復變函數論中積分計算的教法研究

楊孝英

（長春工業大學，吉林 長春 130012）

關鍵字：復變函數積分；教學方法；教學實踐

復變函數論作為數學學科的一個重要分支，在數學的其他分支（如微分方程、概率論）以及其他學科（如流體力學、理論物理）有著重要的應用。復變函數論已經成為理工科專業的一門重要的基礎課程。復變函數的積分是復變函數論的主要內容之一。復變函數的積分是研究解析函數的一個重要工具，解析函數的很多性質都是通過復變函數的積分證明的。對于復變函數的積分的學習主要掌握兩個方面：一是對復變函數積分的定義的理解；二是如何利用不同的積分計算公式來計算積分。

一、通過類比的方法深入的理解復變函數的積分

復變函數是高等數學的后續課程之一，在復變函數的教學過程中，通過和高等數學的相關知識點進行類比，找出相同點和不同點。不僅可以激發學生自主學習的熱情還可以促進學生更好的理解復變函數的相關內容。分析比較這兩門課程的內容之間的聯系和不同，不僅可以為復變函數相關內容的學習提供參考，更重要的是，學生從比較中認真研究了復變函數的相關知識點。這樣的教法思路和課堂教學方法真正達到了學生和教師的互動，提高了課堂教學效果。在復變函數的課堂教學過程中，教師可以把與本次課堂相關的高等數學的知識點作為復習內容，然后再引導學生學習復變函數的新的知識點，類比相同點，重點強調不同之處。例如，復變函數的極限的定義和單變量的實變函數極限的定義在形式上完全一致，這是相同點；而復變函數的極限要求變量沿著任意方向趨向與固定點的極限都存在且相同。顯然復變函數極限的要求更高，這是與高等數學中極限概念的不同點。在教學過程中，重點指出這個不同點。這樣做的主要目的是為了避免學生照搬高等數學的內容、理解錯誤等情況的發生。

從復變函數積分的定義來看，和實積分一樣，都是分割、取近似值、求和、取極限的思路。復變函數的積分建立在復平面上，相當于兩個二元的實積分，保持了實積分的大部分性質，如線性性、絕對值不等式、連續必可積等。而黎曼積分中的牛頓-萊布尼茲公式在復變函數積分中，只是對于解析函數在單連通區域上才成立。實函數的積分中值定理不能直接推廣到復變函數的積分上來。在復變函數積分的計算方法上，解析函數的積分計算更加靈活多樣。在課堂教學的過程中，通過與高等數學內容的類比，指出相同點，重點強調不同之處。充分調動學生的積極性，培養學生的自學能力。

二、合理的使用積分公式計算復變函數的積分

復變函數的積分一般通過以下幾種方法來計算：1.積分的定義，化積分曲線為參數方程進而計算積分；2.牛頓-萊布尼茲公式；3.公式其中n 為正整數，c為以z0為圓心，r 為半徑的圓周；4.柯西積分定理；5.復合閉路定理；6.柯西積分公式和高階導數公式；7.留數定理。對于這些公式如何使用，具體的問題應該選擇哪個公式來計算，這是學生經常提出的問題。

方法1 和方法2 一般是用來求解當積分曲線為不封閉曲線的積分。當被積函數解析并且很容易求出原函數的時候，使用方法2 計算積分，否則使用方法1。

當積分曲線為封閉曲線，一般使用方法3 至方法7 來計算。其中方法3 和方法4 是比較簡單的情形，在計算復變函數積分時，首先判斷是否滿足這兩種方法的條件，如果滿足直接套用公式即可。如果不滿足這兩種方法的條件，我們進一步判斷被積函數在積分曲線所圍成的區域內部不解析點的個數。如果只有一個不解析點，考慮使用方法6；如果有多個不解析點，使用方法5 或者方法7。方法5 和方法7 有什么區別？如何判斷使用哪個方法計算積分更簡單？這是在復變函數積分教學中經常使學生感到困惑的地方。

如果被積函數具有或者可以化為形式：

其中z1，z2，zk為被積函數f(z)在積分曲線c 的內部的不解析點，g(z)在曲線c 上及其內部是解析函數。此時選擇使用方法5。例如計算積分，其中曲線c 為包含了0 和1的簡單正向閉曲線。此問題由于被積函數的兩個不解析點：0和1 都在積分曲線c 的內部，并且可化為形式?(1)。因此，在曲線c 的內部分別以0 和1 為圓心做兩個互不相交也互不包含的正向圓周，然后使用方法5 計算該積分。此問題也可以利用方法7，先計算在不解析點處的留數，然后利用公式得到積分的值。

如果被積函數在積分曲線c 的內部有多個不解析點，但是不具有(1)的形式，使用方法7 計算積分。例如計算積分，被積函數在曲線│z│=5 內有四個不解析點，并且在這四個點處的留數都為-1，由方法7 可知，此積分的值為-8πi。因此，復變函數的積分計算可以選用不同的計算公式，在課堂教學過程中必須分析每個計算公式的適用范圍，以及采用不同方法計算同一個復變函數積分的優劣。

三、利用Matlab 編程計算復變函數的積分

對于復變函數積分的計算，在理解了積分計算的理論知識之后，可以讓學生將這些抽象的概念和繁瑣的計算用Matlab 來實現。例如用留數定理來計算積分，此時直接調用Matlab 信號處理工具箱中的函數residue 來計算留數，進而計算積分的值。還可以用符號運算來編程計算。這么做不僅可以把復雜的復變函數的理論進行了教學實踐，還可以激發學生學習這門課程的積極性，從而達到了更好的教學效果。