一道雙曲線離心率高考題的多視角切入探究

欒功

[摘 ? 要]雙曲線離心離的求解問題是高考數學的熱點，且能深入考查考生的綜合能力及數學思想方法.以一道2019年高考題為例，多視角探究雙曲線離心率問題的求解策略，以指導一線教師在今后的教學中要注重基本概念和基本方法的講解，及學生綜合能力和核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[關鍵詞]高考題;雙曲線;離心率;視角;探究

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0001-02

雙曲線離心率的求解問題一直是高考數學的熱點，離心率內涵豐富且綜合性強，既可以考查雙曲線的定義、標準方程、頂點坐標、漸近線等基本概念，又容易與其他章節(jié)內容，如平面幾何、向量、三角進行綜合應用，同時還能深入考查考生的邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力以及數形結合思想.因此在歷年高考中備受命題人的青睞.2019年高考新課標Ⅰ卷理科第16題非常精彩，下面筆者將從多視角解析并探究雙曲線離心率問題的求解策略.

題目：（2019年新課標Ⅰ卷理科第16題）已知雙曲線[C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的左、右焦點分別為[F1，F2]，過[F1]的直線與[C]的兩條漸近線分別交于[A，B]兩點，若[F1A=AB]，[F1B?F2B=0]，則[C]的離心率為 ? ? ? ? ? ? .

試題以雙曲線為背景，給出了過左焦點的一條直線與兩條漸近線的位置關系，并給出了兩個向量條件，有利于考生正確構圖、識圖、借助雙曲線的幾何性質厘清雙曲線各個幾何量之間的關系，給考生在“形”與“數”的角度提供了廣闊的思考空間.下面筆者將從不同視角提供多種解法，由于各種解法都始于已知條件，先在此解析，后統(tǒng)稱由已知得.

解析：因為[F1A=AB]，[F1B?F2B=0]，所以[AF1=AB]，[F2B⊥F1B]，

又點[O]是[F1F2]的中點，所以[OA//F2B]，所以[OA⊥F1B]，[OF1=OB=c]（[c2=a2+b2]），

在直角三角形[OAF1]中，[OF1=c]，[tan∠AOF1=ba]，故[OA=a]，[AF1=b].

視角1：妙添線構圖，可視基本量

解法1 如圖1，過點[F1]作[F1D⊥OB]于點[D]，

在[Rt△ODF1]中，[OF1=c]，[tan∠F1OD=ba]，

所以[OD=a]，[F1D=b]，

由已知條件得知，在[Rt△F1DB]中，[BF1=2b]， ? ? ? ? ? ? ? ? ?由[△ODF1]∽[△F1DB]，得[OF1OD=F1BF1D]，即[ca=2bb=2].

解法2 如圖2，過點[B]作[BE⊥F1F2]于點[E]，則[BEOE=ba]，由已知得[OF1=OB=c]，[F1B=2b]，所以[BE=b]，[OE=a]，

[△BEF1∽△OEB]，故[OBOE=BF1BE]，即[ca=2bb]，故[e=2].

解法3 輔助線同解法2，由已知得[OF1=c]，[F1B=2b]，所以[BE=b]，[OA=OE=a]，

在[Rt△F1AO]中，[sin∠AF1O=OAOF1=ac]，在[Rt△F1EB]中，[sin∠BF1E=BEBF1=b2b=12]，

所以[ac=12]，故[e=2].

解法4 如圖3，過點[O]作[OH⊥BF2]于點[H]，

由題意知[BH=a]，[OB=c]，

由上解法知[∠BOF2=60°]，從而[∠BOH=30°]，

所以[BOBH=2]，即[e=2].

點評：從雙曲線的漸近線概念入手，充分挖掘其內涵和外延，抓住漸近線的斜率和基本量[a，b，c]之間的關系，由數找形，添加不同輔助線構建直角三角形，使基本量[a，b，c]可視，從而用離心率的定義求解，精煉優(yōu)美.

視角2：深挖角關系，以“形”速顯“數”

解法5 如圖4，由已知得[OF1=OB]，點[A]為[F1B]的中點，所以[∠F1OA=∠BOA]，

又因為直線[OA]，[OB]是雙曲線的兩條漸近線，所以[∠F1OA=∠F2OB]，從而[∠F1OA=∠BOA=∠F2OB=60°].

所以[ba=3]，得[e=2].

解法6 由題意知[OA=a]，[AO=12BF2]，[∠F1OA=∠AOB]，因為[OA//F2B]，所以[∠AOB=∠F2BO]，故[∠F1OA=∠F2BO]，

又由漸近線的性質知[∠F1OA=∠BOF2]，

所以[∠F2BO=∠BOF2]，所以[BF2=OF2=c]，

由[AO=12BF2]得[a=12c]，所以[e=2].

點評：基于平面幾何知識，由形找形，深挖角度關系，使其[a，c]關系一目了然，過程簡潔自然.

視角3：關系坐標化，構建齊次式

解法7 由題意知[F1B⊥OA]，[F1A=AB]，記[a2+b2=c2]，所以直線[OA]的方程為[y=-bax]，直線[F1B]的方程為[y=abx+c]，

聯立[y=-bax ? ? ? ? ，y=abx+c ? ? ? ? ，]得[A- a2c ? ? ? ? ， ? ? ? bac]，從而[Bb2-a2c ? ? ? ? ， ? ? ? ?2bac]，