偏聯系數的計算與應用研究

楊紅梅，趙克勤

（1. 山西廣播電視大學 成人教育學院，山西 太原 030027; 2. 諸暨市聯系數學研究所，浙江 諸暨 311800）

聯系數是趙克勤在集對分析理論中給出的一種新穎結構函數，具有“數與系統合一”特點。借助聯系數進行數學建模，結合系統的不確定性分析，使集對分析在處理不確定性問題中得到廣泛應用[1-41]。偏聯系數是聯系數的一種伴隨函數，也是基于集對分析的“系統狀態-趨勢分析法”的主要數學工具，自趙克勤于2005年提出以來[42]，已在飛機維修[43]、地鐵施工[44]、隧道施工[45]、礦山過程安全[32]、火災預防[46]、水文水資源[47]、區域創新[48]、技術預警[49]、教育評估[50]、網絡輿情傳播[51]、建筑供應鏈風險管理[52]、衛生統計[53]、系統風險分析[54]、隱私保護[55]等領域得到應用。最近，文獻[56]建立一種融合偏聯系數模糊聚類(PCFCM)算法和教與學隨機森林(TLRF)算法的雷達調制信號分選新模型(PCFCM-TLRF)，仿真實驗結果顯示，與其他分選模型相比，PCFCM-TLRF模型具有更高的分選準確度，能夠有效地實現雷達調制信號的分選。

但由于文獻[42]所在出版物不是學術期刊，傳播上有一定局限，致使相當一部分應用偏聯系數的學者看不到文獻[42]。為此，本文對偏聯系數的計算與應用研究作一梳理，以促進集對分析和偏聯系數在人工智能等領域中的進一步應用。

1 聯系數及其聯系分量的示性系數

由文獻[19]知，聯系數最早由趙克勤在解讀集合論羅素悖論時給出，至今已有不同的表達形式，其中常用的二元到五元歸一化聯系數為

但式(5)給出的是式(1)～(4)中聯系分量示性系數i、j、k在[-1，1]大區間取值作均勻分布假定條件下的值域，這些在給定小區間中取何值仍要根據聯系分量本身的不同情況才能確定，這是聯系數的一個重要特點，也是對聯系數開展系統分析的一個難點，如何消去這些不確定取值的示性系數，得出聯系數系統在微觀層次上的演化趨勢，已成為集對分析理論研究中的一個熱點，后面要討論的偏聯系數算法就是針對這一難點作出的探索。

2 偏聯系數

2.1 基本原理

偏聯系數主要依據聯系數的假定提出：假定聯系數中當前處在較低(負、偏負、正負不定)層次和較高(正、偏正)層次的聯系分量存在由低(負、偏負、正負不定)到高(正、偏正)的正向層次遷移，同時又存在由高(正、偏正)到低(負、偏負、正負不定)的負向層次遷移，這些聯系分量之間相互對立的層次及其遷移構成聯系數的系統結構(由聯系分量組成的結構)在微觀層次上的矛盾運動，運動結果決定這個聯系數的系統結構在微觀層次上的演化趨勢，該演化趨勢與同一聯系數的聯系分量在宏觀層次上的演化態勢可能相同，可能相異，可能相反。

顯然，以上假定符合哲學關于事物處于運動和變化之中的思想，也是不少文獻中的實例驗證，因此也稱為聯系數中聯系分量的微觀運動原理或矛盾運動原理，不致誤解時，簡稱聯系數微觀運動原理。研究表明，聯系數的微觀運動原理就是偏聯系數原理。

2.2 二元聯系數的偏聯系數

也就是：

因此有定義1：

另一方面，根據集對分析的“成對原理”(事物或概念都是成對存在)和聯系數中聯系分量的微觀運動原理，可以假定當前的原本也處在層次，是從層次朝正負不定(相對于完全確定的+1層偏負)演化而來，為此用作分母，用作分子，用作為演化率，記

也就是：

因此有定義2：

根據定義3可知：

式(15)表明二元聯系數的一階全偏聯系數是二元聯系數自身，計算結果中仍然存在二元聯系數中表示不確定性的示性系數 i，為此，在實際應用時需要對 i 作出解析才能確定二元聯系數所確定的演化趨勢。

2.3 三元聯系數的偏聯系數

式(2)所示三元聯系數的偏聯系數計算原理同二元聯系數，但內容較多；為節約篇幅，以下直接給出三元聯系數中各階偏聯系數的定義(見定義4)。

三元聯系數的一階偏負聯系數見定義5。

式(17)表明三元聯系數的一階偏負聯系數是一個二元聯系數，由兩個偏負聯系數相加而成，其中的含義是假定當前的，此前也處在b層次，是從b層次負向演化而來，所以用做分子，用偏負向演化的演化率，由于這時作為分子的處在當前狀態，所以乘上表示當前狀態的示性系數。

三元聯系數的一階全偏聯系數見定義6：

則其一階全偏聯系數是一階偏正聯系數和一階偏負聯系數的代數和，記一階全偏聯系數為，則有

顯然，定義6中的式(18)可以化簡成：

如果約定三元聯系數的偏聯系數就是指這個三元聯系數的全偏聯系數，則式(19)可以再簡寫成：

進一步有定義9。

顯然，式(24)是一個沒有示性系數 i 的實數，其物理意義是：當時，表明三元聯系數的系統在微觀層次上的演化趨勢是正向趨勢；當時，表明三元聯系數的系統在微觀層次上的演化趨勢是負向趨勢；當時，表明三元聯系數的系統在微觀層次上的演化趨勢處在正負臨界狀態。

2.4 四元聯系數的偏聯系數

式(3)所示四元聯系數的偏聯系數計算原理同三元聯系數，但內容增多；為節約篇幅，以下直接給出四元聯系數中各階偏聯系數的定義：

顯然，式(33)是一個沒有示性系數 i 的實數，其物理意義是：當時，表明四元聯系數的系統在微觀層次上的演化趨勢是正向趨勢；當時，表明四元聯系數的系統在微觀層次上的演化趨勢是負向趨勢；當時，表明四元聯系數的系統在微觀層次上的演化趨勢處在正負臨界狀態。

2.5 五元聯系數的偏聯系數

式(4)所示五元聯系數的偏聯系數計算原理同四元聯系數，但內容增多；為節約篇幅，以下直接給出五元聯系數中各階偏聯系數的定義(見定義9)：

3 反偏聯系數

4 偏聯系數算法研究的若干新思路

4.1 加權偏聯系數

北京師范大學研究生易測吉在2018年第6期全國偏聯系數專題高級講研班上提出，聯系數中不同層次的聯系分量之間的層次遷移，也可能存在一個聯系分量在一次層次遷移中，只有其中的一部分參與層次遷移的情況。經我們研究，基于易測吉思路形成的偏聯系數算法與第3章所定義的偏聯系數算法有不同，由這種新算法得到的偏聯系數是否可以稱為加權偏聯系數，待進一步研究。

4.2 基于相互作用的全偏聯系數

趙克勤在2018年第6期全國偏聯系數專題高級講研班上還講到聯系數中相鄰聯系分量以乘積形式表示的相互作用聯系數，基此情況，給定一個元聯系數，可以衍生出個元聯系數；元聯系數的階全偏聯系數，顯然是元聯系數的階全偏聯系數的細化，但其計算過程也較復雜，需要進一步研究。

最近，金菊良等[58]又提出效應全偏聯系數，并把其用于水資源評價，也需進一步研究。

5 應用舉例

例3 隨機抽取某廣播電視大學2016級行政管理專業30名學生7門課程成績(見表1)，試用偏聯系數計算這7門成績的提高趨勢，其中為應用寫作，為英語，為管理學基礎，為中國特色社會主義理論，為開放教育入學指南，為西方行政制度，為地域文化。

表1 30位學員x1～x7課程成績Table 1 30 students' x1～x7 course results

2)把上述五元聯系數歸一化處理，得：

3)按式(42)計算全偏聯系數，并對全偏聯系數的大小作出排序，得

6 討論

1)關于事物微觀運動的數學刻畫。眾所周知，客觀事物處于相互聯系和運動變化之中，如何定量刻畫事物的相互聯系和運動變化，是包括人工智能學者在內的眾多科技人員的研究課題。文獻[1-60]和本文的工作表明，基于集對分析理論的聯系數及其偏聯系數是定量刻畫事物相互聯系和運動的一個新數學工具，其理由：首先，偏聯系數把聯系數中的各個聯系分量不再看作相互獨立的量，而是假設成一定條件下相互生成的量，理論上，這種假設成立；其次，借助偏聯系數的算法，揭示聯系數中聯系分量的相互生成是在微觀層次上的一對矛盾運動，這也可以接受；因為哲學、物理學和無數事實告訴我們，矛盾普遍存在，運動成對進行，“作用力與反作用力大小相等，方向相反，作用在2個不同的物體上”已是一種科學常識；再次，偏聯系數著眼于事物的運動在微觀層次上的定量刻畫?？茖W史表明，牛頓的微積分在刻畫事物宏觀層次上的運動已取得巨大成功,但人們對事物在微觀層次上的運動觀測和測量則受制于海森堡的“測不準原理”；正是在這一點上，集對分析借助聯系數對不確定性“客觀承認、系統描述、定量刻畫、具體分析”[59]，使得基于聯系數的偏聯系數算法能夠刻畫出事物在微觀層次上的矛盾運動。當然，微觀與宏觀是一個相對的劃分，文獻[19]中指出，“在生物學中，全體是宏觀，個體就是微觀；個體是宏觀，細胞就是微觀；細胞是宏觀，基因就是微觀；在物理化學中，肉眼直接見到的是宏觀，要在顯微鏡下看到的是微觀；在低倍顯微鏡下看到的是宏觀，在高倍顯微鏡下看到的是微觀；在時間序列中，世紀是宏觀，年度就是微觀；年度是宏觀，月度是微觀，小時是宏觀，分鐘就是微觀；分鐘是宏觀，秒是微觀，如此等等”。

正是宏觀與微觀劃分的相對性，導致事物在宏觀層次上相對靜止的同時，在微觀層次上依然發生著細微尺度上的變化和運動，如實刻畫事物宏觀狀態的聯系數因而能借助偏聯系數的計算刻畫事物在微觀層次上的運動規律。

3)關于偏聯系數的生成機制和時態。在偏聯系數計算過程中，需要注意各階偏聯系數中各聯系分量的生成機制和時態。一般地說，用分式表示的某階偏正(負)聯系數中的聯系分量，其分子的狀態指過程完成時所處的狀態，分母的狀態則是過去進行時的狀態，例如三元聯系數，其一階偏正聯系數為

用同樣的道理可以合理地處置例3中五元聯系數的偏聯系數計算過程中遇到的“”如何運算的問題，例如，按式(34)，其一階偏正聯系數為學中被認為是一個無意義的式子(零不能作除數)，在高等數學中被認為是一個不確定式，但按前面的討論可知，分子是代表的，這個是當前狀態的，是確定的；分母中代表的也是確定的，分母中代表的雖然與代表的處在同一個層次，卻是一個在變化著的，按微積分思想，這個在變化著的0，本質上是一個以零為極限的無窮小量，由此可知分母實質上是。這一結果從問題本身的角度也說得通，因為說明當前狀態下，確實沒有出現60～70分之間的成績。同理，可以處置在計算

4)不難推知，第4章中有關加權偏聯系數和效應全偏聯系數的算法，以及基于相互作用的偏聯系數算法，要比第2章中介紹的偏聯系數基本算法復雜，由此推知反加權偏聯系數、反效應全偏聯系數、反相互作用偏聯系數的算法更復雜，限于篇幅，本文沒有展開介紹，特此說明。

5)偏聯系數算法是一種新的智能算法。首先，從信息利用的角度看，偏聯系數算法有效地挖掘了聯系數中聯系分量的動態信息，這種動態信息反映出聯系數所刻畫的研究對象的本質。因為客觀事物總是處于動態變化之中，某一時刻相對靜止的宏觀狀態與這種狀態在微觀層次上的變化趨勢共存在一個系統中是所有研究對象的共同屬性，借助聯系數的偏聯系數計算，能夠看到系統在宏觀靜態下的微觀動態，顯然是一種智能；其次，從系統的角度看，偏聯系數算法揭示了對象系統線性與非線性的關系，因為從形式上看，聯系數中的各個聯系分量可以有序地放置在一根水平軸上，具有明顯的線性特征，但式(6)～式(42)表明，偏聯系數所展示的圖象是一幅非線性圖象；再次，從人工智能技術創新的角度看，基于偏聯系數的聚類、模式識別、系統綜合評價決策與風險防控以及社交網絡中的隱私保護研究，也在一定意義上屬于智能技術的范疇，偏聯系數算法因而是一種新的智能算法，需要作深入系統研究。

6)運動需要能量，無論這種運動處在宏觀層次還是微觀層次。偏聯系數及其算法既然刻畫了聯系數中聯系分量之間的矛盾運動，人們自然會問，驅使這種運動的能量又是什么性質的能量？回答是“信息能”?！靶畔⒛堋笔勤w克勤在2015年7月在杭州舉辦的第3期非傳統安全集對分析研學班上提出的一個概念，認為信息是物質和能量相互作用的產物，信息具有能量，稱為信息能[15,60]。聯系數是刻畫研究對象某個特定狀態的一個信息系統，本身蘊含著一定的信息能，且具體蘊含在聯系數中聯系分量所在不同層次的系統結構中；偏聯系數及其算法在一定程度上開發了這種“信息能”，得到的結果讓人們從系統的一組宏觀狀態參數中認識和掌握這種狀態在微觀層次上的演化趨勢，從而把聯系數中的“信息能”在一定程度上轉化成“智能”；但更多關于“信息能”轉化成“智能”的問題待深入研究。

7 結束語

聯系數是一種結構函數，也是集對的特征函數，具有系統和數的雙重特性。偏聯系數是聯系數的一種伴隨函數，其計算過程和計算結果刻畫了聯系數中全體聯系分量在微觀層次上的相互聯系、相互制約和相互生成的矛盾運動，具有豐富的系統信息。本文從應用的角度梳理了二元到五元聯系數的偏聯系數計算，指出規范地計算一個聯系數的偏聯系數是得出正確結果的一個前提，文中給出的算法可以推廣到元聯系數的偏聯系數計算。此外，也簡要地介紹了近期有關偏聯系數的若干創新思路和創新算法。

數學是人工智能的基礎。偏聯系數是一個新的數學概念，由于人工智能面臨的實際問題眾多，偏聯系數計算又是一種新的信息處理算法，因而有許多問題需要作進一步的系統深入研究。