有關圓錐曲線衍生出的三個探究

徐季然　朱紅光

摘 要：該篇文章主要探究了在高中數學學習的過程中有關圓錐曲線切線問題衍生出來的三個不同角度的探究。探究一：切線方程的推導與證明;探究二：曲線的“半代入”;探究三：圓錐曲線方程與切線方程的復數形式及其初步應用。文章從切線的角度挖掘了圓錐曲線中幾何與復數的統一，思路新穎，角度獨特，以供參考。

關鍵詞：圓錐曲線;切線方程;不等式;復數

中圖分類號：O182

文章編號：2095-624X（2019）19-0079-03

一、探究一：切線方程的推導與證明

我們知道對于一般的圓錐曲線方程

C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0

（其中實數A，B，D，E，F滿足行列式| |≠0），

由熟知的結論有：

定理 過曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上任意一點（x0，y0）的曲線C1的切線方程為

C2：Ax0x+By0y+D—+E—+F=0

下面筆者就對該結論進行證明。

證明一： 聯立C1與C2的方程，有

{

若C2不垂直于x軸，消去y，經過大量的計算，得到一個關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，其中

{

其中{

下面計算△=b2-4ac

注意到點（x0，y0）在曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上，那么有Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0

并且注意到

2（Ax02+By02+Dx0+Ey0+F）=0

?S2+2BRx0+2BT=ES

?RS2+2BR2x0+2BRT=ERS

?2x0（AS2+BR2）=ERS-2BRT-DS2

?x0=—=-—

經過大量運算，得到

△=b2-4ac=0

∴此時C2為C1的切線。

若C2表示的是一條垂直于x軸的直線，那么有

∴R≠0，x=-—

且此時S=0.

∵點（x0，y0）在曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上，且點（x0，y0）的橫縱坐標代入C2方程也可以得到同樣的? ? 式子，

∴x0=-—=-—

化簡后利用S=0亦可檢驗上式是成立的。

∴將其代入方程后消去x，用類似的方法得到關于y的一元二次方程，經過大量運算，可以得到判別式

△=0

∴原方程組僅一組解{

∴此時C2為C1的切線.

綜上，原命題成立。

回看整個證明過程，可以說極其充分地體現了圓錐曲線這一部分知識的特色——對計算能力的要求較高。但是，仔細審查不難發現，上述證明不僅對思維和計算能力的要求高，過程也是不嚴謹的，上述證明對于一元二次方程ax2+bx+c=0中二次項系數是否為0沒有進行討論。下面筆者再提供兩個證明方法供讀者比較。

證明二： 若C2不垂直于x軸，將曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0看作一個關于y的隱函數（因為圓錐曲線有良好的對稱性也可以類似地進行分類討論），那么對該隱函數求導，有

∴2Ax+2Byy'+D+Ey'=0

若y=-—，可對四種不同類別的圓錐曲線進行單獨討論，易知此時均在圓錐曲線的頂點或端點處，發現原命題均成立，此處略去討論。

當y≠-—時，整理有y'=-—。

∴此時切線方程為y-y0=-—（x-x0），再運用Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0整理即得C2方程。

若C2表示的是一條垂直于x軸的直線，也可以類似地將其看作關于x的隱函數進行求導運算，可以得到此時C2為C1的切線。

綜上，原命題成立。

相比之下，這種方法要更顯自然而高明，計算量也減少了很多，但是這要求有較高的數學技巧，對于一般學生而言稍有難度。

證明三： 在學習了“推理與證明”這一章節后，我們對證明方法有了更系統的了解。對于這個問題正面入手較難，而根據“正難則反”，命題中又恰好包含唯一性的特征，我們自然而然想到反證法。

假設命題不成立，有

∵點（x0，y0）在曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上，

∴Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0

將點（x0，y0）的橫縱坐標代入C2方程也可以得到同樣的式子，

∴C2：Ax0x+By0y+D—+E—+F=0為C1的割線.

不妨設另一個不同的交點為（x1，y1）（x1≠x0），有

{

一個很自然的想法就是消去常數F.①+②-2×③，有

∴A（x0-x1）2+B（y0-y1）2=0

若AB≥0，那么一定可以導出矛盾，故原命題成立。

當AB<0時，該方程表示的是雙曲線，可類似地進行討論并導出矛盾，故原命題成立。

在筆者想出這個方法之后，筆者也咨詢過一些同學的意見和看法，普遍認為這是一種比較自然的想法，而且也免去了大量的計算。值得注意的是，這種方法對于四類圓錐曲線中任意一類都是適用的，但不同種類的曲線處理方法稍有不同，以雙曲線為例。

例1已知方程為—-—=1（a>0，b>0）的雙曲線上有一點（x0，y0），求證：過該點的雙曲線切線方程為—-—=1

證明： 對—-—=1為垂直于坐標軸的直線時的情況分別討論，發現均成立。

假設當—-—=1不垂直于坐標軸時原命題不成立，類似地，可設另一個不同的交點為（x1，y1）（x1≠x0），有

{

①+②-2×③并整理有

也即原點、點（x0，y0）、點（x1，y1）三點共線或—+—=0

分類討論：

（1）若原點、點（x0，y0）、點（x1，y1）三點共線，則原點也在—-—=1上，代入后明顯矛盾;

（2）若—+—=0，則由前面的討論和限制條件有

交叉相乘后移項即可推出矛盾。

故原命題成立。

二、探究二：曲線的“半代入”

我們把“探究一”中求圓錐曲線切線方程的方法稱為對原方程的“半代入”。因筆者水平和時間有限，這里簡要談談一類曲線的“半代入”，其他曲線的情況留給有興趣的讀者進行探究。

推論 曲線C3：Ax2n+By2n+Dxn+Eyn+F=0（A>0，

B>0，F≠0，n∈Z+）的一類“半代入”方程C4：Ax1nxn+By1nyn+D—+E—+F=0與C3不可能有三個橫坐標互不相同的交點[點（x1，y1）為C3上一點]。

證明： 反證法。類似“探究一”中的證明三，可以得到n為奇數時C3與C4僅有一個交點。當n為偶數時，設有三個互不相同的點，分別記為點（x1，y1）、點（x2，y2）和點（x3，y3），且令x2=-x1，所以只需推導出不存在這樣的點（x3，y3）即可。

∵n為偶數

∴Ax1nxn+By1nyn+D—+E—+F=Ax2nxn+ By2nyn+D—+E—+F=0

分別代入三組坐標至方程中可以得到六個式子：

{

將前三個式子左端相加減去后三個式子左端的和，再運用不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca，可得

∴x1n=x2n=x3n

即x3=x1或x3=x2與前提假設矛盾，故原命題成立。

對于曲線C3，還有一種可能的“半代入”方式為C5：Ax1nxn+By1nyn+Dx1—x—+Ey1—y—+F=0，但注意到該方程有變量范圍的限制，故不在此作過多討論，有興趣的讀者可以繼續探究。

三、探究三：圓錐曲線方程與切線方程的復數形式及其初步應用

法國數學家雅克·阿達馬曾說過：“在實數域中，連接兩個真理的最短的路徑是通過復數域。”足見復數在數學中地位之重要。但很可惜的是，據筆者的了解，高中生普遍對復數這一部分知識的重視程度不高。誠然，高考對復數的考查要求不高，但筆者認為復數的運用確實能在很多實域范圍內研究的問題當中收到意想不到的結果。

在較高的觀點下，我們不加推導地給出一般圓錐曲線方程與其切線方程的復數形式。

引理 復平面上曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0對應的復數方程為—（z+z）2+—（z+z）2+—（2z+2z）+—（2z-2z）+ F=0，其切線方程也遵循“半代入”的形式，將若z0滿足上述方程，將z=z0“半代入”后，即得到切線方程為：

—（z0+z0）（z+z）+—（z0-z0）（z-z）+—（z0+z0+z+z）+—（z0-z0-z-z）+ F=0

事實上，從復數的幾何意義出發，也不難理解上式的合理性。

為什么要引出復數呢？很重要的一個原因就是復數的運算具有良好的性質，現舉例說明。

例2已知在平面直角坐標系xOy中，點A為單位圓上的一個動點，過點A作橢圓2x2+3y2=1的兩條切線，切點分別記為點M和點N。點P為直線MN上一點，聯結OP。若射線OA與x軸正半軸逆時針旋轉θ角后重合，試證明：|OP|≥—

解：在復平面上考慮該問題。由題目條件可設點A所對應的復數為z0=cosθ+isinθ對橢圓所對應的復數方程進行“半代入”，則有

∴直線MN所對應的復數方程為（cosθ-—isinθ）z+ （cosθ+—isinθ）z=1

由復數的三角不等式即可得到

∴2|（cosθ-—isinθ）||z|=|（cosθ-—isinθ）z|+|（cosθ+—isinθ）z|≥|（cosθ-—isinθ）z+（cosθ+—isinθ）z|=1

即等價于要證的結論。

筆者在這里留兩道練習題供大家比對復數法和傳統方法在實際應用中的差異。

練習 已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓方程為—+—=1（a>b>0），過橢圓外一點P（x0，y0）作橢圓的兩條切線，切點分別記為點M和點N。若直線MN上存在一點Q，使得|OQ|=1，試證明：—+—≥1。

提示：“半代入”后利用方程中存在一個復數z使得|z|=1，再利用三角不等式即可得證。

限于篇幅以及筆者水平，筆者不在這一方面進行更進一步的探究，謹以此文拋磚引玉，也十分歡迎諸位讀者與筆者進行深入探討。

參考文獻：

[1]哈爾濱工業大學數學系，包革軍，邢宇明，等.復變函數與積分變換（第三版）[M].長沙：科學出版社有限責任公司，2017.

[2]黃利兵，陸洪文.數學奧林匹克命題人講座：解析幾何[M].上海：上海科技教育出版社，2010.

[3]張曉東.有心圓錐曲線的一類復數方程[J].齊齊哈爾師范學院學報（自然科學版），1988（4）.

作者簡介：徐季然（2002—），男，江蘇連云港人，深圳外國語學校高中二年級在讀。

指導老師：朱紅光（1980—），女，河南安陽人，中學一級教師，碩士，研究方向：數學教學。