核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高考一輪復(fù)習(xí)策略探究
——以圓錐曲線(xiàn)與方程章節(jié)為例

廣東

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，學(xué)生學(xué)科基本素養(yǎng)的培養(yǎng)越來(lái)越為人們所關(guān)注，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中最重要的環(huán)節(jié)，如何將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和一輪復(fù)習(xí)有效結(jié)合，讓一輪復(fù)習(xí)高效運(yùn)行，是數(shù)學(xué)老師必須思考的問(wèn)題.本文基于核心素養(yǎng)的導(dǎo)向，結(jié)合圓錐曲線(xiàn)章節(jié)探究數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)策略，以期提高復(fù)習(xí)教學(xué)效率.

很多數(shù)學(xué)老師認(rèn)為核心素養(yǎng)是在高一高二的課堂中落地生根的，高三的一輪復(fù)習(xí)教會(huì)學(xué)生做題就可以了.因此造成了題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生一輪復(fù)習(xí)下來(lái)效果并不好.究其原因，這樣的復(fù)習(xí)策略導(dǎo)致復(fù)習(xí)失去了數(shù)學(xué)培養(yǎng)的方向和目標(biāo)，學(xué)生沒(méi)能掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與高考考查的本質(zhì).筆者基于核心素養(yǎng)的導(dǎo)向，結(jié)合圓錐曲線(xiàn)章節(jié)，探究數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)策略.

1 基于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，強(qiáng)化概念，整體把握

筆者認(rèn)為圓錐曲線(xiàn)考查的最終落腳點(diǎn)是概念與計(jì)算.很多學(xué)生在做圓錐曲線(xiàn)的題目時(shí)，都卡在了概念的運(yùn)用上.學(xué)生對(duì)概念不熟練，導(dǎo)致很多不難的題目變成了難題.

圓錐曲線(xiàn)在高考中會(huì)有一個(gè)12分的解答題，一般情況下這個(gè)題的第一問(wèn)是圍繞概念求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果第一問(wèn)做錯(cuò)，那么這個(gè)題基本上就得不到什么分.

【例2】已知圓A：x2+y2+2x-15=0，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.

(1)求點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1，直線(xiàn)l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

第一問(wèn)是本題的關(guān)鍵，其本質(zhì)就是對(duì)橢圓概念的考查.如果學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中深度地把握了橢圓的概念，理解了橢圓的定義中有兩個(gè)定點(diǎn)，然后橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)之和是常數(shù)，那么學(xué)生就容易找到出發(fā)點(diǎn)解答，過(guò)程如下.

解析：(1)因?yàn)閨AD|=|AC|，EB∥AC，所以∠EBD=∠ACD=∠ADC.

復(fù)習(xí)策略：數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).在數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，高三的學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)中，對(duì)基本概念的復(fù)習(xí)不能像新課教學(xué)那樣孤立復(fù)習(xí)，而是要整體把握，要從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系，圖形與圖形的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念與概念之間的關(guān)系.如到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)(大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離)能抽象出橢圓，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，常數(shù)為2a；到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離)能抽象出雙曲線(xiàn)，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，常數(shù)為2a，等等.概念整體的把握可以使學(xué)生掌握概念的本質(zhì)，清晰概念的內(nèi)涵與外延.要多回歸課本經(jīng)典例題和習(xí)題，抽象出經(jīng)典的圓錐曲線(xiàn)模型，如我們課本后面的習(xí)題就有兩個(gè)通過(guò)中垂線(xiàn)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段長(zhǎng)度的橢圓與雙曲線(xiàn)的模型.另外還要加強(qiáng)轉(zhuǎn)化思想，靈活使用定義，在橢圓與雙曲線(xiàn)中到一個(gè)焦點(diǎn)的距離靈活轉(zhuǎn)化為到另外一個(gè)焦點(diǎn)的距離；在拋物線(xiàn)中，到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線(xiàn)距離的相互轉(zhuǎn)化應(yīng)用.

2 基于直觀想象核心素養(yǎng)，貫穿數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想

圓錐曲線(xiàn)是解析幾何內(nèi)容，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門(mén)幾何學(xué)分支.具有幾何圖形的直觀性質(zhì)，也具有代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).因此在圓錐曲線(xiàn)的解答過(guò)程中，要充分利用圖形的直觀性.比如下面的這個(gè)例題，學(xué)生不但不會(huì)做，而且看答案都看不明白，因?yàn)楫?dāng)時(shí)答案中沒(méi)有圖象只有解答過(guò)程.

此題在解答的過(guò)程中，學(xué)生總覺(jué)得沒(méi)有可能是兩條的情況.解答時(shí)筆者給學(xué)生畫(huà)了下面的兩幅圖，讓學(xué)生從圖形直觀去分析.

在圖1中，若|AB|=4b，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，下方也可以畫(huà)出一條直線(xiàn)l滿(mǎn)足|AB|=4b；此時(shí)左支上則不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，得到：

圖1

在圖2中，若|AB|=4b，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，仍可以畫(huà)出一條直線(xiàn)l滿(mǎn)足|AB|=4b；此時(shí)左、右支上不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，得到：

圖2

這個(gè)題的解答如果沒(méi)有圖象，學(xué)生很難看明白為什么要分類(lèi)，分類(lèi)后又怎么去找關(guān)系列不等式.有了圖象以后，就能通過(guò)有且僅有兩條直線(xiàn)這個(gè)條件找到a，b，c之間的不等關(guān)系，求出離心率的范圍.有圖象后這樣的直線(xiàn)有三條，四條一樣也可以求出離心率的范圍.

復(fù)習(xí)策略：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象能力感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).在直觀想象素養(yǎng)的導(dǎo)向下，老師在高考一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中，要突出圓錐曲線(xiàn)章節(jié)圖形的重要性，讓學(xué)生在做題的過(guò)程中養(yǎng)成先作圖的習(xí)慣，然后再把題目的條件盡量放到圖形中去，利用圓錐曲線(xiàn)圖形描述和分析求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問(wèn)題的思路.當(dāng)然，準(zhǔn)確作圖的前提是要對(duì)圓錐曲線(xiàn)的知識(shí)有深度的了解，比如說(shuō)圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)、拋物線(xiàn)的開(kāi)口和準(zhǔn)線(xiàn)等.

3 基于數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，強(qiáng)化計(jì)算能力

前面提到解析幾何具有代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，因此在圓錐曲線(xiàn)題的解答過(guò)程中運(yùn)算是必不可少的，而且有時(shí)候運(yùn)算量很大.學(xué)生在做圓錐曲線(xiàn)解答題時(shí)，很多時(shí)候是有思路但輸在了計(jì)算.

(1)求橢圓C1的方程；

Δ=16k2m2-(8m2-32)(2k2+1)>0，得m2<8k2+4，

所以m=0，直線(xiàn)l的方程為y=kx，

因?yàn)閨AN|=|BN|，所以O(shè)N垂直平分線(xiàn)段AB，

當(dāng)k=0時(shí)，△ABN的面積也符合上式，

4 基于邏輯推理核心素養(yǎng)，強(qiáng)化結(jié)論的變式推廣

由于橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)具有很好的對(duì)稱(chēng)性，因此它們的很多結(jié)論都可以變式推廣，很多結(jié)論也可以相互之間類(lèi)比和拓展，通過(guò)變式推廣和類(lèi)比推理加強(qiáng)圓錐曲線(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系、開(kāi)拓解題思路和培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

(Ⅱ)證明略.

在證明完l過(guò)定點(diǎn)(2，-1)后，考慮到2和-1與長(zhǎng)半軸短半軸吻合的特殊性，可以對(duì)結(jié)論做出如下的變式推廣：

通過(guò)兩個(gè)變式推廣及其論證，加深了學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)定點(diǎn)問(wèn)題的論證思路.

復(fù)習(xí)策略：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理素養(yǎng)導(dǎo)向下，高考一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中，首先要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的意識(shí)，主要有歸納、類(lèi)比和演繹.然后再通過(guò)具體的知識(shí)內(nèi)部以及知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題.在復(fù)習(xí)圓錐曲線(xiàn)時(shí)，可以將特殊的結(jié)論一般化，主要是把條件的特殊性推廣為一般性，探索結(jié)論是否仍然成立.由于橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)都是平面截圓錐產(chǎn)生的曲線(xiàn)，其中一種曲線(xiàn)所具備的性質(zhì)在另外的曲線(xiàn)中?？梢酝茖?dǎo)出類(lèi)似的結(jié)論，因此也可以將橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)之間的結(jié)論通過(guò)適當(dāng)改變條件，探索彼此之間結(jié)論的互通性，發(fā)現(xiàn)我們未知的圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì).

以上基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向，結(jié)合圓錐曲線(xiàn)章節(jié)的內(nèi)容，從四個(gè)層面探究高考一輪復(fù)習(xí)的策略.這些策略同樣也適用于其他的知識(shí)章節(jié)，如數(shù)列章節(jié)的復(fù)習(xí)，我們要加強(qiáng)等差等比之間的變式推廣等.在函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)形結(jié)合思想方法.在概率統(tǒng)計(jì)章節(jié)中要加強(qiáng)數(shù)據(jù)獲取及其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，等等.總之，在整個(gè)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，雖然是對(duì)高一高二學(xué)過(guò)的所有數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)，但不能是簡(jiǎn)單的重復(fù)羅列，老師在一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中要基于對(duì)章節(jié)知識(shí)整體把握的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，通過(guò)一輪復(fù)習(xí)，深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，最終提升學(xué)生的成績(jī).