注重應用問題，提升數學素養
——對五年新課程標準全國卷Ⅱ理科概率與統計應用題的分析與思考

甘肅

高中學習的“概率與統計”是大學統計學的基礎，有承上啟下的作用，是新課改后每年高考命題的熱點和必考題之一.在實際應用方面的考查，它成為考查學生實踐能力，增強創新意識和科學精神的良好素材.高考怎么考？通過分析高考真題，反饋學生學習中存在的問題，透視命題信息，以便對癥下藥，科學高效地備考.

一、高考新課程卷Ⅱ理科概率與統計試題的特點

1.五年全國新課程標準全國卷Ⅱ理科試題分布

年份題號題型題材立意考查內容2015(3)選擇題柱形圖數據分析(15)填空題二項式定理二項展開式系數的性質(18)解答題莖葉圖莖葉圖、平均數、概率2016(5)選擇題計數原理、組合分步計數原理、組合(10)選擇題幾何概型隨機模擬求幾何概型(18)解答題概率、分布列條件概率、隨機變量的分布列、期望2017(6)選擇題計數原理、組合分步計數原理、排列組合(13)填空題二項分布二項分布的方差(18)解答題列聯表用樣本估計總體2018(8)選擇題古典概型等可能事件的概率(18)解答題線性回歸分析線性回歸直線方程2019(5)選擇題統計中數字特征的含義用樣本估計總體的數字特征(13)填空題統計問題頻率分布中的加權平均值(18)解答題概率求隨機變量的概率

2.試題特點

(1)題型穩定、題量穩定.“整體穩定，適度創新”，每年題量為“兩小一大”三道題或“一小一大”兩道題，其中兩道為概率或統計題.

(2)分值穩定、難度穩定.分值為22分或17分，難度中等或中等偏易，如2018年、2019年第18題分別考查了“線性回歸直線方程”和“隨機變量取值的概率”，從2007年開始，此類試題經過13年發展逐步穩定，并成為高考卷中的主流應用題.

(3)基礎性強，思想方法滲透性強.重視基本概念、基本公式與方法.注重分類與整合、數形結合、化歸與轉化、函數與方程、特殊與一般和統計與概率的數學思想.

(4)試題背景熟悉.縱觀五年高考試題，其背景概括起來有“用戶對產品的滿意度、續保人購買保險、淡水養殖、環境基礎設施投資、乒乓球比賽結果和場次的安排等”，這樣的試題緊密結合社會實際和貼近學生生活實際，并賦予時代氣息，充分考慮不同學生群體思維的差異，提高了學生對數學價值的認識，體現了“數學建模”等核心素養，發揮了思想教育功能，在數學教育和評價中落實立德樹人的根本任務.

二、試題解析及反思

例1.(2015·全國卷Ⅱ理·18)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：

A地區：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(Ⅰ)根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；

A地區B地區456789

(Ⅱ)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意

記事件C：“A地區用戶的滿意度等級高于B地區用戶的滿意度等級”.假設兩地區用戶的評價結果相互獨立.根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求C的概率.

評注：第(Ⅰ)問通過畫莖葉圖，從平均數和方差的本質上考查學生對圖表數據的處理能力和對統計思想的理解；第(Ⅱ)問把事件C看作是兩個互斥事件的和，以B地區用戶的滿意度等級為分類標準，簡記為A>B，即一類是B地區用戶不滿意但A地區用戶滿意或非常滿意，另一類是B地區用戶滿意和A地區用戶非常滿意.也可以以A地區用戶的滿意度等級為分類標準，將事件C分為兩個互斥事件的和求概率.

問題：不會畫第(Ⅰ)問的莖葉圖或不識圖，即不會通過莖葉圖回答問題；第(Ⅱ)問以圖表形式給出條件概率，看起來一目了然，但由于平時不常見，不清楚事件之間的關系，無形中增加了難度，部分同學感覺到無從下手.另外對事件C：“A地區用戶的滿意度等級高于B地區用戶的滿意度等級”，沒有將其分成兩個互斥事件的概率之和，不能正確地進行分類討論，轉化與化歸困難，對圖表理解不透.

反思：對統計和概率題，先通過對數據的處理畫出莖葉圖，觀察數據平均值和波動的大小，體現“多想少算”，更多地強調對概念的理解、識圖，以及根據統計圖獲取信息和對數據處理的能力.對于求解復雜事件(互斥與獨立事件交互)的概率，一定要提高學生的思維水平與求解的路徑.

例2.(2016·全國卷Ⅱ理·18)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：

上年度出險次數01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下：

一年內出險次數01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05

(Ⅰ)求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率；

(Ⅱ)若一續保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；

(Ⅲ)求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

評注：與2008年大綱版全國卷Ⅱ類似，以保險為題材，貼近生活實際，具有一定時代背景，主要考查學生的互斥事件概率、條件概率的求解和隨機變量分布列，考查閱讀理解能力與運用數學模型解決實際問題的能力.

問題：理解困難，等價轉換困難，審題馬虎，對關鍵詞“保費比基本保費高出60%”的理解出錯，以至無法轉換為在“一續保人本年度的保費高于基本保費”條件下，求“一續保人在一年內出險次數為4次或5次以上”的概率，對條件概率掌握不好.求平均保費就是求本年度保費變量X的數學期望，理解了這點，一切問題迎刃而解.

反思：對文字和圖表的閱讀，無法對應起來，致使不能列式求解計算.“問題引導學習”應當成為基本的教學原則,即通過提出恰當的、適度的啟發性問題，引導學生思考和探索，經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流和反思等理性思維基本過程，切實改進學生的學習方式，培養問題意識，孕育創新精神.

例3.(2017·全國卷Ⅱ理·18)海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：

舊養殖法

新養殖法

(Ⅰ)設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg，新養殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；

(Ⅱ)填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關；

箱產量<50kg箱產量≥50kg舊養殖法新養殖法

(Ⅲ)根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0.01).

附：

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

評注：以海水養殖水產為題材，考查用樣本的數字特征估計總體的數字特征，獨立性檢驗原理，涉及獨立事件概率公式、數據平均數、方差的計算和用頻率分布直方圖估計中位數，關鍵在于認真分析頻率分布直方圖.

問題：讀懂頻率分布直方圖難度不大，以頻率估計概率都能理解，但計算中粗心致錯非常遺憾；難點是利用頻率分布直方圖求中位數(中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的)；正確填寫2×2的列聯表是在獨立性檢驗中得出正確判斷的關鍵.

反思：以養殖水產為題材，貼近生活實際，所用數學知識(計數和概率)也不復雜，重點培養學生的數學核心素養和數據分析能力，數學建模中識圖、讀圖和用圖是必須掌握的方法.利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題做出合理的推斷和預測.獨立性檢驗就是考查兩個分類變量是否有關系，并能較為準確地給出這種判斷的可信度，隨機變量的觀測值K2值越大，說明“兩個變量有關系”的可能性越大.利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時，應注意掌握求解方法和異同點，特別要掌握中位數的求法.

例4.(2018·全國卷Ⅱ理·18)下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(Ⅰ)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

(Ⅱ)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

評注：本題采用真實數據，增強了試題情境的真實性和可靠性，第(Ⅰ)問是已知回歸直線方程，可以直接將數值19和9代入求得待定要求下的預測值；充分考查學生的圖形識別能力，數據分析、數學建模和數學運算的核心素養，體現數學知識在生活中的應用.

問題：計算時粗心致錯；第(Ⅱ)問看圖分析和總結，有些同學選模型①還是模型②莫衷一是，最后就隨便選了一個或者做的時候感覺時間越長越穩定，就選擇了模型①.其實根據折線圖知從2000年到2009年與從2010年到2016年是兩個有明顯區別的直線，且從2010年到2016年的增幅明顯高于從2000年到2009年的增幅，因此用模型②得到2018年的預測值更加可靠.

反思：本題是以環境基礎設施投資額為背景的一道開放性題目，采用真實數據，設計的問題將所學數學知識與經濟社會發展相結合，具有很強的現實意義，難度不大，但對學生的語言表述和邏輯說理能力要求較高，不容易得滿分.學生普遍反映看似簡單做起來又覺得難，看答案覺得不太難，但又做不上.所以平時要多練文字敘述量較大，內容也比較豐富的材料閱讀應用題，如何建立數學模型以及如何利用選擇的數學模型解決實際問題，要在“熟化”上多下功夫.做題的時候要細心，不能馬虎大意輕視題目.

例5.(2019·全國卷Ⅱ理·18)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

(Ⅰ)求P(X=2)；

(Ⅱ)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

評注：以乒乓球比賽結果和場次的安排提出問題，要求考生應用概率的有關知識和數學方法分析解決體育問題.讀懂題目，理解實際問題中蘊含的數學意義是解題的關鍵.試題難度不大，但要求考生準確規范表達是十分重要的.

問題：概括起來有三點：(1)對“X=2,X=4”所對應的事件理解不全面、不到位；(2)對換發球時甲贏的概率混淆不清；(3)第(Ⅱ)問沒有明確“X=4且甲獲勝”是相互獨立事件，X=4又為彼此互斥事件.

反思：明確對離散型變量取值時，把變量數字特征“X=2,X=4”轉化為具體、明白的基本事件的概率很關鍵，但教學中幫助學生理解變量對應的事件是什么和由哪些基本事件構成，不能把事件過程一帶而過.

三、學習困惑及原因分析

1.對概念理解不到位，一知半解

對概率與統計概念理解不清、領悟不深.在列舉基本事件時，出現重復或遺漏；混淆“有序”與“無序”的區別；不注意“有放回”與“無放回”的區別.在求離散型隨機變量的分布列時，一是寫錯變量ξ可能的取值，或將實驗的結果遺漏(重復)而導致概率求錯，所以得分率較低；二是不能把變量的取值轉化為某事件發生的概率，自己弄不明白變量取某一值時對應的事件是什么，沒有找到概率模型，抽象思維差；三是看不明白統計圖表，解讀不透徹，不會借助頻率分布直方圖估算平均數、中位數和眾數，不善于從圖表信息中提煉數據關系，導致在數字特征的含義與求解、有序與無序的界定等問題方面出錯.統計案例是高考命題一大亮點，學生不會閱讀、心態浮躁是目前數學教學中普遍存在的一個突出問題.

2.計算錯誤比較普遍

在求解過程中運用公式和方法都正確，但出現非智力因素的計算錯誤很普遍，如線性回歸方程中系數的求解，獨立性檢驗統計量K2的計算等.另外求分布列時將概率不約為簡分數、馬虎、筆誤和答非所問等現象很嚴重.

3.規范性欠佳，文字表達差

在對實際問題進行數學抽象、用數學語言表達問題時存在格式不規范和文字表達不流暢的問題.對于概率問題，語言的嚴謹性不夠，閱讀能力欠缺，使得解題過程不嚴密、不完整，如求概率時，缺少對事件必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件，只有干巴巴的數字符號和列式，文字表達捉襟見肘，這樣會出現常規失分.

4.理性思維不夠

對概率與頻率的關系及對等可能事件的理解不到位，概率與統計的教學目的是使學生體會概率與統計的基本思想.處理數據、制訂方案，培養學生基于數據表達顯示問題的意識，形成通過數據認識事物的思想品質.

四、命題趨勢探討

今后高考命題仍然會圍繞古典概型與幾何概型、概率與統計題的綜合應用、概率與統計案例的綜合應用三個方面進行考查，以真實情境和考生所熟悉、貼近的生活為背景，在考查閱讀理解能力、語言表達能力、概括能力與運用數學模型解決實際問題的能力的同時，強調實踐能力立意，突出文化底蘊與學科素養導向，將基礎性和創新性作為重點要求，理性思維作為重點目標，延續“穩中求變，變中創新”的風格，落實“五育”方針，體現數學原理和方法在解決問題中的價值和作用.

五、概率與統計教學實施的策略及備考建議

1.回歸教材，一題多變

教材是學習數學基礎知識和形成基本技能的“藍本”，是高考試題的重要知識載體.高考試題的特點是“源于課本，寓于現實”.復習階段必須按《考試說明》的要求，以教材的例題和習題為素材，深入淺出，舉一反三，對知識加以類比、延伸和拓展，在領悟教材知識與高考試題的內在聯系及對典型例題的變式上狠下工夫，力求對教材內容融會貫通，只有這樣，才能“以不變應萬變”，達到事半功倍的效果.

2.重視閱讀，捕捉信息

概率與統計結合題，無論是直接描述，還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖和圖表等信息進行描述，都需要靜下心來耐心閱讀，將條件言簡意賅地呈現出來，并從中提煉出需要的信息，找出關鍵信息，將其用數學語言表達出來.引導學生閱讀教材，要求學生在“初讀”中整體感知知識內容，了解考向目標；在“細讀”中分清主次，去粗存精；在“精讀”中找出關鍵信息，重點突破；在“熟讀”中建立模型，找到求解方法.

3.重視數學思想方法的滲透

概率統計中的數形結合思想常使統計問題直觀化、形象化，尤其對文科考生，由于降低對概率計算的要求，常需要用列表或畫圖的形式列舉基本事件的個數，從而進行概率計算；分類討論思想常用于數據采集、分類計數及概率計算；化歸與轉化思想常使復雜的概率事件變得簡單，易于計算，起到化繁為簡的作用.因此，在解答概率與統計問題時，分清關系，列出式子，用數學語言準確作答是解答概率問題的有效手段.

4.重視對高考主觀題的研究

從近五年概率與統計解答題來看，都有較強的實際背景，以能力立意，對閱讀理解、推理分析和數據運算的能力要求都比較高，對數據中隱含信息和特征的圖表的考查是重點，其特點是綜合性強，思維量大，設問不落俗套.因此，在高三復習中，應廣泛聯系社會生活中的實際問題，加強統計圖表的識別、繪制和應用的訓練，提高靈活運用圖表信息做出統計推斷和決策的能力.

5.加強思維訓練，提高語言表達的準確性

學生在解答概率與統計問題時，不能準確地使用文字語言表達解題的過程，但是適當的文字表述又是必要的，這是學習概率與統計的一個難點.因此，在復習該部分內容時，應重視概率與統計的“特定”語言的思維訓練，提高運用數學語言準確、清晰和流暢表達的水平.

6.重視案例教學過程，培養思維能力

通過案例注重統計的過程，讓學生經歷“收集數據——整理數據——分析數據——做出推斷”的數據處理過程，不斷加深對概率與統計的理解，培養學生數學建模、數據分析和數學運算等核心素養.《普通高中數學課程標準》(2017年版)中明確提出：“強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力,同時注重數學文化的滲透.”因此，在案例教學中，要讓學生多實踐、多動手操作、多分析和多思考，從中發現問題并解決問題，親身體驗案例情景，以激發興趣，并深刻體會數學來源于生活又服務于生活.