.類似的，可以得到：如果幾個完全平方式的和為0，則它們都為0.所以，在學習完全平方式之后常常有類似的練習，比如，已知△ABC的三邊分別是a、b、c，且它們滿足等式2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，試判斷△ABC的形狀.

案例4：“二次函數”遇上“根的判別式”

學習一元二次方程的解法時，通過配方法演算出求根公式法，根據配方法的限制條件可知，在啟動代入公式運算之前，要先計算出根的判別式（b2-4ac）的值，為后續求解提供關鍵一步，因為隨著根的判別式取值的正、0或負，一元二次方程在實數范圍內解的情況就能得到確定.二次函數的學習，是引導學生進一步理解數形結合的好機會，比如，二次函數y=ax2+bx+c的圖像是拋物線，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點的探究往往對應著一元二次方程ax2+bx+c=0的實數解問題，可以利用根的判別式進行演算分析，從而把拋物線的圖像問題用數式進行理解，也就是所謂“以數馭形”.

案例5：“銳角三角函數”遇上“特殊直角三角形”

初中階段三角函數安排在最后一學期才接觸，并且只是涉及非常簡單的銳角三角函數，又是基于直角三角形進行定義和研究的，初中階段對銳角三角函數的學習與研究非常依賴特殊直角三角形，比如含30°或含45°的直角三角形，也就是學生畫圖工具中的一個三角尺形狀的三角形.另外，還有一些特殊形狀的直角三角形（如兩條直角邊之比是1∶2，或兩條直角邊之比是1∶3，還有兩條直角邊之比是3∶4等）也值得重視.教學時可引導學生對此前已接觸的一些特殊直角三角形，從三角函數的邊角關系的視角出發進行研究和理解.從目前應試指導的現實考慮，要引導優秀學生擺脫過分依賴勾股定理求邊長的方法，而要善于基于銳角三角函數的角度利用邊角關系直接“看”或“讀”出這些特殊直角三角形中相關線段的長.

三、結束語

李大潛院士曾說數學學習要讓學生感受到一種愉悅感，并且認為這種愉悅感應該來自數學在發展過程中對之前一些疑惑問題的釋然.比如，小學階段用算術解法處理雞兔同籠問題是“超級難題”，但是到了初中七年級運用一元一次方程可輕松解決，可以引導學生體會其中的愉悅感，感受到數學發展、工具引入的優越感.我們在上面由學生的一篇習作出發，思考了初中階段一些新知“遇上”舊知的案例，并不全面，也不一定準確，敬請批評指正.