章節統領課：從學生已有經驗出發
——以“相似圖形”（第1課時）為例

江蘇省南京市雨花臺區教師發展中心 劉春書

江蘇省海安市教師發展中心 劉東升

一、寫在前面

因課題研究的主題相近，我們開展跨地區（南京雨花臺區與南通海安市）教研活動，活動主題是研討“章節統領課”（南通地區對這種課型多稱之為“單元教學”），活動以開設研究課、觀課與跟進評課的方式進行.考慮到我們作為區域初中數學研訓員的身份，我們在課前對將要開設的“相似圖形”（第1課時）從選題、磨課到教學導向，都進行了較為充分的準備，開課學校選定在雨花臺中學，授課對象是八年級學生，學生已學完蘇科版八年下冊，具有了全等三角形、平行四邊形、分式等知識儲備，學生整體水平較高.

二、“相似圖形”（第1課時）教學流程

教學環節（一） 從生活中的相似圖形出發

黑板上貼出幾張打印好的照片（如圖1、圖2）：長城、東方明珠等.

圖1

圖2

教學組織：開課時教師先說明，這節課我們研究一類新的圖形（在黑板主板 區課題位置先寫出“圖形”兩字），仍然從圖形的形狀、大小、位置（在副板區書寫）這三個方面開展研究.讓學生觀察黑板上這些大小不同的照片有什么特點，（大小不一樣、形狀相同）引出課題：相似圖形（在黑板上“圖形”前補上“相似”），并寫出它的定義：形狀相同的圖形叫作相似圖形.

師：（過渡）我們知道“相狀相同”是一種定性描述，數學往往追求“定量”的研究，下面讓我們從定量的角度來定義相似圖形，以相似多邊形為例，我們定義“所有角分別相等，所有邊成比例的多邊形，叫作相似多邊形”.（板書）

問題1：以足球上的圖案五邊形為例，請同學們仿照相似多邊形的定義，組內交流一下相似五邊形的定義.

學生分組交流.

問題2：類似的，請你們再定義一下相似四邊形.

預設：（板書）兩個四邊形，四個角分別相等，四條邊成比例，叫作相似四邊形，可以用符號表示，四邊形四邊形A′B′C′D′.

教學環節（二） 發現A4紙的長、寬之比

折紙發現：同學們看黑板上貼的這些A4紙，如圖3，選一張折出等腰直角三角形ADE，再把折痕AE翻折恰能與邊AB重合，讓學生跟進操作一下.（課前給每名學生發3張A4紙，供課堂折紙操作使用）

圖3

追問：同學們能發現A4紙的長、寬之比嗎？

折紙探究：將其中一張沿“長邊”對折一下，（教師示意）然后貼在黑板上（如圖4、圖5），同學們感覺它們相似嗎？

圖4

圖5

追問：如果要證明它們相似，對照定義，缺少什么條件？

教學組織：學生在前面獲得長、寬之比為之后，有利于發現兩種矩形的邊成比例，從而對照定義，四個角都是直角，相等，四條邊成比例，所以它們是相似矩形.

教學環節（三） 研究相似三角形

過渡：讓我們再從更簡單的圖形——三角形出發，深入研究相似三角形.請你們先給出定義.

預設：（學生回答，教師板書）兩個三角形，三個角分別相等，三條邊成比例，叫作相似三角形.

提問：出示一組相似三角形（如圖6），有了之前研究全等三角形的經驗，你們覺得可以怎樣來研究相似三角形呢？

圖6

教學組織：讓學生分組交流，比如，需要研究相似三角形的定義、判定還有性質.對于判定方法，可以類比全等三角形的判定方法，比如SSS、SAS、ASA、AAS，來猜想三角形相似的條件，如“三邊成比例，兩個三角形相似”“兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似”“兩角分別相等的三角形相似”.

教師在學生回答的基礎上表示肯定，并請學生整理、簡寫在黑板上的相應位置，并將相似三角形的判定方法標注為“猜想1、2、3”.

教師點評：這些相似三角形判定的猜想由全等的判定方法猜想而來，是否也是“基本事實”？能否獲得證明？數學上，我們只要能很方便獲得證明的，一般都不輕易升級到“基本事實”或公理級別.數學是一門邏輯嚴謹、推理論證的學科.但是在時間這么短的課堂上讓學生獨立探索上述猜想的證明思路是有困難的，所以向學生推介一些思路，請他們試著理解、完善證明思路.

教學組織：讓我們還回到A4紙的折疊上，繼續多折出一些折痕，然后任意畫出兩條直線，去截這些折痕對應的直線.如圖7，先任意畫兩條直線被一組平行線（折痕對應的直線）所截，讓學生感受被截得的對應線段都是成比例的，可以讓學生在小組內充分舉例，通過畫記號或標注字母進行表達，然后添上一些特殊的直線，交前直線于某個折痕交點，為后面抽象分離出三角形中平行線的基本圖形（如圖8）做好準備.

圖7

由圖7出發，教師概括、板書“基本事實”：兩條直線被一組平行線所截，得到的對應線段成比例，并特殊化、簡化為圖8，提煉出“結論”：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得對應線段成比例.

圖8

教學預設：教學時上述“結論”可以讓學生先歸納，如果學生提到的成比例線段還有，則可以先抓取到黑板上，引導學生進行辨析和證明.如果學生能由圖7中的一些線條得到啟示，構造出DF∥AC，就可順利獲得證明.教師可順勢提出，此時△ADE和△ABC三角分別相等，三邊成比例，根據定義，可以證明兩個三角形相似.教師板書“定理”：（引理）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，構成的三角形與原三角形相似.并給出這種判定方法的“幾何語言”：因為DE∥BC，所以

教學環節（四） 課堂小結與研究展望

小結問題1：這節課是如何研究相似圖形的？

小結問題2：這節課中你對哪個問題或結論印象深刻？

小結問題3：后續你會怎樣研究相似三角形？

在這些小結問題的驅動下，引導學生交流表達，教師適當進行板書的完善，生成結構化板書（如圖9），并鼓勵學生課后自主探究如何證明相似三角形的判定方法（黑板上用“猜想1、2、3”表示）

圖9

三、教學立意的進一步闡釋

（一）理解數學，基于邏輯連貫重組學材

章建躍博士曾說：“數學的整體性既體現在代數、三角、幾何等各部分數學知識的相互聯系上，也體現在同一部分內容之間的前后邏輯性上.”本文中的課例研究的是相似圖形，承接的是全等圖形的已有知識，在我們打磨相似圖形章節起始課時，對比了人教版、蘇科版教材之后，決定從幾張相似圖形的照片引出新知，并定義研究對象（相似圖形），然后從簡單出發研究相似多邊形、相似四邊形，再“最簡化”引導學生開始系統研究相似三角形，并在相似三角形研究時鼓勵學生基于已有經驗猜想“我們將如何研究相似三角形”.這樣就形成了本節章節統領課的大致框架和學程路徑，這種框架結構是在深刻“理解數學”之后構思的，并不是簡單的“離開教材搞教學”，特別注重基于前后一致、邏輯連貫重組學材.

（二）研判學情，基于研究套路推進學程

備課之初，我們在定好大致教學框架之后，接下來就是研判開課班級學生的學情，經過與該班任課老師溝通交流，發現該班學生整體水平較好，且不少優秀學生善于思考、敢于踴躍展示，所以我們就可以在之前構思的框架上進一步“開放”問題、豐富細節和追問角度.比如，開課階段在黑板上貼幾張A4紙，上面打印了形狀相同、大小不同的幾幅照片，讓學生猜想并說出本課的研究對象（揭示課題“相似圖形”），進一步安排學生類比全等圖形來定義相似圖形；再比如，當學程推進到研究相似三角形時，讓學生先猜想“編寫教材的專家會怎樣安排相似三角形的學習內容”，然后在小組內交流討論后再全班展示，得出相似三角形的研究路徑.這些開放式的問題是基于學生已有經驗，也是研判學情后的教學決策，從教學效果來看，確實達到了“以開放題驅動開放的數學教學”（鄭毓信教授語）.

（三）預設鋪墊，基于已有經驗攻克難點

研磨相似三角形章節統領課進程中，我們一致認為教學難點是相似三角形的判定，因為課標、教材上都明確了相似三角形的判定是“定理”，并不像全等三角形的判定是以“基本事實”給出的，“基本事實”不需要證明，簡化了教學要求，但是定理是需要證明的.如何引導學生自主證明相似三角形的判定定理成為本課的教學難點，因為這將涉及相似三角形的判定的“引理”（平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，構成的三角形與原三角形相似），而“引理”又是平行線分線段成比例定理的“特殊化”.而這些“引理”及“源頭”并不是學生基于此前全等圖形學習能得到的經驗，所以從課堂教學時間和教學效率考慮，我們需要進行教學干預，預設讓學生進行“有指導的再創造”（弗賴登塔爾語），比如，借助折疊A4紙得到“一組平行線”，然后畫出一些截線，分析“成比例線段”，然后“特殊化”并證明“引理”，為學生后續研究相似三角形的判定打開思路.從課堂教學生成來看，學生攻克“引理”時出現“卡殼”，盡管課堂時間有限，我們仍然沒有簡單告知，而是學生“靜靜地”思考了5分鐘，終于有一名女生（陶姓）上臺完整證明“引理”，在隨后的點評中，我們建議將該“引理”命名為“陶氏定理”，讓學生課后利用“陶氏定理”繼續證明相似三角形的判定方法.

四、寫在后面

數學章節統領課，試圖對某一章起到統整和引領，是章節的序幕，它可以激發學生興趣，增強學生的學習信心，初步感知學習本章的價值和意義，對后繼學習起引領、指導和組織的作用；另一方面，還承載著幫助學生建構策略性知識的重要價值，為學生提供學習章節知識的框架和基本線索，搭建溝通章節知識的橋梁，除了顯性知識的教學，還應包括對本章內容的介紹、研究思路和方法的整體構建，讓學生既見樹木，更見森林，從而提高學生的整體意識、提升學生的數學素養.我們跨區域合作研究相似圖形章節統領課的過程中，收獲很多，也有一些困惑，比如，章節統領課是否只能安排一個課時（如相似圖形如果再安排一個課時，就可以繼續組織學生證明相似三角形的判定定理）？再如，當學生學完章節統領課之后，原有教材上的一些關聯不大的教學內容如何“關照”和“續上”？這些都值得后續深入思考和研究.