基于Lyapunov 直接法的虛擬同步發電機并網暫態穩定性分析

高 振，雷為民，趙 峰，劉 輝，程雪坤，巨云濤

（1.中國農業大學信息與電氣工程學院，北京 100083；2.國網冀北電力有限公司，北京 100053；3.國網冀北電力科學研究院（華北電力科學研究院有限責任公司），北京 100045；4.國家電網公司風光儲并網運行技術實驗室，北京 100045）

0 引言

風力、光伏等新能源在我國發展迅猛，據全球風能理事會發布的《全球風電報2017》數據顯示，截止2017 年底，中國新增風電裝機容量為19.66 GW，排名全球第一。我國已經成為世界新能源技術發展最快、規模最大的國家。與此同時，我國將對深遠海發電技術進行深入研究，深遠海發電將會是100%的新能源發電。

然而，新能源并網也會帶來一些問題，高比例接入后會使得電網調節能力下降和增大系統運行風險。在此背景下，VSG（虛擬同步發電機）技術應運而生。VSG 技術通過在新能源機組變流器控制環節中模擬同步機的運行機制，使新能源發電設備具備主動支撐電網的能力[1-2]。但是，VSG 并網運行后，因其具有電流限幅、阻尼大等特性，對電力系統的穩定性產生的影響較復雜。并且，隨著新能源的滲透率越來越高，對VSG 并網穩定性的深入研究意義重大。

VSG 模型主要包括兩大部分，一部分是主電路；另一部分是控制系統[3-5]。主電路模型為常規的并網逆變器拓撲；控制系統主要包括VSG 的主體模型和控制方式，是VSG 的核心。目前，VSG主體模型以模擬同步發電機經典的二階模型為主。對于控制方式的研究，主要集中兩個方向，一是有功-頻率控制；二是無功-電壓控制。

有功-頻率控制是目前大多數VSG 技術采用的控制方式，文獻[6]在有功-頻率下垂表達式中，加入了無功功率項，同時，引入了有功功率和無功功率的微分項，這樣既保證了系統的穩態特性，又改善了系統的動態特性，進而增強了并聯運行VSG 的功率分配能力和環流抑制能力。文獻[7]進一步提出在微電網孤島運行時，將VSG 分為2 類，一類是非調頻發電單元，按照功率調度指令發電并且參與一次調頻，能夠緩解系統頻率在擾動情況下的波動；另一類是調頻發電單元，利用二次調頻來實現頻率的無差控制，同時為微電網提供參考電壓。在頻率穩定性方面，文獻[8-9]提出平抑VSG 功率振蕩的方法，其主要原理是將VSG 有功功率傳輸方程線性化，從而引入線性控制理論，同時將阻尼因子和轉角偏差解耦，進而抑制有功功率的振蕩，保證頻率穩定。

無功-電壓控制是為了模擬同步發電機的勵磁調節功能，用以調節VSG 輸出電壓幅值的大小。目前，多采用無功功率與電壓幅值下垂控制的方法。文獻[10-11]提出一些改進后的下垂控制方法，改進后的下垂控制方法同樣適用于VSG的無功-電壓控制，并且能夠獲得更好的控制效果。文獻[12]提出通過指令修正的方法來控制VSG輸出電壓恒定不變。在VSG 無功-電壓控制中，有時會出現無功功率波動現象，其主要原因是由于欠阻尼特性過于明顯。針對該現象，文獻[13]提出一種VSG 非線性阻尼控制器，可有效抑制系統的低頻振蕩以及維持VSG 電壓穩定。

然而，由于虛擬同步發電機與傳統的同步發電機并不完全相同，也需要對虛擬同步發電機接入電網后的穩定性問題進行研究。文獻[14]對虛擬同步發電機技術已有的技術方案進行了簡要的總結和對比，指出了VSG 并網可能會產生的穩定性問題。

分析電力系統暫態穩定的方法主要有時域仿真法和直接法，也有一些其他的方法例如混合法、擴展等面積法等，但其都是在前2 種方法的基礎上引申出來的。

目前，針對虛擬同步發電機并網后系統的暫態穩定性研究較少。文獻[15]指出，在每個振蕩環節中通過選擇適當的轉動慣量值來控制加速和減速過程，并更進一步提出了負慣性的概念，其在改善系統頻率穩定方面效果顯著。文獻[9]利用李雅普諾夫能量函數法驗證了文獻[15]所提方法的可行性，為該方法提供了理論支撐。文獻[16]建立了電壓型虛擬同步發電機模型和電流型虛擬同步發電機模型，對虛擬同步發電機的參數以及位置進行了優化，同時對比了2 種虛擬同步發電機模型及低慣量模型暫態穩定性。文獻[17]針對包含虛擬同步發電機的多機系統提出了一種基于PSO（粒子群算法）的虛擬同步發電機控制參數優化方法。文獻[18-20]分析了計及電流限幅特性對虛擬功角曲線的影響，進而分析了電流限幅特性對逆變器的暫態穩定性的影響。研究結果表明，VSG并網后，系統在遭受到大擾動時會出現暫態失穩現象。因此，分析VSG 并網后系統的暫態穩定性具有一定研究價值。

本文搭建的VSG 模型，計及虛擬阻抗、電流限幅環節以及電流內環控制，比只考慮有功控制和無功控制的傳統VSG 模型更加準確。同時，本文采用直接法對接有VSG 的單機無窮大系統進行暫態穩定分析，并通過時域仿真的結果驗證其準確性。利用直接法對接有VSG 的四機兩區域系統的暫態穩定性進行分析。

1 虛擬同步發電機的數學模型

本文搭建的連接到三相網絡的VSG 模型如圖1 所示，包括PWM（脈沖寬度調制）環節將功率從直流側傳輸到交流側，RLC 濾波環節來減小電壓和電流的波動。VSG 控制方式大致可分為五部分，有功控制環節、電壓控制環節、虛擬阻抗控制環節、電流限幅環節以及電流內環控制環節。有功控制用來模仿傳統同步發電機的機械轉子運動，電壓控制用來調節VSG 的輸出電壓幅值，虛擬阻抗控制環節用來跟蹤VSG 的電壓參考指令，電流限幅環節對電流進行幅值限制，電流內環控制環節可以增加VSG 控制系統的動態響應速度。

圖1 VSG 主體控制框圖

整個系統的狀態方程是在三相電網的公共參考系上表示的。為了計算和分析方便，進行派克變換，如圖2 所示。派克變換所需要的δ 是VSG相對于公共參考系的轉換角度，定義為功角：

式中：ω 為VSG 的虛擬轉速。

圖2 坐標變換示意

VSG 有功控制的框圖如圖3 所示，其轉動方程為：

圖3 VSG 有功控制框圖

式中：J為虛擬慣量；Dp為阻尼系數；ωb為參考轉速，可由式ωb=2πfn算出；Tset為人為設定轉矩，由Tset=Pset/ωb計算得到；Tm為輸出轉矩，由式（3）計算得到：

式中：，s為微分算子，，即有功功率先經過一個低通濾波器環節。

VSG 電壓控制框圖如圖4 所示，其方程為：

式中：Vd為VSG 輸出電壓的d軸分量；Vm為電壓參考值；kpvac，kivac分別為比例環節和積分環節的系數。

圖4 VSG 電壓控制框圖

根據文獻[5]提出的同步逆變器的電磁模型，本文做出一些簡化，表示為：

式中：e為輸入到虛擬阻抗控制中的電壓三相參考值。

利用式（5）得到的電壓三相參考值與VSG 有功控制輸出的角度，進行d-p變換，計算出參考電壓值的d-q分量，即Vdq0ref，輸入到虛擬阻抗控制中。

虛擬阻抗控制框圖如圖5 所示，其公式為：

式中：Vd，Vq為VSG 輸出電壓的d-q分量；Vdref，Vqref為由有功控制與電壓控制得到的參考電壓的d-q分量；Id，Iq為VSG 輸出電流的d-q分量；為經濾波后參考電流的d-q分量；kpv，kiv分別表示比例和積分環節的系數；n和kffi表示比例系數；C為電容值。

圖5 VSG 虛擬阻抗控制框圖

電流限幅環節采用d軸電流優先限幅的方式，其公式為：

式中：Idmax為d軸電流最大值；為經過限幅環節后參考電流的d-q分量。

電流內環控制框圖如圖6 所示，其公式為：

式中：為VSG 控制輸出參考電壓的d-q分量；Ids，Iqs為經過濾波后電流的d-q分量；kpi，kii分別表示比例和積分環節的系數；n和kffv表示比例系數；L為電感值。

圖6 VSG 電流內環控制框圖

VSG 無功功率的約束方程為：

2 能量函數的建立

在建立系統暫態能量函數之前，先結合等面積法則對系統暫態穩定性進行簡要分析。

圖7 為分析接入VSG 單機無窮大系統暫態失穩機理的虛擬功角曲線圖。由圖7 可知，當人為設定功率為P0時，虛擬同步機穩定運行于圖7中的A 點。當系統遭受三相故障擾動時，外界電壓由于故障而跌落（假設＜P0），虛擬同步機電流發生飽和，其運行點將從非飽和虛擬功角曲線上的A點切換到故障下飽和虛擬功角曲線上的點，虛擬同步機將沿著故障曲線運動，此時系統功率不平衡，根據式（2）可知，虛擬同步機的虛擬轉速增大，虛擬功角不斷增大，圖7 中的灰色面積表示加速面積。

若當虛擬同步機運動到時故障切除，則其運行點將切換到故障切除后飽和虛擬功角曲線上的E點，此時由于虛擬同步機的動能仍大于0，其虛擬功角將繼續增大并進入減速區域，圖7 中黑色面積表示減速面積。

圖7 虛擬同步發電機的虛擬功角曲線

若運動到D點時虛擬同步機的動能未減少到0，即加速面積大于減速面積，虛擬同步機將入不穩定區域進而發生虛擬功角暫態失穩；若在運動到D點前可以減速到0，則之后虛擬同步機將沿著藍色曲線減速到O點，并退出電流飽和，再進一步運動到原來的穩定平衡點A。

由上述分析可知，虛擬同步機在暫態過程中必須有足夠大的減速區域以使其減速，使之穩定到原來的平衡點A。

2.1 接有VSG 的單機無窮大系統

圖8 為接有VSG 的單機無窮大系統的示意圖，故障為2 條線路的其中1 條線路發生三相接地短路。

圖8 單機無窮大系統

本文使用的VSG 模型計及電流限幅、大阻尼等特性，同時其為二階模型，所以采用首次積分法構造系統的暫態能量函數。首次積分法需要滿足的條件是：

當不計及阻尼時，系統偏保守，文獻[19]詳細介紹了其暫態能量函數的構建過程。然而，VSG的阻尼較大，不能省略，因此當計及阻尼時，阻尼項就合并到暫態能量函數中[20]，得到單機無窮大系統的暫態能量函數：

式中：X∑為故障切除后系統的視在電抗；0≤λ≤1；第一項表示VSG 虛擬轉子動能；第二項表示磁性勢能和耗散勢能；第三項表示位置勢能；第四項和第五項表示虛擬阻尼消耗的能量。

臨界能量Vcr定義為系統處于不穩定平衡點時以穩定平衡點δs點為參考點，系統所具有的勢能。根據定義以及式（14），有：

式中：ωu為故障切除后系統不穩定平衡點處VSG的虛擬轉速；δu為故障切除后系統不穩定平衡點處的功角值。

由此，可得出直接法分析接入VSG 單機無窮大系統暫態穩定性的一般步驟：

（1）故障未發生，即穩態時，進行潮流計算，求出系統在穩態時各物理量的值。

（2）故障切除時，求出系統此時的（δc，ωc）。

（3）在故障切除后，分別求出系統的穩定平衡點處的（δs，ωs）以及不穩定平衡點的（δu，ωu）。

（4）將求得的（δc，ωc）和（δs，ωs）帶入到式（14），求出系統在故障切除時的系統總能量Vc。

（5）將求得的（δu，ωu）和（δs，ωs）帶入到式（15），求出系統的臨界總能量Vcr。

（6）進行暫態穩定判定，依據如下：當Vc＜Vcr，則系統穩定；反之，則系統不穩定；Vc=Vcr時，系統為臨界狀態。

（7）根據步驟（1）得到的系統故障前的各物理量的值，以此為故障時系統的初值，對故障后系統的運動方程在時間上進行積分，計算每個步長的系統的Vc，直到Vc=Vcr，此時的時間即為臨界切除時間。

2.2 接有VSG 的多機系統

多機系統的能量函數建立與單機無窮大系統的能量函數建立過程相似，接入的VSG 依然是二階模型，所以同樣采用首次積分法構造多機系統的暫態能量函數。但是由于多機系統含有多個發電機，且拓撲結構更加復雜，其系統方程的表示更加復雜，暫態能量函數的復雜程度也增加很多。多機能量函數確立的步驟為：

（1）消去網絡所有的中間節點和負荷節點以及發電機的機端節點，得到只剩下發電機內節點的降階節點導納矩陣。

（2）在系統COI（慣量中心）坐標下書寫多機系統的轉子運動方程。

（3）在多機系統轉子運動方程的基礎上，確定多機系統的暫態能量函數。

（4）重復分析單機無窮大系統暫態穩定時的步驟（1）到步驟（7）。

于是得到多機系統的暫態能量函數：

式中：；Dpi為每個發電機的阻尼系數，EiEjBij=Cij，EiEjGij=Dij；表示系統在COI 坐標下的各發電機包括VSG 的功角以及轉速。

式（16）中右側第一項為多機系統中發電機包括VSG 的轉子動能；第二項為位置勢能以及阻尼所消耗的能量；第三項為磁性勢能；第四項為耗散勢能。

對于多機系統臨界能量計算，求取方法與單機無窮大系統相同，同樣認為系統不穩定平衡點（δu）處的勢能是臨界能量的近似值。計算方法是，把式（12）表達式中的換成，取Vcr≈即可。

3 算例分析

對如圖8 所示的接有VSG 的單機無窮大系統采用直接法進行暫態穩定分析。結合時域仿真的結果以及暫態能量函數的表達式，求出系統故障切除時總能量Vc以及臨界能量Vcr，并用時域仿真的結果驗證直接法的準確性。

當故障切除時間為0.4 s 時，時域仿真的結果顯示系統穩定，并且得到故障切除時有（δc，ωc）=（1.7，5.919 3），故障切除后系統的穩定平衡點處（δs，ωs）=（0.461，1）以及故障切除后系統的不穩定平衡點處（δu，ωu）=（2.68，1），根據直接法分析接入VSG 單機無窮大系統暫態穩定性步驟（4）得出故障切除時系統的總能量為0.822 p.u.，根據單機無窮大系統暫態穩定時的步驟（5）求出系統的臨界能量為0.844 p.u.，0.844＞0.822，所以系統穩定，與時域仿真結果相同。并且，求出故障切除時間為0.41 s 時，系統的總能量約為0.844 p.u.，與臨界能量相同，即臨界切除時間為0.41 s，與時域仿真得出的臨界切除時間相同，驗證了直接法對系統分析暫態穩定性得準確性。

接著，對接入VSG 的四機兩區域系統通過直接法進行暫態穩定性分析。VSG 接在送端時，系統接線圖如圖9 所示。

圖9 VSG 接在送端的四機兩區域示意

在1 s 時，系統的7 節點與8 節點的一條線路上發生三相接地短路，故障持續0.1 s。

觀測4 個同步電機以及VSG 的端電壓。由圖10 可知，系統較為穩定。根據時域仿真的結果，帶入到多機暫態能量函數表達式中，求出系統的臨界能量為1.822 1 p.u.。

圖10 VSG 接在送端的各發電機端電壓波形

VSG 接在受端時，系統接線如圖11 所示。同樣，在1 s 時，系統的7 節點與8 節點的一條線路上發生三相接地短路，故障持續0.1 s。

圖11 VSG 接在受端的四機兩區域

依然觀測4 個同步電機以及VSG 的端電壓。由圖12 可知，系統出現振蕩現象。根據時域仿真的結果，帶入到多機暫態能量函數表達式中，求出系統的臨界能量為0.209 4 p.u.，小于1.822 1 p.u.。

因此，可以得出VSG 接在送端，系統穩定性較高；而接在受端，系統的穩定性較低。

圖12 VSG 接在受端的各發電機端電壓波形

在VSG 接在送端的情況下，增加VSG 的占比，由原來的280 MW 增加到420 MW，觀測4個發電機及VSG 的端電壓，研究VSG 的占比對系統暫態穩定性的影響。

將2 種不同VSG 占比情況進行對比，實線表示VSG 占比為280 MW，虛線表示VSG 占比為420 MW。由圖13 可知，增加VSG 的出力，發生擾動之后，各發電機包括VSG 的端電壓的第一擺幅度都變大，系統更容易失穩。根據暫態能量函數表達式，求出此時系統的臨界能量為1.023 0 p.u.，小于1.822 1 p.u.，驗證了時域仿真結果的正確性。

圖13 VSG 接在送端不同占比各發電機端電壓波形對比

4 結語

本文在已有的VSG 模型的基礎上，添加虛擬阻抗環節、電流限幅環節以及電流內環控制環節，搭建的VSG 模型準確性更高。同時，本文計及VSG 電流限幅、大阻尼等特性，采用Lyapunov直接法對接入VSG 的單機無窮大系統以及四機兩區域系統進行了暫態穩定分析。首先，應用時域仿真結果驗證了直接法分析單機無窮大系統暫態穩定的正確性；其次，使用直接法對VSG 接入四機兩區域系統送端與受端不同情況進行暫態穩定分析，得出VSG 接在受端比接在送端更容易使得系統失穩；最后，對于VSG 接在送端的情況，增加VSG 的占比，發現增加VSG 的占比會使得系統更容易失穩。