從思路解析到“一題一課”：考題研究的追求
——以2019年河北省中考卷第25題為例

福建省廈門市同安區教師進修學校 楊建強

較難的中考綜合題講評時往往需要精心預設，將其作為“一題一課”來研發.這就要求我們在研習各地優秀考題時要注意深入進行解析與教學構思，而不是“分離”開來.本文結合2019年河北省中考卷第25題，先給出思路解析，再構思“一題一課”的鋪墊設問，供研討.

一、考題及思路解析

考題：（2019年河北第25題）如圖1和圖2，?ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB=.點P為AB的延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點P，設BP=x.

（1）如圖1，x為何值時，圓心O落在AP上？若此時⊙O交AD于點E，直接指出PE與BC的位置關系；

圖1

圖2

（2）如圖2，當x=4時，⊙O與AC交于點Q，求∠CAP的度數，并通過計算比較弦AP與劣弧PQ長度的大小；

（3）當⊙O與線段AD只有一個公共點時，直接寫出x的取值范圍.

思路解析：（1）當圓心O落在AP上時，CP⊥BP，可利用Rt△CBP中推知的和BC=15這兩個條件，解出x的值為9（善于利用“3，4，5”三角形的邊角關系能快速讀取解答）.此時PE與BC的位置關系是互相垂直.

（2）①先求∠CAP的度數.如圖3，過點C作CK⊥AP于點K.

②再求弦AP與劣弧PQ的長度并比較它們的大小.弦AP的長度直接可知，即AB＋BP=7，主要在于求劣弧PQ的長度.要求弧長，就涉及半徑和所對圓心角，連接OP、OQ，弧PQ所對圓心角為∠QOP，∠QOP的度數為弧PQ所對圓周角∠QAP的2倍，即90°.如圖3，過點O作OH⊥AP于點H.可證得利用，可求出半徑OP的長為所以劣弧PQ的長度為比較可得所以弦AB較長.

圖3

圖4

（3）⊙O與線段AD只有一個公共點，且⊙O一定過點A，說明與線段AD的一個交點就是A.點P可以看作在線段AB的延長線上向右運動，起點是B，隨著點P往右移動，圓心O從AP的上方下降到AP的下方，⊙O與直線AD的交點也從2個變為1個再變為2個.其中⊙O與直線AD相切時，如圖4，△APQ、△BCP都是等腰三角形，作CK⊥AP于點K，由前面求解經驗可知CK=PK=9，于是x=18.點P繼續向右運動，交點再次變為2個，并且另一個交點落在線段DA的延長線上，也就是符合與線段AD只有1個公共點.綜上，x≥18.

回顧反思：本題綜合圓與三角形、四邊形，主要考查平行四邊形的性質、勾股定理、垂徑定理、相似三角形、三角函數、弧長計算等.第（1）問比較基礎，難度不大.第（2）問的主要難點在于求圓的半徑，解題的關鍵在于構造相似三角形，可以看出此處互相垂直的OP和PC與HK組成了常見的相似三角形的基本圖形（簡稱“K型”，如圖5）.而第（3）問的難點在于構圖分析，要構造出符合要求的等腰三角形進行分析，有助于快速“看出”答案.這大概也是命題組將這一小問設置成“直接寫出答案”的意圖，即讓思維層次高的學生可以通過洞察問題結構，直接看出答案.當然，這里“算法簡單的方法往往需要付出邏輯思維的代價”（史寧中教授語）.

圖5

圖6

二、圍繞考題的“一題一課”教學設計

教學環節（一） 鋪墊設問，拾級而上

例1如圖6，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.點P為AB的延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點P，設BP=x.當圓心O落在AP上時，⊙O的半徑是多少？

教學預設：這是上面考題的第（1）問，“單獨”列出來讓學生先想清辨明，教學時通過恰當的追問使得更多學生都理解清楚，有利于繼續向后續問題前進.

教學環節（二） 變式跟進，成果擴大

例2如圖7，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.點P為AB的延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點P，設BP=x.當圓心O落在AP上方時，你能不能用含x的代數式表示出⊙O的半徑？

圖7

圖8

教學預設：已知△CBP中兩邊長，要求圓的半徑，連接OP.由于已知的兩邊長之比不是熟知的特殊角的邊角關系，所以不太方便直接使用邊的關系得出角度.而考慮到本題是圓與三角形的綜合題，要注意使用圓中特殊角度，尤其是隱含的直角（往往是直徑所對的圓周角）.如圖8，連接OP，∠OPC=90°，過點C作CK⊥AP于點K，過點O作OH⊥AP于點H，可以構造出一對相似三角形.在Rt△CPK中，CK=12，PK=BK-BP=9-x.在Rt△OPH中，，根據相似三角形的性質，可以用含x的代數式表示出OP，即為圓的半徑.

變式追問：如圖9，當圓心O落在AP下方時，用含x的代數式表示出⊙O的半徑.

圖9

圖10

教學預設：隨著點P繼續在AB的延長線上向右移動，點O落在了AP下方，但是題目內在聯系依舊存在，仍然可以構造出一對相似三角形，充分利用相切這個條件.如圖10，連接OP，∠OPC=90°，過點C作CN⊥AP于點N，過點O作OM⊥AP于點M，可以構造出一對相似三角形.在Rt△CPN中，CN=12，PN=BP-BN=x-9.在Rt△OPM中，MP=（3＋x）.根據相似三角形的性質，可以用含x的代數式表示出OP，即為圓的半徑.

教學環節（三） 考題呈現，獨立挑戰

呈現上文“考題”，學生可以在以上鋪墊問題的啟示之下獨立挑戰，再全班交流講評.

三、進一步的思考

較難題的講評需要在教學講評之前精心預設，這里的精心預設不只是教師本人貫通思路、獲得解答，而且需要在此基礎上思考“一題多解”，并善于比較和優化不同思路，明確哪些方法或解題路徑是最優路徑，然后研判學情，明辨學生可能的難點、障礙點、易錯點，在這些基礎上預設出一些鋪墊式設問，幫助學生理解題意并啟示學生獨立探索解題思路，一些啟發式設問都可成為學生以前“自我發問”的思考出發點，比如，“題中有哪些條件”“題中哪些條件是確定的，并能帶來點、圖形位置的確定”“圖中哪些條件是不確定的，對應著哪些點是運動的，哪些線或圖形的位置是不確定的”“隨著問題的深入，圖形在不同位置狀態下有哪些狀態是特殊位置關系”，等等，這些設問都能幫助學生獲得思路或校正思考方向，有助于最終解答.事實上，通過精心預設的解題教學，最終要達到“教，是為了不教”，也就是“通過解題，學會解題”.