如何巧用化歸思想開展初中數(shù)學(xué)解題

周林雪

[摘 ? 要]首先闡述化歸思想的內(nèi)涵和基本功能;其次說明化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用原則;最后結(jié)合具體的例題分析化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方法.

[關(guān)鍵詞]化歸思想;解題;初中數(shù)學(xué)

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0019-02

化歸思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，始終貫穿于初中數(shù)學(xué)解題中，它能使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，從而實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)解題的高效化.本文首先闡述了化歸思想的內(nèi)涵和基本功能，并結(jié)合具體的例題對化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了分析，希望對師生利用化歸思想來解決初中數(shù)學(xué)問題能有所幫助.

一、化歸思想的內(nèi)涵

化歸其實(shí)是轉(zhuǎn)化和歸納的簡稱，而化歸思想的核心是把難解轉(zhuǎn)化為易解、把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、把未知轉(zhuǎn)化為已知，如把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題、把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題、把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程等.實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法主要有整體代入法、配方法和待定系數(shù)法等.

二、化歸思想的基本功能

作為初中數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，化歸思想同時也是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式和最基本的思維策略.化歸思想的實(shí)質(zhì)是采用變化手段來研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題使其轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題目的的一種方法.在初中數(shù)學(xué)解題中，化歸思想無處不在，其基本功能為把含糊轉(zhuǎn)化成明朗、把抽象轉(zhuǎn)化成直觀、把復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單、把生疏轉(zhuǎn)化成熟悉.在解答初中數(shù)學(xué)題的過程中，要善于對所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，從而使問題變得簡單易解.

三、化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

1.特殊化方法

化歸思想的特殊化方法就是將已知的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況或形式，然后尋求問題的解決方法和結(jié)論時通過對特殊情況進(jìn)行研究的一種數(shù)學(xué)方法.現(xiàn)以例1為例來對特殊化方法進(jìn)行具體的說明.

[例1]如圖1-1所示，假設(shè)∠AOB為一定角，P點(diǎn)為一定點(diǎn)，且位于∠AOB 的平分線上，連接OP，以O(shè)P為弦作圓交OA于C、交OB于D，求證：OD與OC之和為一定值.

首先將此題中的情況特殊化，如圖1-2所示，假設(shè)OP為特殊位置的弦（OP為直徑），且OP = L，∠AOB =2α，因?yàn)镺P經(jīng)過圓心，可以得出∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，因此OD與OC之和為一定值.而OP不經(jīng)過圓心的證明過程如下：如圖1-1所示，作PF⊥OB于F，作PE⊥OA于E，又因?yàn)椤螦OB的平分線為OP，因此可以得出PF=PE，OF=OE=Lcosα，可知∠PDF=∠PCE，因此Rt△PDF ≌ Rt△PCE，所以DF=CE，OD+OC =（OF + FD）+（OE - CE）= OF+OE= 2Lcosα，因此OD與OC之和為一定值.

2.熟悉化方法

化歸思想的熟悉化方法就是把陌生的問題化歸為熟悉的問題，然后利用已掌握的知識和經(jīng)驗(yàn)來解答題目.現(xiàn)以例2為例來對熟悉化方法進(jìn)行具體的說明.

[例2]如圖2所示，假設(shè)BD、AC分別為圓內(nèi)接凸四邊形 ABCD 的兩條對角線，求 AD·BC+AB·CD= AC·BD.

這個等式的證明比較復(fù)雜，我們都不易著手，比較生疏，但是對于AB=CD這一類線段關(guān)系式的證法我們就比較熟悉，所以可先按照AB=CD這類型的等式來進(jìn)行處理.經(jīng)過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，要想證明AD·BC+AB·CD= AC·BD，可假設(shè)在線段 AC或者 BD上存在一點(diǎn) P，使得 AC·BP=AB·CD ① 和 AC·PD= AD·BC ②能夠同時成立，這樣的話只要等式①+②就可以證明AD·BC+AB·CD= AC·BD，所以我們成功地把問題轉(zhuǎn)化成了兩個比較熟悉的問題，要讓等式①和等式②同時成立，只需證明△ADP ∽ △ACB和△ABP ∽ △ACD，這對我們來說就容易多了.

3.簡單化方法

化歸思想的簡單化方法就是把比較復(fù)雜的圖形和問題轉(zhuǎn)化為若干個具有某種特殊關(guān)系的圖形和簡單的問題，然后逐一進(jìn)行解決，各個擊破，最后再加以綜合得出答案.現(xiàn)以例3為例來對簡單化方法進(jìn)行具體的說明.

[例3]解方程 [x+5]+2[x2+5x]+[x]=25-2x .

解無理方程的一般方法是盡量去掉根式轉(zhuǎn)化為有理方程來解答，同時考慮到整體與部分的關(guān)系以及有關(guān)的特征，因此此題可選擇釆用換元法來解答.首先令y=[x]+[x+5]，則[y2]=2x+5+2[x2+5x]，然后可把原方程轉(zhuǎn)化為：[y2]+ y-30=0，對此方程求解可得：y1=5，y2=-6（舍去）.把 y = 5代入y=[x]+[x+5]，方程兩邊同時進(jìn)行平方，經(jīng)過整理后可得：[x2+5x]=10-x，再次對方程兩邊進(jìn)行平方，經(jīng)過整理后可得：x=4，經(jīng)檢驗(yàn)，方程的根為x=4.

4.直觀化方法

化歸思想的直觀化方法就是把抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題.現(xiàn)以例4為例來對直觀化方法進(jìn)行具體的說明.

[例4]m、n均為正數(shù)，且滿足條件 m + n = 3，且 S =[m2+4]+[n2+4] ，求 S 的最小值.

剛接觸到這道題時難免會覺得題目比較抽象而無從下手.但是假如我們用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行解題的話，題目就會變得比較直觀，如圖3所示，線段AB與DE交于點(diǎn)C，連接AD、BE，代入題目中的已知條件可知， BE =AD =2，m + n =AB=3，且∠CBE =∠CAD = 90°。求 CE+CD的最小值就是求S的最小值.從題目中可以看出，CE+CD的最小值就是當(dāng)E、C、D成一條直線時，此時的C 點(diǎn)為線段AB 的中點(diǎn)，S 的值為最小.

具體的解題過程如下：如圖3所示，設(shè)CB = n， AC = m，由m + n =AB = 3可得AC=BC=[12] AB=[32]，即n=m=[32]，在Rt△BEC與Rt△ADC中，CD = [AD2+AC2]=[4+94]=[52]，而CE=[BC2+BE2]=[52]，則 DE =S = CE+ CD = 5.因此可以得出 S的最小值為5.

解答本題的關(guān)鍵是通過觀察題目所給的已知條件，進(jìn)而想到用圖形構(gòu)造把抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題，然后通過所構(gòu)造圖形的實(shí)際意義求出相應(yīng)的答案.

綜上所述，化歸思想是初中數(shù)學(xué)解題中最重要的思想之一，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題是化歸思想的實(shí)質(zhì).利用化歸思想來解答初中數(shù)學(xué)題的方法有很多，包括數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法和換元法等，解答題目時，釆用其中一種或多種，可實(shí)現(xiàn)解正確題率的最大化.

（責(zé)任編輯 黃春香）