用途廣泛的分式方程

江蘇省灌南縣初級(jí)中學(xué) 孟 廣

新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)方程與方程組的要求是：能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型……能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程.分式方程指分母中含有未知數(shù)的方程，它是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的模型之一，現(xiàn)實(shí)生活中的一些問(wèn)題，由于題中的數(shù)量關(guān)系不同，已知與所求不同，所列出的方程模型也有所不同，有時(shí)列出的方程就是分式方程.分式方程是相對(duì)于整式方程而命名的一類方程，它的解法與整式方程是有區(qū)別的.如何列分式方程解應(yīng)用題呢？其主要步驟包括：（1）審清題意，弄清題中的已知、未知及相互數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)，找出題中關(guān)鍵的未知量并設(shè)為字母；（3）列分式方程，根據(jù)反映應(yīng)用題全部含義的等量關(guān)系，列出分式方程；（4）解分式方程，并檢驗(yàn)整式方程的解是否符合分式方程和題意；（5）簡(jiǎn)要地寫出答案.那么應(yīng)用題如何列分式方程去解決呢？下面做一探討.

一、分式方程在行程問(wèn)題中的應(yīng)用

行程問(wèn)題是最常見的一類應(yīng)用題，在行程問(wèn)題中，如果已知路程，及兩個(gè)行駛速度之間的關(guān)系，或兩個(gè)行駛時(shí)間之間的關(guān)系，求時(shí)間或速度時(shí)，需要列分式方程解決.一般需要根據(jù)行駛速度之間的關(guān)系列出代數(shù)式，或根據(jù)行駛時(shí)間之間的關(guān)系列出方程.

例1在“要致富先修路”的思想指導(dǎo)下，近幾年云南的交通有了快速的變化，特別是“高鐵網(wǎng)絡(luò)”延伸到云南以后，許多地區(qū)的經(jīng)濟(jì)和旅游發(fā)生了翻天覆地的變化，高鐵列車也成為人們外出旅行的重要交通工具.假期里小明和爸爸從昆明到某地去旅游，從昆明到該地乘汽車行駛的路程約為800km，高鐵列車比汽車行駛的路程少50km，高鐵列車比汽車行駛的時(shí)間少5h.已知高鐵列車的平均時(shí)速是汽車平均時(shí)速的2.5倍，求高鐵列車的平均時(shí)速.

解析：根據(jù)“汽車行駛時(shí)間-高鐵行駛時(shí)間=5”列分式方程，

設(shè)汽車的平均時(shí)速為xkm/h，則高鐵列車的平均時(shí)速為2.5xkm/h.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原分式方程的解，且符合題意，則2.5x=250.

答：高鐵列車的平均時(shí)速為250km/h.

評(píng)注：列分式方程解應(yīng)用題，得到整式方程的解之后，一定要檢驗(yàn)，檢驗(yàn)包括檢驗(yàn)這個(gè)解是否是分式方程的解，以及是否符合實(shí)際意義.

二、分式方程在工程問(wèn)題中的應(yīng)用

工程問(wèn)題也是一類較常見的應(yīng)用題，當(dāng)已知中沒有甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)工作時(shí)間，只是已知它們單獨(dú)工作時(shí)間之間的關(guān)系，求單獨(dú)工作時(shí)間時(shí)，需要列分式方程，一般根據(jù)“各部分工作量之和=總工作量”來(lái)建立方程，根據(jù)“工作效率=”列代數(shù)式.

例2“村村通”公路政策，是近年來(lái)國(guó)家構(gòu)建和諧社會(huì)，支持新農(nóng)村建設(shè)的一項(xiàng)重大公共決策，是一項(xiàng)民心工程、惠民工程.某鎮(zhèn)政府準(zhǔn)備向甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)發(fā)包一段“村村通”工程建設(shè)項(xiàng)目，經(jīng)調(diào)查：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成該工程，乙隊(duì)所需時(shí)間是甲隊(duì)的2倍；甲、乙兩隊(duì)共同完成該工程需30天.若甲隊(duì)每天所需勞務(wù)費(fèi)用為2400元，乙隊(duì)每天所需勞務(wù)費(fèi)用為1500元，從節(jié)約資金的角度考慮，選擇哪個(gè)工程隊(duì)更合算？

解析：根據(jù)“甲、乙合作的工作效率×合作工作時(shí)間=1”列方程.

設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需x天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成需要2x天.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=45是原方程的解，且符合題意，此時(shí)2x=90.

選擇甲隊(duì)所需費(fèi)用為45×2400=108000（元），選擇乙隊(duì)所需費(fèi)用為90×1500=135000（元）.

108000＜135000，則應(yīng)該選擇甲工程隊(duì).

答：鎮(zhèn)政府應(yīng)選擇甲工程隊(duì).

評(píng)注：本題采用間接設(shè)未知數(shù)的方法.要找到合算的工程隊(duì)，必須得到這兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)工作時(shí)間，于是設(shè)單獨(dú)工作時(shí)間為未知數(shù).當(dāng)然在工程問(wèn)題中，設(shè)單獨(dú)工作時(shí)間為x，也是一種常見的設(shè)法.

三、分式方程在銷售問(wèn)題中的應(yīng)用

在日常生活中，銷售是不可回避的話題，當(dāng)已知銷售總價(jià)，及銷售數(shù)量之間的關(guān)系或單價(jià)之間的關(guān)系時(shí)，需要列分式方程解應(yīng)用題，一般根據(jù)銷售數(shù)量之間的關(guān)系列出分式方程，或根據(jù)銷售單價(jià)之間的關(guān)系列出代數(shù)式.需要用到的數(shù)量關(guān)系是：數(shù)量=

例3某智能手機(jī)越來(lái)越受到大眾的喜愛，各種款式相繼投放市場(chǎng)，某店經(jīng)營(yíng)的青春版手機(jī)去年銷售總額為50000元，今年每部銷售價(jià)比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少20%.

（1）今年青春版手機(jī)每部售價(jià)多少元？

（2）該店計(jì)劃新進(jìn)一批青春版手機(jī)和成熟版手機(jī)共90部，且成熟版手機(jī)的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)青春版手機(jī)數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批手機(jī)獲利最多？已知青春版、成熟版手機(jī)的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表1：

表1

解析：（1）根據(jù)“去年的銷售量=今年的銷售量”列方程.

設(shè)今年青春版手機(jī)每部售價(jià)x元，則去年售價(jià)每部為（x+400）元.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是原方程的根，且符合題意.

答：今年青春版手機(jī)每部售價(jià)1600元.

（2）設(shè)今年新進(jìn)青春版手機(jī)a部，則新進(jìn)成熟版手機(jī)（60-a）部，獲利y元.

由題意得y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）=-100a+36000.

由成熟版手機(jī)的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)青春版手機(jī)數(shù)量的兩倍，得60-a≤2a，則a≥20.

y=-100a+36000，則k=-100＜0，則y隨a的增大而減小.

則當(dāng)a=20時(shí)，y最大，為34000元.則成熟版手機(jī)的數(shù)量為60-20=40（部）.

答：當(dāng)新進(jìn)青春版手機(jī)20部、成熟版手機(jī)40部時(shí)，這批手機(jī)獲利最大.

評(píng)注：本題已知的數(shù)量關(guān)系有兩個(gè)，分別是銷量之間的關(guān)系、單價(jià)之間的關(guān)系，這兩個(gè)關(guān)系都可以用來(lái)列方程，只是當(dāng)其中一個(gè)用來(lái)列方程時(shí)，另一個(gè)就用來(lái)列代數(shù)式.

四、分式方程在圖文信息問(wèn)題中的應(yīng)用

圖文信息題以其生動(dòng)活潑的形式深受命題人的喜愛，它更符合日常生活的實(shí)際，其形式多樣，有表格型的，有對(duì)話型的，有圖示型的，它要求學(xué)生有較強(qiáng)的讀圖讀表能力，能從多方面提取信息，綜合信息解決問(wèn)題，是對(duì)學(xué)生能力的綜合考查.

例4七（3）班開展“誦讀經(jīng)典，光亮人生”讀書活動(dòng)，小智和小慧同學(xué)讀了同一本480頁(yè)的名著.根據(jù)下面兩個(gè)人的對(duì)話，求小慧每天讀這本名著的頁(yè)數(shù).

解析：根據(jù)“小慧讀書時(shí)間-小智讀書時(shí)間=4”列方程.

設(shè)小慧每天讀這本名著x頁(yè)，則小智每天讀這本名著1.2x頁(yè).

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，且符合題意.

答：小慧每天讀這本名著20頁(yè).

評(píng)注：在本題的對(duì)話情境中，小智與小慧的對(duì)話，分別揭示了他們每天讀書頁(yè)數(shù)之間的關(guān)系，及讀書天數(shù)之間的關(guān)系.這兩種關(guān)系均可用來(lái)列分式方程，另一種用來(lái)列出代數(shù)式.

五、分式方程在調(diào)配問(wèn)題中的應(yīng)用

分式方程在調(diào)配問(wèn)題中的應(yīng)用，是指調(diào)配后，題中兩種量的比例關(guān)系發(fā)生了變化，根據(jù)調(diào)配后兩種量之間的比例關(guān)系可以建立分式方程.需要注意的是，調(diào)配方法，即人員或貨物的調(diào)配方向，調(diào)走的就減去，調(diào)入的就加上.

例5“蘇寧電器”家電部送貨人員與銷售人員人數(shù)之比為1∶8，由于今年4月以來(lái)家電的銷量明顯增多，經(jīng)理決定從銷售人員中抽調(diào)22人去送貨，結(jié)果送貨人員與銷售人員人數(shù)之比為2∶5，求這個(gè)商場(chǎng)家電部原來(lái)各有多少名送貨人員和銷售人員.

解析：根據(jù)“調(diào)配后送貨人員∶調(diào)配后銷售人員=2∶5”列分式方程.

設(shè)原來(lái)有x名送貨人員，則有8x名銷售人員.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=14是原方程的解，且符合題意，

則8x=112.

答：原來(lái)有14名送貨人員，有112名銷售人員.

欲列方程解應(yīng)用題，首先列代數(shù)式表示其中的一些量，在表示這些量時(shí)，較多地運(yùn)用了“a=bc”型的數(shù)量關(guān)系，如路程=速度×?xí)r間、工作量=工作效率×工作時(shí)間、總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、總產(chǎn)量=畝產(chǎn)×畝數(shù)等.當(dāng)我們使用乘法時(shí)，得到的方程一般為整式方程，當(dāng)使用除法時(shí)，得到的方程一般為分式方程.要熟練掌握分式方程的應(yīng)用，需要在不斷的刷題過(guò)程中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，逐步提高解決問(wèn)題的能力.