精選“形異質同”問題，促進學生想深想透
——由兩道習題講評的教學片段說起

江蘇省揚州市高郵城北中學 朱愛華

當前的數學課堂教學生態下，大量的課都在講習題，然而很多教輔資料上的習題量大、質劣，如果不加取舍、有的放矢進行選練和講評，則學生常常難以走出題海.特別是對于一些習題的講評，如果教師本人對“形異質同”問題缺少足夠的“眼力”將其識別出來，并引導學生進行對比、分析、內化，這種解題或解題教學常常會入寶山而空返，不利于學生學會解題、學會洞察問題深層結構.本文從近期習題課上搜集到的兩道“形異質同”習題出發，記錄學生的解法及我們對其的講評與回顧反思，希望能加深大家對“形異質同”習題在解題教學過程中的價值的認識.

一、兩道“形異質同”習題的教學片段分享

說明：以下是關于題1、題2的教學講評記錄，這兩道習題散見在一份單元檢測試卷中，從閱卷情況來看，學生完成得都不太好，所以我們對這兩道“形異質同”習題進行關聯式講評.

題1：若a＋b=-2，且a≥2b，則以下說法正確的是（ ）.

生1：依次分不同情況討論.情形1：a＞0，b＞0，結合a＋b=-2，可得不符合題意，舍去；情形2：a＜0，b＜0；情形3：a＞0，b＜0；情形4：a＜0，b＞0，結合a≥2b，可得不符合題意，舍去.則b＜0.又a≥2b，則

生2：與生1相比，判斷b＜0的思路不同.由a＋b=-2，得a=-2-b.又a≥2b，則-2-b≥2b，則b≤，即b＜0.后續思路一致.

生3：用特殊值法與排除法，獲得答案.比如，先類似生2的方法，解得，接著選定特殊值：當，排除B；當a=1、b=時，，排除A、D.于是，獲得答案.

簡評：生1思路清楚，首先判斷a或b的正負，與生2不同的是進行了分情況討論.相比較而言，生2的判斷方法更好，用消元的思想求未知數的取值范圍，更精準.而生3則用了選擇題的技巧性解法——排除法，當然這種解法的“力量感”“弱”了很多.生4出現了兩處錯誤.錯誤之一：分析出b有最大值，而根據不等關系，a應當有最小值.錯誤之二：將看作a×，b越大，但在范圍b≤內會越來越小，因此的最大值是2這個說法有誤.

教師解法：針對A、B、D選項，可以借助雙曲線的位置來“數形結合”地分析.比如，先“消參”得到，再根據圖像，以及，可以看出的最大值是2，最小值不存在.

題2：已知三個非負實數x、y、z滿足則代數式x＋4y＋3z的最小值為？

學生解法：用加減消元法消參，得由x≥0，y≥0，得解得10≤z≤20.進一步將待求的代數式“化簡”，得到x＋4y＋3z=150-4z.要使結果最小，則4z最大.當z=20時，x+4y+3z取得最小值70.

教學記錄：在評講過程中，題目中有幾個等量關系和不等關系，常用思路是利用等式消元，利用不等式求范圍.與“題1”稍有不同的是未知數的個數不同.當出現三個未知數但只有兩個方程時，一般考慮整體思想或者“消參”，即用一個未知數表示另外兩個未知數.

二、關于“形異質同”題的教學思考

1.備課要善于將“形異質同”題歸類呈現

當前在集體備課時，備課組內很多功夫都花在選題上，把好例、習題的質量關，這是有效的.特別是現在有些組題網站功能強大，只要設定選題范圍（按某種版本教材的章節）再加上一些關鍵詞進行選題，很快就能生成大量形式上高度相同的問題.但是，我們的教研備課不能止步于此，還需要考慮選用的例、習題之間的聯系，而不只是把一些“形同質同”的題拼湊在一起，還需要考慮與一些“形異質同”問題進行關聯，組合在一起以“問題串”或題組歸類的形式呈現，讓學生能通過對這些題組的練習，感悟問題的深層結構，使得以后碰到類似結構問題時，能夠識別、迅速轉化.當然，這就要求教師在備課時下足功夫，教師本人首先要有識別“形異質同”問題的眼力.

2.教學時可安排學生上臺展示解法或思路

當體現同類結構的題組呈現之后，可以先安排學生獨立思考，然后在小組內適當交流，再全班匯報展示.教師針對學生可能的解法要有充分的預設，這樣可以從容、靈活地駕馭課堂，做出恰時恰點的診評，跟進必要的追問，使學生的解法或對問題的理解全面而深刻，而不只是獲得問題的答案.比如，上文中的題例解決之后，可進行適當小結，讓學生認識到對于這類“多參數”問題，成功求解需要“消參”，將多元方程或不等式轉化為一元一次方程或二元一次方程組來思考，并最終向一元一次不等式轉化，實現思路貫通.

3.引導學生開展解題后的必要回顧與反思

在一些較難習題歸類講評之后，還要進行必要回顧與小結，讓學生“回看”探究與求解過程，提煉出問題結構，積累基本圖形及性質.除了上文提供的這類涉及“消參”的問題，七年級學生在初學平面幾何時，還有很多幾何基本圖形及性質需要通過解后回顧和反思進行提煉和深化.比如，三角形的兩條內角平分線夾角問題、一條內角與一條外角平分線夾角問題、兩條外角平分線夾角問題，如果分開練習講評，則是入寶山而空返，學生學到的往往是零散的數學內容，需要將它們集中在一節課中進行講評、對比，最后階段還要把它們集中到一個圖形中讓學生看清它們之間的關系.再比如，初學三角形的角時，學生常常遇到以下一類問題：

題組：如圖1，在△ABC中，AE、AD分別是△ABC的角平分線、高線.

（1）∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度數；

（2）∠BAC=70°，∠BAC=70°，求∠DAE的度數；

（3）∠C-∠B=30°，求∠DAE的度數；

（4）請猜想∠DAE與∠B和∠C之間有怎樣的數量關系，并說明理由.

圖1

圖2

教學組織：學生練習這組問題之后要提煉出從三角形同一頂點引出的角平分線與高線的夾角等于三角形另外兩角差的絕對值的一半，并且讓學生感受到這組“問題串”是從特殊走向一般的設問方式，屬于“并列式問題”，但需要“遞進式”求解.如果只是滿足于上述題組的訓練，還不夠深入，講評之后，我們還可繼續跟進如圖2、圖3這樣的變式問題，在圖2中，在線段AE上取點P，作PH⊥BC于點D，分析∠EPH與∠B和∠C之間有怎樣的數量關系；進一步，點P在線段AE的延長線上時，作PH⊥BC于點D，分析∠EPH與∠B和∠C之間有怎樣的數量關系，并且引導學生作出輔助線“高AD”來實現問題快速轉化.

圖3

三、寫在后面

近讀鄭毓信教授著作，鄭教授反復強調廣大一線教師要有思辨力、要有定力，于很多創造名詞或概念的教學方法與教學模式的研究而言，我們如何才能成為真正的主體而不是永遠處于“被運動”的地位？鄭教授建議：“立足專業成長，關注基本問題.”在這個角度上看，我們應該從自己的日常教學工作出發，搜集、整理并反思數學教學過程中的典型案例，將實踐與理論結合起來，努力做好“理論的實踐性解讀”與“教學實踐的理論性反思”.想來，不可能每位教師都成為所謂的特級或名師，但“作為研究者的教師”，應該是每位教師都可以和應該追求的.