預設于動態的教學，搭建起思維的橋梁*
——“反比例函數應用”教學設計的一點思考

江蘇省南京市鼓樓區教師發展中心 倪 軍

發展數學學科核心素養是數學課程的核心目標，對于課堂教學的評價總是仁者見仁智者見智，不管什么樣的課堂，都應該充分關注學生核心素養的發展.前不久，鼓樓區舉行初中數學青年教師優質課評比，給定的課題是：蘇科版教材八（下）反比例函數的應用（第1課時）.看似平淡的課，卻更能顯示出教者的設計理念和教學功底，下面列舉其中兩例談談自己的一點體會.

一、教學目標

（1）能利用反比例函數的相關知識分析和解決一些簡單的實際問題.

（2）在解決實際問題的過程中，進一步體會和認識反比例函數是刻畫現實世界中數量關系的一種數學模型.

二、教學重、難點

重點：從實際問題中尋找變量之間的關系，建立數學模型，運用反比例函數的意義和性質解決實際問題.

難點：用反比例函數的意義和性質解決不等關系問題，發展學生分析問題的能力，滲透轉化及數形結合的數學思想.

三、教學過程

【案例1】

活動1：剛剛期中考試結束，老師想讓孩子們放松一下，于是決定帶孩子們去上海迪士尼游玩，相約5月2日，在匯文學校門口集合，一起坐大巴前往，已知從匯文學校到上海迪士尼的路程約為360千米.

（1）大巴車的平均速度vkm/h與時間th之間有怎樣的函數關系？

（2）原計劃7點出發，12點到，但為了能多玩一會兒，提前1小時到達，那平均車速應多快？

（3）為了駕駛安全，車速不宜過快，若大巴車的平均車速不能超過80km/h，那至少需要幾個小時達到迪士尼？

設計意圖：《標準》指出：“數學教學應根據具體的教學內容，使學生在獲得間接經驗的同時能夠有機會獲得直接經驗，即從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習.”活動1創設了一個合適的教學情境，讓學生的數學學習與學生的生活聯系起來，是培養學生數學素養的有效策略之一.

教學策略：（1）從熟悉的情境出發，學生很快得出v和t之間的數量關系.vt=360，則v=

這里的路程為360千米，相當于知道了反比例函數中的k.教者針對等式s=vt，抓住時機，討論s、v、t中有一個量確定時，另外兩個量之間的正、反比關系.

實際上，現實世界中的很多問題可以歸結為“a=bc”型的三個量之間的關系.從數學角度看，這三個量之間的關系，可以用正、反比例函數進行刻畫和研究.在“a=bc”型三個量之間的關系中，當b或c是常數時，a是c或b的正比例函數；當a是常數時，b（或c）是c（或b）的反比例函數.

這里的活動設計把反比例函數的概念與前面學習的正比例函數做對比，有利于學生形成一個整體化的思維.

（2）已知t求v，用方程解決問題，此問還為（3）的解決做鋪墊.

（3）學生討論，嘗試用不同的方法解決.

這里老師沒有直接給出課本上的方法，而是給學生一個開放的空間.

①用列表解決（基于小學的基礎很容易想到列表法）.

表1

②用圖像解決.

學生展示通過畫反比例函數的圖像可以很直觀地解決問題（如圖1），這里函數自變量的取值（要符合實際意義）是一個關鍵點，不僅要討論自變量的取值，還要討論函數值，教者引導學生從函數表達式出發由數想形，確定函數圖像只能在第一象限，這樣做有利于培養學生有條理的思維能力，這樣，當學生面對一個未知的函數問題時，也可以用類似的方法去思考，從而學會方法的遷移.

圖1

圖2

建議：有時間可以嘗試讓學生思考一下函數y=的圖像所在的區域和相關的性質（如圖2）.

這里不僅可以借助圖像，也可以借助表格中的數據猜想函數的變化趨勢，使得學生真正體會到“數形結合百般好”.

教師小結：為了解決問題方便，我們可以借助等式來解決不等式問題，先解方程求出t的值，再結合反比例函數圖像的性質算出t的取值范圍，方程和不等式問題常常可以借助圖像性質快速解決.

建議：不要給學生預設太多，讓學生的思維自然流淌.課堂預設太多可能會限制學生的思維，形成思維定式，教師應該根據學情在動態中預設.

活動2：某自來水公司計劃新建一個容積為4×104m3的長方形蓄水池.

（1）蓄水池的底部S（m2）與其深度h（m）有怎樣的函數關系？

（2）如果蓄水池的底面積為800m2，那么蓄水池的深度應為多少米？

（3）由于綠化及輔助用地的需要，經過實地測量，蓄水池的長與寬最多只能設計為100m和60m，那么蓄水池的深度至少達到多少才能滿足要求？（保留兩位小數）

設計意圖：有了活動1的基礎，活動2 由學生自己完成，隨后教師結合學生的展示呈現出用反比例函數解決問題的流程圖：

圖3

思考：對于函數表達式xy=4×104，根據該等式編寫故事，指出x和y的含義.

概念的形成往往要經歷給例子、舉例子、再舉例的過程，通過前兩個階段的舉例概括抽象出本質的屬性，再舉例是對形成的概念的鞏固.

活動3：當堂反饋.

（1）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數，其圖像如圖4所示.當氣球內的氣壓大于120kPa時，氣球將爆炸.為了安全起見，氣球的體積________.

圖4

設計意圖：考查能否根據反比例函數的圖像，確定反比例函數的表達式，并運用反比例函數的性質解決實際問題.物理學科中的反比例函數例子也不少，可以讓學生適當回顧.

（2）學校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學初購進一批煤.現在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學期（按150天計算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能用y天.

①y與x之間有什么函數關系？求出y關于x的函數表達式.

②若用了50天后，每天可節約0.1噸，這批煤還能用多少天？

設計意圖：讓學生進一步體會數學建模思想，并利用反比例函數解決實際問題.

活動4：課堂小結：

以下面的流程圖作為本節課的小結.

圖5

整體化設計的思考：

（1）微觀上進行板塊化固點.要處理好整體把握和局部認識這對矛盾，應該從“微觀上進行板塊化固點、宏觀上進行網絡化組面”.大家都知道，在知識點內部，也呈現著結構化關系.教師在教學設計時，應認真分析構成這一知識點的各要素之間的關系，按照知識內部邏輯線索和學生認知規律，從整體出發，對教學內容進行“整”“刪”，整合教學內容，突出重點，明晰難點，抓住要點，刪除非基礎性、非結構性的教學內容，從而形成三至五個“教學板塊”，以體現數學內在的整體性.案例1主要抓住反比例函數的圖像、性質之間的關聯，進行重、難點突破.這就是從微觀上進行板塊化固點.

（2）宏觀上進行網絡化組面.

縱觀我國教材編寫及教學的思路，基本經歷了由“部分—部分—整體”到“整體—部分——整體”的轉變，這種轉變有利于學生對知識結構的整體把握.教師應充分利用教材的章引言與章小結，上好單元起始課和復習小結課，讓知識“組面”，使教學內容網絡化.案例1正是基于學生的最近發展區，實時聯系新、舊知識、并通過知識結構圖幫助學生形成一個整體化的認知.

【案例2】

操作活動：

請你利用手中的紙片制作一個面積為100cm2的矩形紙片ABCD.

設計意圖：通過動手操作，激發學生的積極性，讓學生感受到當面積一定時，矩形相鄰的兩邊之間的反比例關系.

圖6

深入思考：

問題1：矩形紙片的邊AB與BC的長分別為多少？

問題2：矩形紙片的邊AB和BC的長有什么關系？

問題3：若矩形的邊BC的長不小于20，則邊AB需要滿足什么條件？

問題4：若矩形的邊BC的長不大于AB的4倍，則邊AB需要滿足什么條件？

設計意圖：初中數學實驗是通過動手動腦“做數學”的一種數學學習活動.通過學生“做實驗”的主動探究過程來培養他們動手操作的能力.教學設計的關鍵是我們設計的操作性問題能否有效激發學生的思維.

案例2中的教學設計以數學實驗為載體，以問題串的形式呈現反比例函數在實際生活中的應用，設計立意高，層次性強，思維的深度逐步提升.

教學策略：問題1具有一定開放性，學生的答案是多樣的.

實驗操作：選擇部分學生的矩形紙片粘貼在黑板上的坐標系中（如圖7），隨著矩形紙片的增多，學生很容易發現，連接矩形的右上角的頂點就逐步形成了反比例函數的圖像.學生通過實驗操作，很容易理解這就是一個反比例函數的模型，其中面積100cm2就是反比例函數中的定值k.

問題2通過問題1的討論，概括總結出反比例函數的表達式，不知不覺中感受到反比例函數也是解決實際問題的一種重要模型，這里學生對通過動手操作得到的經驗印象深刻.

問題3先給學生獨立思考的時間，然后討論交流，讓學生盡可能多地展示不同的解決方法，如不等式、方程、函數圖像與性質等.此處的設計和案例1一樣，不規定方法，讓學生自主解決.

教師追問：你會畫這個函數的圖像嗎？嘗試畫圖解決問題.

問題4是一次函數和反比例函數的綜合，此時利用反比例函數的圖像和性質來解決這個問題的優越性體現得淋漓盡致，讓學生更深刻地感受到利用函數模型解決問題的價值所在.（如圖8）

圖7

圖8

回顧小結：

通過今天的操作探究你有哪些收獲？

設計意圖：通過對矩形紙片的探究，感受模型思想，讓學生暢所欲言.回顧小結時可以適時追問：

（1）什么樣的實際問題可以利用反比例函數來解決？

（2）如何利用反比例函數解決實際問題？

拓展延伸：

問題5：如何制作，能使所得的矩形紙片的周長C最小？

可以請學生說說自己的想法與思路.教師進行適當的引導.

數學實驗設計的思考：

（1）傳統的課堂教學的出發點主要側重于傳授給學生基礎知識和基本技能，以及解決問題的一般途徑與方法；傳統的課堂教學必須按照知識生成的順序按部就班地進行，課堂上教師要給學生講明知識的形成過程，傳統的數學課堂主要致力于幫助學生獲取必要的數學知識，利用這些數學知識解決問題.

（2）數學實驗教學的出發點則側重于培養學生的基本數學觀念，以及動手操作、合作交流等方面的能力和嘗試通過多種途徑解決問題的意識.

案例2 設計的實驗教學不僅僅是為了培養學生的動手操作能力，更重要的是讓學生在操作、畫圖的過程中感知不同形狀矩形的面積與k值的關系，讓學生感受數與形的統一，感受數形結合的思想方法，培養學生用圖形來表示數量的應用意識等.

傳統的數學教學側重于人人獲得必要的數學，教學對象面向全體學生且針對于“雙基”.數學實驗教學雖然也面向全體學生，但更側重于不同的人在數學上得到不同的發展.

四、結束語

教師的智慧在于根據學生的情況，進行啟發引導.因此在教學預設時，應做好問題串的設計，然后讓學生拾級而上，這是教學設計應該著力的地方.無論哪一種課型，哪一種設計方式，只要重視了學生可能的思維過程，那在教學設計中就一定能夠全面地把握學生學習狀態，從而保證學生數學素養的提高.