2019年高考圓錐曲線選填題解題方法啟示錄
——淺析數形結合的妙用

海南

對高三學生來說，每天都要面對大量的習題，如何能夠在保證正確率的前提下提高解題速度是每一位師生面臨的共同問題.下面筆者從2018年與2019年高考數學理科圓錐曲線選填題的解法中辨析如何妙用數形結合這個重要的數學思想.

一、知識與方法回顧

(一)抓住已知條件的主干，從定語入手，“粗放”閱讀

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【答案】D.

教學時可以指導學生把這么長的題目進行簡化處理，將其轉化為幾個簡短的條件：

將題干條件分解成多個簡單條件可以減輕學生的心理負擔，為下一步解題打下基礎.

(二)數形結合，將已知條件可視化，“精準”作圖

(三)引導學生觀察圖形，找到等(不等)量關系

本題最終目的是求離心率的值，就是找到兩個關鍵變量a，c的關系.一種方法是指導學生求出兩條直線PF1與PF2的方程，然后求出兩條直線交點P的坐標，把P的坐標代入直線PA的方程即可；另一種方法是引導學生充分發揮平面幾何的作用，利用輔助線的優勢，過點P作x軸的垂線，垂足為D，從而構造一個斜邊長為2c且有一個內角為60°的直角三角形PF2D，如圖所示.這樣可以直接根據直角三角形的性質求出線段PD與F2D的長度，進而求出點P的坐標，把P的坐標代入直線PA的方程即可求出橢圓的離心率.

通過三步分析我們不難發現，審題就是自然語言、圖形語言和符號語言之間的科學轉化.審題過程通常是將已知條件中的自然語言、符號語言轉化為圖形語言，把一段長長的文字轉化成數學語言，并以圖形為載體呈現，體現出長度和角度等基本數據的大小關系.有時候文字雖少，但信息量大，也會讓學生造成誤判.解題就是在具備一定的數學基礎知識的情況下，通過對這些基本元素關系的探索與研究，在眾多關聯元素影響的背景下，找到核心數據的數量關系，進而求解.

二、2019年高考圓錐曲線選填題解法分析

(一)利用已知條件精準作圖

精準作圖是數學解題的基本功之一，平面圖形承載了角度與長度、軌跡與方程等數據基本量的關系，是解題的切入點，下面通過一道題來說明此點的重要性.

例1(2019·全國卷Ⅰ理·10)已知橢圓C的焦點為F1(-1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為

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【解析】初步作圖，根據已知條件可以作出草圖，如圖1，不妨設|BF2|=x，則|AF2|=2x，|BF1|=3x，可得|AF1|=2x，從而|AF1|=|AF2|，說明草圖有誤差，必須要更改圖形，重新作圖，點A的位置應該與橢圓短軸的端點重合，如圖2.

圖1

圖2

這種解法的要點是找準點A的位置，確定等腰三角形，在已知a，b，c幾何意義的前提下，充分利用學生熟知的正、余弦定理、二倍角公式和三角函數的定義進行求解.

(二)抓住主要矛盾，根據圖的對稱性等特征求點的坐標

解析幾何中，點作為最基本的要素，是每一道解析題目的靈魂.正如前面所說的自然語言、圖形語言和符號語言之間的科學轉化，最后均以圖形為載體呈現，體現出長度、角度等基本數據的數量關系.

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(三)利用直線的傾斜角(斜率)與三角形相結合，發揮三角的優勢

通過下面的兩道高考題，可以體會不同模塊知識點之間的整合能力，是同學們迫切需要提高的一個解題能力.

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這兩道題的解法的最優之處在于將直線的傾斜角與三角形的內角相結合，利用三角相關知識處理待求問題體現出對不同知識點的整合.

著名數學家華羅庚先生曾高度評價數形結合的解題思想：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”數與形一個傾向于直觀，一個傾向于精密，一個源自于感性，一個源自于理性，兩者的完美結合，不失為一個解題的好路徑，一個掌握和理解數學原理的好方法.