翻開中考試卷，感悟學科素養
——由一道中考壓軸題引發的思考

江蘇省揚州市邗江區汊河中學 張定成

江蘇省中考已經落幕，翻開各地市的中考試卷，命題精彩紛呈，這都是各地的有關專家集體智慧的結晶，在對試題進行賞析之余，也領悟到了中考相關試題的內涵，更精準地對中考試題進行研究.的確，江蘇省各地市的數學中考中，數學壓軸題變得越來越能體現學科素養.然而，初中生的思維能力和邏輯推理能力水平是一定的，教學不可能年年都可以提升學生思維的敏捷性，這就造成了學生對壓軸試題的求解感到茫然.為此，筆者在翻閱了蘇州市中考數學試卷后，對壓軸題進行具體分析和思考，將感悟流于筆端，期望在今后的教學實踐中激發學生的數學探究欲望，并借此機會搭建一個新課改背景下對數學進行研討的平臺.

一、拜讀經典，尋找壓軸試題的學科素養

打開江蘇省蘇州市的數學中考試卷，試題既保持了各地市的統一難度，也體現了近年來試題的連續性，同時更多的是在知識載體不變的情況下考查的方式讓人耳目一新.

典例：已知矩形ABCD中AB=5cm，點P為對角線AC上一點，且cm.如圖1，動點M從點A出發，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運動（不包含點C）.設動點M的運動時間為t（s），△APM的面積為S（cm2）.S與t的函數關系如圖2所示.

（1）直接寫出動點M的運動速度為_________cm/s，BC的長度為________cm.

（2）如圖3，動點M重新從點A出發，在矩形邊上按原來的速度和方向勻速運動，同時，另一個動點N從點D出發，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運動，設動點N的運動速度為v（cm/s）.已知兩動點M、N經過時間x（s）在線段BC上相遇（不包含點C），動點M、N相遇后立即同時停止運動，記此時△APM與△DPN的面積分別為S1（cm2）、S2（cm2）.

①求動點N的運動速度v（cm/s）的取值范圍.

②試探究S1、S2是否存在最大值.若存在，求出S1·S2的最大值，并確定運動時間x的值；若不存在，請說明理由.

圖1

圖2

圖3

試題分析：（1）在圖1中，動點M從點A出發，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運動（不包含點C），其運動過程有一個折點B；而圖2表示的是△APM的面積S（cm2）與t（s）的函數關系，先增大而后減小，最大值應該在點運動到點B時取得，故動點M的運動速度為=2（cm/s），BC的長度為（7.5-2.5）×2=10（cm）.

感悟反思：動點M在運動過程中構成的函數最值一定是在折點處，不需要先寫出函數表達式再進行證明.假設、猜想建立在科學的觀察的基礎上，世界上沒有無緣無故的愛，這是自然學科的基本素養.

（2）①因為動點M、N相遇后停止運動，所以，兩動點運動的距離之和為AB+BC+DC=20（cm）.

再根據動點M、N的運動速度分別是2cm/s、vcm/s，同時，兩個動點的運動時間都是xs，可以列出方程式2x+vx=20，即v+2=

由題干可知動點M、N在線段BC上相遇（不包含點C），判斷5≤2x＜15，解得

感悟反思：本小題以相遇問題為載體，考查了不等式的解法，尤其是將代入中，要注意不等號的變化，這是學生最容易忽視的地方.數學學科的素養在于對運算過程的精準掌握.

②（方法1）過點P作PQ⊥AD于點Q，PH⊥BC于點H.

PQ⊥AD，∠ADC=90°，根據平行線的性質得出PQ∥CD，于是由對應邊成比例得到.則PQ=2，AQ=4，進而得到PH=3，DQ=6.

動點M、N在線段BC上相遇（不包含點C），則：

于是有：S1·S2=（-2x+15）×2x，所以，當-2x+15=2x，即時，S1·S2有最大值

（方法2）過點P作PQ⊥AD于點Q，PH⊥BC于點H.

可知AD=10（略去單位，下同），CD=5，得到AC=5

PQ⊥AD，∠ADC=90°，根據平行線的性質得出PQ∥CD，于是由對應邊成比例得到.則PQ=2.

動點M、N在線段BC上相遇（不包含點C），則S1+S2=，故S2=15-S1.

S1·S2=（15-S1）×S1，當15-S1=S1，即S1=時，S1·S2有最大值

感悟反思：本小題以求三角形面積和的最值為出發點，考查三角形面積的求解方法和求二次函數的最值的方法，方法是多種多樣的，學生可以自由選擇.在這里，二次函數的最值是當分解成兩個因式（或因數），兩個因式（或因數）相等時，其因式（或因數）的積最大，這使試題解析更加簡便.這正是數學發散思維的核心素養的運用.

二、思考經典，反思壓軸試題的學科素養

通過以上中考中壓軸試題的案例分析，得出要求學生綜合能力強，數學壓軸試題盡顯學科素養.這就要求在中考備考中，讓學生無所畏懼，壓軸試題也是常規試題，只不過綜合性較強，所要解答的問題也是循序漸進的.本案例給出的蘇州市中考試題，通過對下一屆部分學生進行問卷調查發現，基本上都可以得到5分以上的分數.所以，作為一線教師，在今后的教育教學實踐中，必須扎實、穩定地進行素質教育，體現以學生發展為基礎的教育性理念，“教師下題海，學生上題舟”，減輕學業上的負擔，在注重基礎的教學上選擇一些針對性的訓練，讓學生自主掌控相關的數學概念，達到新課標的基本標準.

另一方面，本案例不僅是對學生進行運算能力上的考查，也是對他們的思維能力進行考查，尤其是對數學運算靈活性和釋疑問題的能力進行考查，充分說明了數學學科核心素養的重要性.因此，在今后的課堂實踐中，要以靈活性、理解力的培養為關鍵環節，設計出一些有針對性的問題，少做一些煩瑣的題目.針對性練習題的立意要新，旨在發展學生的創新意識和發散能力.只有這樣才能提升學生的綜合素養.

一道試題只能是管中窺豹，但是對試題的再次分析、研究，使筆者悟出有必要對中考壓軸試題的創新精神進行推廣.也希望能同更多的同人一起挖掘出2019年各地市中考題的創新點，回放壓軸題設計過程中立意的新穎點、能力的精彩點.