連續型隨機變量的概率密度與分布函數

常娟

摘? 要：在概率論與數理統計中，根據連續型隨機變量的定義，討論連續型隨機變量的概率密度與分布函數的互求問題。結合實例分析給出結論：（1）對于一維連續型隨機變量，當分布函數的非連續導數點是有限個時，只要將概率密度補充適當的定義，即可滿足要求。（2）對于二維連續型隨機變量，當分布函數的二階混合偏導數在有限條光滑曲線上不連續時，只要將概率密度補充適當的定義，即可滿足要求。

關鍵詞：連續性隨機變量? 分布函數? 概率密度

中圖分類號：O212 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）08（b）-0188-02

Abstract： In probability theory and mathematical statistics， according to the definition of continuous random variables， the mutual problem of probability density and distribution function of continuous random variables is discussed. Combined with the example analysis， the conclusion is given：（1）For one-dimensional continuous random variables， when the non-continuous derivative points of the distribution function are finite， the probability density can be supplemented with appropriate definitions to meet the requirements.（2）For two-dimensional continuous random variables， when the second-order mixed partial derivatives of the distribution function are discontinuous on the finite strip smooth curve， the probability density can be supplemented with appropriate definitions to meet the requirements.

Key Words： Continuous random variable; Distribution function; Probability density

在概率論與數理統計的學習中，經常會有連續型隨機變量的概率密度與分布函數互求問題。但是在概率論的教材及參考書中，涉及到已知分布函數求概率密度的內容比較少，初學者往往沒有正確理解相關的概念及性質，在應用上產生一定的偏差，算出錯誤的結果。因此本文討論了連續型隨機變量的概率密度和分布函數的互求問題。

1? 一維連續型隨機變量的概率密度與分布函數的互求問題

1.1 已知一維連續型隨機變量的概率密度求分布函數

設X是一維連續型隨機變量，X的概率密度與分布函數分別為f（）與F（），則由概率論與數理統計的知識得：分布函數是概率密度的積分上限函數，即[1]。

例1 設連續型隨機變量X的概率密度為：

求隨機變量X的分布函數F（）[2]。

解：（1）當<0時，因為在區間（-∞，）內，有概率密度f（）=0，所以。

（2）當0≤<2時，根據單積分具有積分區間的可加性，有：

（3）當≥2時，根據單積分具有積分區間的可加性，有：

即隨機變量X的分布函數F（）為：

1.2 已知一維連續型隨機變量的分布函數求概率密度

設X是一維連續型隨機變量，X的概率密度與分布函數分別為f（）與F（），則由概率論與數理統計的知識得：在概率密度函數f（）的連續點處有F′（）=f（）。

對于一維連續型隨機變量，真正有實際意義的是概率密度的積分，概率密度的積分得到的是隨機變量在某個區間上取值的概率，因此要求密度函數必須可積，但是可積函數不一定是連續函數，所以概率密度函數f（）不一定連續。

一般來說，概率密度的不連續點只有有限個，改變概率密度在有限個點處的函數值不影響分布函數F（）的取值，因此并不在乎改變概率密度在有限個點處的值。有鑒于此，在概率密度的連續點處有F′（）=f（）;在概率密度的不連續點處，只要將概率密度適當補充定義（取非負實數）即可。

例2 設連續型隨機變量X的分布函數為：

求隨機變量X的概率密度f（）。

解：在概率密度的連續點處有

（1）當<1時，F（）=0在區間（-∞，1）內有連續導數，求導得F′（）=f（）=0。

（2）當1<

（3）當>e時，F（）=e在區間（e，+∞）內有連續導數，求導得F′（）=f（）=0。

（4）當=1，=e時，F（）不可導，但是可以補充概率密度在個別點處的值，為了概率密度的表達式簡單整齊，所以指定f（1）=0，f（0）=0。即隨機變量X的概率密度為f（），則：

2? 二維連續型隨機變量的概率密度與分布函數互求問題

2.1 已知二維連續型隨機變量的概率密度求分布函數

設（X，Y）是二維連續型隨機變量，（X，Y）的概率密度與分布函數分別為f（，y）與F（，y），則由概率論與數理統計的知識得：分布函數是概率密度的二重積分，

即[3]。

例3 設二維連續型隨機變量（X，Y）的概率密度為

求隨機變量（X，Y）的分布函數F（，y）。

解：根據，則：

（1）由二重積分具有積分區域的可加性，當>0，y>0時，有：

（2）當，y不屬于第一象限時，則有：

即隨機變量（X，Y）的分布函數F（，y）為：

2.2 已知二維連續型隨機變量的分布函數求概率密度

設（X，Y）是二維連續型隨機變量，（X，Y）的概率密度與分布函數分別為f（，y）與F（，y），則由概率論與數理統計的知識得：在概率密度函數f（，y）的連續點（，y）處有。

對于二維連續型隨機變量，真正有實際意義的是概率密度的積分，概率密度的二重積分得到的是隨機變量在某個區域上取值的概率。因此要求密度函數可積，但是二元可積函數不一定是二元連續函數，所以概率密度函數f（，y）不一定連續。

一般來說，對于二維連續型隨機變量，概率密度只在有限條光滑曲線上不連續，改變概率密度在有限條光滑曲線上的函數值并不影響分布函數F（，y）的取值，因此并不在乎改變概率密度在有限條光滑曲線上的值。有鑒于此，在概率密度的連續點處有;在概率密度的不連續點處，只要將概率密度適當補充定義（取非負實數）即可。

例4 設二維連續型隨機變量（X，Y）的分布函數為

求隨機變量（X，Y）的概率密度f（，y）。

解：因為F（，y）的二階混合偏導數是連續函數，即當-∞<，y+∞時，有：

例5 設二維連續型隨機變量（X，Y）的分布函數為：

求隨機變量（X，Y）的概率密度f（，y）。

解：因為F（，y）的二階混合偏導數是連續函數，即當-∞<，y+∞時，有：

例6 設二維連續型隨機變量（X，Y）的分布函數為：

求隨機變量的概率密度。

解：（1）當>0，y>0時，F（，y）的二階混合偏導數是連續函數，即當>0，y>0時，有：

（2）當<0或者>0，y<0時，有F（，y）=0，則：

（3）當≥0，y=0或者=0，y≥0時，為了概率密度的表達式簡單整齊取f（，y）=0。即隨機變量（X，Y）的概率密度f（，y）為：

參考文獻

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：42-44.

[2] 陳燦.概率論與數理統計[M].北京：科學出版社，2013：27-28.

[3] 張國華.概率論與數理統計[M].西安：西安交通大學出版社，2014：51-53.