原函數存在性及變上限定積分的可導性研究

王志武,王希超

原函數存在性及變上限定積分的可導性研究

王志武,王希超

山東農業大學信息科學與工程學院, 山東 泰安 271018

原函數和定積分是高等數學中的重要概念和基本內容。本文以閉區間上的函數為例，著重探討了函數在存在有限個第一或第二類間斷點的情況下，原函數的存在性，以及變上限定積分的存在性，此時原函數與函數的變上限定積分的關系。

原函數; 變上限定積分; 間斷點; 連續; 可積

1 函數原函數的存在性

定理2若函數()在閉區間[,]上有定義,且只存在有限個第一類間斷點或無窮間斷點,則()在[,]上不存在原函數.

（1）當0為()的可去間斷點時,(- 0)=(+ 0)≠(0);

（2）當0為()的跳躍間斷點時,(- 0)≠(+ 0);

（3）當0為()的無窮間斷點時,(- 0)與(+ 0)至少有一個為無窮.

以上均與?(0)=(0)矛盾，所以函數()不存在原函數.

當()在閉區間上只有有限個振蕩間斷點時,()的原函數可能存在也可能不存在.

本實驗利用EXCEL 2010統計分析軟件進行數據整理，利用Origin 9.0作圖，利用IBM SPSS Statistics 22軟件對數據進行差異顯著性檢驗（p＜0.05為差異顯著；p＜0.01為差異極顯著）。

2 變上限定積分的存在性及其可導性

定義設函數()在閉區間[,]上可積,稱∫(),?[,]為變上限定積分.

定理4若函數()在閉區間[,]上有定義,且只存在有限個可去間斷點,則變上限定積分∫()在[,]上存在且可導.

證明首先()在閉區間[,]上只有有限個可去間斷點,從而∫()存在.

其次,重新定義()閉區間[,]上可去間斷點的函數值,使得()在[,]上連續.因為只是改變了有限個點的函數值,從而積分∫()不變,所以∫()在閉區間[,]上可導.

這里說明的是∫()的導數并不是函數(),因為()在[,]上沒有原函數.

定理5若函數()在閉區間[,]上有定義,且只存在有限個跳躍間斷點,則變上限定積分∫()在[,]上存在,但在間斷點處不可導.

證明函數()在閉區間[,]上只存在有限個跳躍間斷點,顯然∫()在[,]上存在.

設0?(,)為()的一個跳躍間斷點,則(- 0)及(+ 0)存在,但:(- 0)≠(+ 0).

記()=∫(),?[,],則()在0點的去心鄰域內可導,由于:

不相等,所以()在0點不可導.

當函數()在閉區間[,]上只存在有限個無窮間斷點時,變上限定積分∫()在[,]上可能存在,也可能不存在,存在時在()的間斷點處不可導.

至少有一個為無窮,所以()在0點不可導.

當函數()在閉區間[,]上只有有限個振蕩間斷點時,變上限定積分∫()在[,]上可能存在,也可能不存在,存在時間斷點處可能可導,也可能不可導.

[1] 華東師范大學數學系.數學分析(上冊)[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:209

[2] 同濟大學數學教研室.高等數學(上冊)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:227

[3] 王志武.泰勒公式中中值位置的研究[J].山東農業大學學報:自然科學版,2016,47(1):155-156

[4] 王志武,王希超.談泰勒公式的教學[J].高等數學研究,2014,17(5):40-42

Study on the Existence of Primitive Function and the Derivability of Variable Upper Limit Integration

WANG Zhi-wu, WANG Xi-chao

271018,

Primitive function and definite integral are important concepts and basic contents in advanced mathematics. Taking a function on a closed interval as an example, this paper focuses on the existence of the primitive function and the variable upper limit integration, and the relationship between the primitive function and the variable upper limit integration of the function, in the case of a finite number of first or second class discontinuity points.

Primitive function; variable upper limit integration; discontinuity point; continuity; integrability

O151.2

A

1000-2324(2019)05-0918-03

10.3969/j.issn.1000-2324.2019.05.040

2017-02-13

2018-01-23

王志武(1963-),男,副教授,主要從事基礎數學研究. E-mail:wangzw@sdau.edu.cn