空溝隔振對瑞利波傳播影響的理論研究

2019-11-08 08:06:20姚錦寶胡敬梁

鐵道學報 2019年10期

姚錦寶,胡敬梁

(北京交通大學土木建筑工程學院, 北京 100044)

軌道交通對環境的影響主要表現為噪聲和沿地基傳播的振動，其已被列為七大環境公害之一[1]。地鐵列車運行持續時間長且頻繁，運行期間引起的地面及建筑物的振動所持續時間可達到地鐵每天總運營時間的15%～20%[2]；試驗研究表明：振動強度越高，對人們的影響也就越大[3]。

對列車引起環境振動的隔振研究中，常以采取屏障隔振措施后的地表振動問題研究為主。比較常見的傳播路徑上隔振措施有空溝、填充溝及隔振屏障。Woods[4]通過試驗手段，研究了空溝的隔振效果；Tulika等[5]采用3D有限元模型，分析了空溝和填充溝關鍵參數的隔振效率，得到溝槽幾何和材料特性的最佳值；Adam等[6]采用數值方法，分析了空溝及填充溝的隔振特性；高廣運等[7]理論分析了多排樁隔振屏障對Rayleigh波的多層驅散問題；馮牧等[8]將實測和數值模擬相結合, 分析了隔振溝對地鐵周邊建筑物的隔振效果；Coulier[9]采用實測和數值分析相結合的方法，研究了土體中的剛性介質對波的傳播影響；Yang等[10]運用2.5維方法，分析了開放式和填充式溝槽對鐵路沿線建筑物的隔振效果。此外，馮桂帥等[11]采用實測與模型試驗方法，比較了典型的隔振屏障，如填充溝、空溝及排樁等的隔振效果。

運行列車引發的土體振動中，相對于瑞利波而言，體波衰減較快，未衰減的瑞利波占比仍然很大。研究表明，環境振動中，瑞利波占比達67%[10]，因此，研究屏障隔振對瑞利波的衰減規律較有實際意義。對于空溝的隔振效果，過去多采用數值分析和現場試驗的研究方法，鮮有采用理論解析的方法。本文采用理論解析方法，研究了空溝對瑞利波的隔振效果。

1 空溝對土體振動隔振理論研究

振動在彈性介質中的傳播過程稱為彈性波。振動會在彈性體界面產生表面波，瑞利波是最常見的表面波。列車引起土體的振動，常以瑞利波形式在地表面上向遠處傳播。

1.1 瑞利波的傳播與衰減

瑞利波主要位于土體自由表面下0.15λ～0.2λ(λ為波長)深度處，在水平及豎向兩個方向產生運動，并有明顯的振動軌跡分界線，分界線上部質點的運動呈后退橢圓形，豎向運動一般滯后于水平運動，如圖1所示。

在均勻各向同性的自由半空間中，可以計算瑞利波的豎向和水平向位移振幅歸一化值。

作用于原點的集中簡諧荷載為f(t)=Peiωt(P為幅值)，當拾振點與振源相距較大時，瑞利波對波場豎向位移和水平位移貢獻[12]可表示為

(1)

1.2 彈性波在變截面區域的反射與透射

簡諧集中荷載作用在土體自由表面時，其表現形式為柱面波；傳播距離較大時，波陣面接近于水平面。

在頻域內，土體的振動響應雖為3維，但由于在垂直于軌道方向上，任意兩截面的動力響應，會因為位置不同存在一個相位差。由此，可將3維響應問題減少為2.5維問題，對任一截面的動力響應，進行離散求解。

遠場的空溝隔振示意見圖2，其截面為矩形，主要參數有溝深、溝寬、振源與溝內側邊緣距離。

圖2 空溝隔振示意

波動在兩種介質分界面上的反射和透射見圖3。兩個均勻、各向同性彈性半空間在分界面上相互連結。假定平面波自下向上入射，設入射波為剪切波，根據分界面連續條件，可以確定反射波與透射波。

圖3 介質分界面的反射與透射

位移的入射、反射和透射系數分別為

(2)

(3)

式中：KI、KR、KT分別為入射系數、反射系數、透射系數；α為上部介質波阻抗與下部介質波阻抗的比值；uI、uR、uT分別為入射波、反射波、透射波位移。

式(2)、式(3)中，界面兩側的面積相同；當空溝存在時，空溝底部犄角處界面兩側的截面不同，阻抗計算需考慮面積的影響。

瑞利波沿自由表面傳播，振動隨深度快速衰減，在無窮深處，位移趨于零，即大部分振動能量分布在地表以下大約1.5λR深度范圍內(λR為瑞利波波長)，1.5λR深度以外的振動響應很小，本文忽略不計。空溝底部犄角處的設置見圖4，圖4中：h、w分別為溝深、溝寬，溝長取單位長度；I1、I2分別為不同界面的入射波。

圖4 溝底犄角處反射與透射

考慮截面面積，阻抗α=ρ2c2A2/ρ1c1A1，ρcA在不同文獻中有不同的解釋。楊桂通等[13]研究了桿性質突變處的反射和透射；黎在良等[14]對兩種介質內界面的反射和透射做了闡述；王從約等[15]在研究應力波在非均質變截面桿中傳播問題中，定義ρcA為聲阻抗。

1.3 空溝傳播路徑的公式推導

圖5 瑞利波沿地基及空溝傳播二維示意圖

(4)

式中：cR、λRj分別為瑞利波的波速與波長。

在二維平面內，瑞利波沿空溝和空溝外側土體自由表面位移的推演過程如下：

(1)OA段

OA段的位移包括兩部分，一部分為來自振源的入射波，另一部分為入射波經左側空溝壁反射產生的反射波。對于地表上空溝內側任意點，反射波相對于入射波，需要考慮時間和傳播距離引起的相位差。反射波引起的位移為

(5)

當時間t≥(2dR-y)/cR時，OA段地表總位移等于入射波與反射波疊加響應，轉角A點的位移為

(6)

當空溝的埋置深度足夠大，入射波遇空溝內側壁反射，振動的絕大部分沿原路返回，OA段入射波與反射波疊加時，產生的響應接近于入射波在無空溝時相同位置相應的2倍。

(2)AB段

振動通過邊緣A沿AB段往下傳播相對于交界面BE的入射波包括兩部分：瑞利波沿AB段傳播引起的位移和在z=h水平方向上向右傳播在AB上引起的位移；兩者考慮因時間和距離產生相位的條件下進行疊加計算，即得到相對于交界面BE的入射波，即

(7)

(3)BC段

在分界面BE處，根據式(3)得到的連續條件，瑞利波過點B后，沿空溝底部自由表面傳播，對于分界面CF而言是入射波，根據分界面的反射與透射得出

(8)

(4)CD段

根據分界面CF處的連續條件，采用與界面BE相同的處理方法，得出CD段上相對于界面CF的入射波，即

(9)

(5)DG段

沿空溝外側溝壁豎向段CD傳播的瑞利波，位移隨深度的增大而衰減；同時，沿垂直于空溝外側溝壁CD以下某一深度的水平和豎向位移在該水平位置沿z軸負方向傳播，與土體自由面上DG段相遇后產生反射波的同時，沿DG段傳播，引起空溝外側土體自由表面的振動。

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波在過D點沿DG傳播過程中，CD上質點的豎向振動轉變為DG的水平振動，CD上質點的水平振動轉化為DG段的豎向振動。O點簡諧荷載在DG段引起的豎向位移和水平位移為

(10)

瑞利波隨深度的增加快速衰減；當溝深大于1.5λR波長時，式(10)中的第二項與第一項相比可忽略。

1.4 多點激勵下位移計算

如圖6所示，地表上任一拾振點P的振動響應，可認為是由多個集中簡諧荷載的疊加，需要同時考慮時間和位置兩個因素引起的相位變化，圖中d為荷載列的距離[17]。

圖6 多個豎向簡諧荷載疊加示意

若激振點處的作用力時程曲線f(t)呈非周期性變化，可以對其進行快速傅里葉變換(FFT)，得到的一系列周期性集中簡諧荷載的疊加。

振源列中除O點以外其他位置的激振點fk(t)在DG段引起的豎向位移uz和水平位移uy為

(11)

2 有無空溝時遠場土體地表響應的對比

根據以上理論推導，討論在有無空溝的工況下，土體表面上任一點(空溝外側，無溝時為相應的對應點)的振動響應對比。

地基表面瑞利波速為75 m/s，空溝內側邊緣與O點處激振點的距離dR=25 m，空溝埋深h=4 m，溝寬w=1 m，拾振點距離空溝外側邊緣的距離分別為l=2、4、6、8、10 m(分別對應無空溝地基上與振源的距離d=28、30、32、34、36 m)。施加的豎向荷載為周期性簡諧荷載，P=8 kN，頻率ω變化設定為1、5、10、…、35、40 Hz，此次計算不考慮相位變化。空溝的加載模型見圖7。