淺談避開題設“陷阱”的巧解方法

韓秀

[摘 要]解答數學題，會遇到設陷阱的題，許多學生一般都會出錯。要排除這種障礙，減少失誤，省時省力快速解答，獲得高分，運用巧妙的解題技巧解陷阱題是最好的方法。

[關鍵字]巧解;陷阱題;分類

一、巧解陷阱題，問題分類要全面

（典例1）解關于x的不等式|b-ax|0，a≠0）.

【錯解】原不等式等價于-m

∴-m-b<-ax

∴ -m+b

∴

故不等式的解集為：

【剖析】 上述解答錯誤的原因是誤認為a>0，其實當a<0時還有一種情況：，此時解集為。

【評注】 含字母系數的不等式，求解時要注意分類討論。

典例2 ?“若m>0，則x2+x-m=0有實數根”，此命題的逆否命題為若x2+x-m=0沒有實數根，則m≤0為假命題。

【剖析】 當m>0時，x2+x-m=0的判別式△=1+4m>0，所以原命題為真，因而逆否命題也為真.題設結論是錯誤的，其原因是對復合命題“p或q”的理解有偏差。若x2+x-m=0沒有實數根，則△=1+4m<0，所以m<-，而不是m≤0，這種理解是錯誤的，因為m<- m<0或m=0m≤0， “p或q”有真即真，只要有一個成立即可。

【評注】 對命題、復合命題的理解要到位，尤其是對“p或q”的理解更是如此。

典例3 ?若三棱錐A-BCD的側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是

【延時成因】考生平時解題中對求空間軌跡問題的題型接觸少，本題中求解軌跡方程，受知識所限困難太大，又由于受選擇項A與B的干擾，使思維方向集中指向了平面解析幾何中的軌跡問題。

【對策】 解選擇題也不能一味地追求速度，如在本題中，若胡亂作圖后，立即選擇答案，而不是考慮選項的科學性，則解選擇題的錯誤率就會很高，排除干擾項的方法常見的有：特殊值法、代入法、圖像法、篩選法等。此題的思考方向應在C與D選項上，設線段PB與底面BCD所成的角為α，∠ABP=β，則當且僅當α=β時，P到底面BCD的距離與到棱AB的距離均等于PB ?sinα，又由實際作圖可得僅選D符合條件，故選D。

二、巧解陷阱題，特殊情況要牢記

典例4 ?已知銳角△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別a，b，c，若b是 ，2的等比中項，c是1，5的等差中項，則a的取值范圍是______。

【錯因分析】 根據余弦定理知，若a是最大邊，當b2+c2-a2>0 時，三角形為銳角三角形.由于忽視當c為最大邊時的情形，從而掉入漏解陷阱。

【正確解析】 （，10） 因為b是 ，2的等比中項，所以b==1;

因為c是1，5的等差中項，

所以c==3.

因為△ABC為銳角三角形，所以

①當a為最大邊時，有

解得3≤a<;

②當c為最大邊時，有，

解得2

由①②得 2

【誤區警示】 求解此類題需樹立分類討論的思想意識，明確其分類“度”的選擇，分類時要做到不重、不漏。

三、巧解陷阱題，排除干擾要果斷

典例5 ?已知數列{an}的首項為4，前n項和sn滿足=+1（n≥2） ，則數列{an}的通項公式為_____.

【錯因分析】 利用an=sn-s（n-1）） （n≥2） 求數列{an}的通項公式時，未注意到首項a1=4是否滿足an=2n+1 ，導致求出的數列{an}的通項公式錯誤。

【正確解析】 an= 因為=+1（n≥2），且===2，

所以數列 是首項為2，公差為1的等差數列，

所以=2+（n-1）×1=（n+1），

所以sn=（n+1）2.

當n=1時，a1=4;

當n≥2時，an=sn-s（n-1））=（n+1）2-n2=2n+1.

因為a1=4不符合上式，所以數列{an}的通項公式為an=

【誤區警示】 對于已知條件中含有可轉化為an與 sn關系的數列題，求其通項公式時常利用公式an=進行求解，此時需注意：一定要驗證a1是否包含在an=sn-s（n-1）所求得的公式中，若不符合，其通項公式一定要分段來表示，如典例3中，a1=4不符合an=2n+1，所以其通項公式需寫成an=.

典例6已知全集U=R，集合A={x│log2（5-x）≤2 }，C={x│-a

【錯因分析】本題因思考不嚴謹，導致實數a 的取值集合求錯，一般有兩種情形：一是解對數不等式log2（5-x）≤2時，忽視了對數的真數要大于0，導致不等式求解出錯;二是想當然地認為集合C不為空集，導致實數a 的取值集合求錯。

【正確解析】{a│a≤-1} 因為log2（5-x）≤2 ，所以，解得1≤x<5，所以A={x│1≤x<5}.

因為C∩A=C，所以C∈A.

當C=φ時，滿足C∈A，此時-a≥a+3，解得a≤;

當C≠φ時，要滿足C∈A，則 .解得-

由①②得，a≤-1，所以實數a的取值集合為{a│a≤-1}.

【誤區警示】 已知集合的運算關系式，求解集合中參數的值（或取值范圍），這類題往往具有一定的開放性，牽涉因素較多，看上去錯綜復雜。若嚴謹思考問題，則能突破解題難點，優化解題思路。

三、巧解陷阱題，思考問題要嚴謹

典例7 ?關于x的不等式x+-a2+3a>0 在x∈（2，+∞）上恰成立，則實數a的值為______。

【點撥】將“關于x的不等式x+-a2+3a>0”在x∈（2，+∞）上恰成立”轉化為“函數f（x）=x+在（2，+∞）上的值域為（a2-3a，+∞）”，求函數f（x）在（2，+∞）上的值域，得到關于a的方程，求出a的值.

【解析】 -1或4設f（x）=x+，因為x>2，所以f‘ （x）=1-=>0，所以f（x）=x+在（2，+∞）上為單調遞增函數，所以f（x）>f（2）=4. 又x+>a2-3a在（2，+∞）上恰成立，所以a2-3a=4，解得a=-1或a=4.

【攻略秘籍】 求解此類含參不等式恰成立問題的關鍵是過好三關：一是轉化關，即將“關于x的不等式f（x）g（a）在區間D上恰成立”轉化為“函數f（x）在D上的值域是（g（a），+∞）”;二是求函數的值域關，可以用函數的單調性法、導數法、圖像法等求函數的值域;三是方程關，即列出參數a所滿足的方程，可求出a的值 。