導數和微分之我見

高桂英 劉怡娣

微積分學中兩個非常重要的概念——導數和微分，二者之間有區別，也有聯系。初學者在導數和微分計算方面掌握的很好，但是導數和微分兩個概念的內涵方面往往引起混淆，下面從幾個方面談談這兩個概念。

1 導數與微分的歷史淵源

眾所周知，牛頓和萊布尼茲兩個人在不同領域里從不同的角度創立了微積分思想。微積分是一種數學思想，簡單的表述：微分是‘無限細分，積分是‘無限求和。而這里無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎。我國古代就已經有了微分和積分的思想的萌芽。《莊子》的“天下篇”中，把這種無限的思想表述為“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。劉徽在他的割圓術中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。從中也可以看出中國古代文化的精髓。但微積分思想的逐漸建立還要從17世紀開始，由于生產實際的需求，數學的研究由常量進入了“變量數學”時代，微積分不斷完善成為一門學科，世界各地數學家付出了很多的努力，在這眾多的數學家中貢獻尤其突出的還是牛頓和萊布尼茲。

牛頓和萊布尼茲兩大家從不同的角度創立了微積分思想.牛頓側重從物理學的角度研究微積分的，在解決運動問題過程中，創立了“流數術”的理論，即借助數學理論解決物理概念，實際上就是微積分理論。“流數術”最先提出是在牛頓1665年5月20目的一份手稿中提到，因而這一天被數學家們看作誕生微積分具有標志性的一天。而德國數學家萊布尼茲采取了與牛頓不同的途徑與方法，他著手于研究面積問題，即曲線的切線和曲線所圍成的圖形的面積，使用分析學方法引進微積分概念，進而得出運算法則的。在微積分的應用上牛頓結合了運動學，比萊布尼茲造詣高一籌，但是萊布尼茲采用數學符號表示微積分卻又遠遠優于牛頓一籌，這些符號的使用既簡潔又準確，更好的揭示出微積分的實質，對高等數學的發展起到了強有力地促進作用，可以說萊布尼茲創造的微積分符號，正像阿拉伯數碼促進了算術與代數發展一樣，對微積分學的發展也起到了促進作用，萊布尼茲是數學史上最杰出的符號創造者之一。

牛頓和萊布尼茲在探討問題的過程中，都遇到了無窮小量導致的麻煩，直到19世紀用語言量化了極限的概念之后，無窮小量在探討微積分思想過程中產生的麻煩才得到解決.為此數學家們把在極限概念量化之前的微積分數學史上稱為古典微積分，而我們現在普遍使用的微積分是用極限理論加以定義的古典微積分是先定義微分再有的導數，先定義導數再有的微分卻是極限微積分的定義過程。

盡管兩個偉人在不同領域用不同的方法創立了微積分思想，但是牛頓提出這一思想比萊布尼茲早，而萊布尼茲發表自己的成果要比牛頓在先.在當時信息不是很發達的社會條件下，兩個偉大的數學大家為誰是微積分思想的真正創立者，進行了長達十年之間的知識產權之爭。但導數和微分，二者在本質上是一樣的，僅僅表示形式不同，而微積分體系的另一個方面---積分，是導數（也是微分）的逆運算。

2 導數與微分的之間的區別

古典微積分是先定義微分，在此基礎上再定義的導數，所以導數也叫做微商。而相反，極限微積分卻是先定義導數，借此基礎上再定義的微分，導數的概念用極限重新嚴格定義后，導數因此就脫離了微商的概念，這時，導數被當成一個整體看待，導數和微分是兩個不同的概念，二者研究問題的側重點也不同，導數是研究函數的變化率問題，微分是研究函數的改變量的問題。

2.1 定義形式不同

導數反映函數在某一點變化快慢的程度，即變化率;而微分則主要是表示函數在某一點的增量（也叫改變量）的近似程度.

2.2 應用不同

函數在某一點的導數表示它在該點的變化率，在不同學科中變化率問題廣泛存在，所以凡是涉及到研究變化率的問題都可以用導數來表示，幾何上常用的就是上面提到的曲線的切線斜率問題，在物理學中也同樣有著廣泛的應用，簡單地講位移對時間的變化率是速度，速度對時間的變化率是加速度，旋轉的角度對時間的變化率是角速度等等問題，都可以用導數的知識來表示.而微分通常用來進行近似計算。

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3 導數與微分二者的一致性

再者，微分為改變量的主要線性部分 ，更適宜多元函數情形的研究，大家都知道，一元函數可導和可微是等價的。但是對于多元函數而言，可導卻是很狹隘的概念，而可微則是深刻的概念，多元函數二者不等價。從一元函數可微向多元函數可微概念延續，還是用無窮小定義為妥.微分概念的引進，有，這樣就把本為一體的導數記號，可分解成函數微分與自變量微分之比，這雖說具有一定的形式色彩，但這樣的理解無疑給導數的某些運算帶來了方便。

從復合函數求導法則來看，有了微分的概念，它就可以改寫成，此即無論是自變量還是中間變量，總是成立的，這就是一階微分形式的不變性。

總之，不管從歷史的發展淵源還是精確的導數和微分的定義來看，導數和微分之間都存在著千絲萬縷的聯系，二者密不可分。

（作者單位：大連理工大學城市學院基礎教學部）