高考數(shù)學(xué)題從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向
——以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第4題為例

江蘇

一、原題呈現(xiàn)

A.165 cm B.175 cm

C.185 cm D.190 cm

二、思維障礙

許多同學(xué)一見(jiàn)到此題，就被嚇住了：文字信息多，數(shù)據(jù)多而且?guī)恍?shù)，繼續(xù)讀下去的信心也就不那么足了！當(dāng)老師將此題布置給學(xué)生練習(xí)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要存在以下問(wèn)題：

一是完全沒(méi)有讀懂題目，對(duì)若干條件和數(shù)據(jù)不明就里，完全無(wú)從下手；

二是盡管讀懂了題目條件的要求，但是根本不知道用不等式來(lái)解決問(wèn)題；

三是不知道或不熟悉黃金分割的特點(diǎn)和性質(zhì)，在此處也不會(huì)遷移應(yīng)用；

四是計(jì)算屢屢出錯(cuò)，而且花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng).

三、障礙分析

單從此題的數(shù)學(xué)難度而言，正確求解并不是想象中那么遙不可及，其實(shí)該題在本質(zhì)上是一道初中數(shù)學(xué)題，但是為什么學(xué)生總是害怕這類(lèi)題呢？究其原因，無(wú)非是以下幾點(diǎn)：

一是數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，教師難教、學(xué)生難學(xué)是一個(gè)普遍存在的問(wèn)題.在現(xiàn)行高一、高二的數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題在每個(gè)章節(jié)中均有相關(guān)的例題和習(xí)題.老師在平時(shí)的教學(xué)中專(zhuān)注于純粹教學(xué)的要求，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)不夠重視，導(dǎo)致在平時(shí)的教學(xué)中把數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題放在次要的位置上，只是孤立地處理一些例題和習(xí)題，甚至把數(shù)學(xué)應(yīng)用看成“實(shí)用主義”，認(rèn)為這是“短視行為”，學(xué)生也只是機(jī)械地、消極地完成相關(guān)習(xí)題，在一些階段性的考試中也很少出現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用題，由于教和學(xué)的雙重原因，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)系統(tǒng)地解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的興趣不大，積極性不高，解決實(shí)際問(wèn)題的能力較差.

二是在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師往往容易忽略對(duì)學(xué)生閱讀能力和提取信息能力的培養(yǎng)，常常不經(jīng)意地將數(shù)學(xué)題目的華美外衣脫掉，去掉題目所處的實(shí)際環(huán)境狀態(tài)，將實(shí)際問(wèn)題以純粹形式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題展現(xiàn)在學(xué)生面前.數(shù)學(xué)問(wèn)題形式化會(huì)降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，老師越俎代庖會(huì)讓學(xué)生們更加依賴(lài)?yán)蠋煟谠囶}的信息量越來(lái)越大的趨勢(shì)下，就會(huì)逐漸削弱學(xué)生分析題干并提煉題目信息的能力.

三是學(xué)生依賴(lài)計(jì)算器，筆算能力越來(lái)越弱.在日常教學(xué)中，有些教師過(guò)度依靠計(jì)算機(jī)和計(jì)算器，只重方法，忽視過(guò)程和運(yùn)算，認(rèn)為老師的作用只是講思想方法，至于運(yùn)算那是學(xué)生課后自己的事情.

四是學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)薄弱，不理解黃金分割比例的含義，缺失了邏輯推理的起點(diǎn).更有一些學(xué)生對(duì)咽喉在哪里和腿長(zhǎng)指哪一部分的長(zhǎng)度等都不了解，反映出少數(shù)學(xué)生基本素養(yǎng)的缺失.

四、導(dǎo)向要求

新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》更加注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，并特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分.2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第4題以數(shù)學(xué)文化為載體，滲透數(shù)學(xué)美，有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了高考對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向功能，將會(huì)引領(lǐng)更多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，強(qiáng)化立德樹(shù)人的理念，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)教授給學(xué)生.

就知識(shí)本身而言，本題考查了黃金分割比例、數(shù)學(xué)建模、解一元一次不等式等；從試題所考查的能力素養(yǎng)上看，考查了閱讀能力、數(shù)據(jù)分析與處理的能力、計(jì)算能力、估算能力；從高考試題的導(dǎo)向上看，實(shí)現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，從不同視角考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；突出了基于“能力”到基于“素養(yǎng)”的考試評(píng)價(jià)，突出了“以素養(yǎng)立意命題”的指導(dǎo)思想，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究”，對(duì)落實(shí)新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)具有積極的導(dǎo)向作用.

五、試題解析

【視角1】利用方程思想，然后逐步消元

由于人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度略小于頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度，腿長(zhǎng)略小于肚臍至足底的長(zhǎng)度，

所以170

【評(píng)注】上述解法的關(guān)鍵是引入變量，并由黃金分割比例分別建立x與h、z與h的關(guān)系，然后構(gòu)造不等式.

【視角2】觀察圖形，搭起已知量與未知量的橋梁

觀察圖形x與h沒(méi)有直接的關(guān)聯(lián)，但通過(guò)頭頂?shù)蕉悄毜拈L(zhǎng)度(不妨記為n)可以建立兩者的關(guān)系.

x是n中較小的部分，而n是h中較小的部分.如圖，

【評(píng)注】上述解法的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用黃金分割比例的概念.

【視角3】數(shù)形結(jié)合，由黃金分割明確比例關(guān)系

如圖，記頭頂至咽喉長(zhǎng)度為xcm，

所以咽喉至肚臍的長(zhǎng)度為(1+φ)x，從而肚臍至足底的長(zhǎng)度為(2+φ)(1+φ)x.

設(shè)身高為hcm，則h=x+(1+φ)x+(2+φ)(1+φ)x=(2+φ)2x.

以下思路與視角1相同，略.

【評(píng)注】上述解法以形助數(shù)，在視角2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化了解題過(guò)程.

【視角4】利用美術(shù)知識(shí)估算

我們先介紹一個(gè)概念：頭身，又稱(chēng)頭身比，為身高與頭全高的比值.它是以人的頭高為單位，來(lái)描述人體尺度的一種表示方法.

人物繪畫(huà)中有句口訣“站七坐五蹲三半”，是說(shuō)成年人立姿約是7頭身(特別是女性)，坐時(shí)約是5頭身，下蹲時(shí)約為3.5頭身.這是繪畫(huà)里對(duì)美的人體比例的總結(jié).

本題中，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，因此頭高小于26 cm，所以身高小于7×26=182 cm，這時(shí)有一些同學(xué)從人體美的角度，就直接選B了.

綜上所述，身高在170 cm與182 cm之間取值，故選B.

【評(píng)注】從這個(gè)視角看，這道題對(duì)具有美術(shù)知識(shí)的考生是有利的，也說(shuō)明了學(xué)生要全面提升自己的素養(yǎng)，培養(yǎng)多方面的興趣愛(ài)好.

【視角5】利用生活常識(shí)估算

買(mǎi)褲子時(shí)，需要知道自己的腿長(zhǎng).由生活經(jīng)驗(yàn)可知，量腿長(zhǎng)一般從腳底量到胯骨.估算褲子的上邊緣到肚臍的距離約為5 cm.

【評(píng)注】說(shuō)明生活常識(shí)也是不可或缺的素養(yǎng)，即使不會(huì)計(jì)算，也能猜出來(lái).

六、反思

2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第4題是一道以素養(yǎng)立意，注重考查學(xué)生的核心素養(yǎng)的優(yōu)秀試題，它啟發(fā)我們要進(jìn)一步轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，進(jìn)一步深化課堂教學(xué)改革，讓我們反思.

1.數(shù)學(xué)閱讀能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵

我們要重視對(duì)學(xué)生的閱讀能力和提取信息能力的培養(yǎng)，不能將之簡(jiǎn)單歸為語(yǔ)文教師的事情.比如，一些考生不會(huì)做這道題的原因可以總結(jié)為試題聯(lián)系實(shí)際，并不是以考生熟悉的形式呈現(xiàn)，運(yùn)算量比較大等，但最重要的原因是學(xué)生讀不懂試題，不能理解題意，所以沒(méi)有解題的思路.因此從本題看，數(shù)學(xué)閱讀能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.提高數(shù)學(xué)閱讀能力對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)以及今后更好地在本職工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)至關(guān)重要.

教會(huì)學(xué)生掌握閱讀策略是數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的重要任務(wù).要針對(duì)圖表試題、生活語(yǔ)言試題和數(shù)學(xué)語(yǔ)言試題采取不同的策略.同時(shí)數(shù)學(xué)是一種“數(shù)形結(jié)合”的語(yǔ)言，所以閱讀試題通常也需要學(xué)生在三種語(yǔ)言之間頻繁地轉(zhuǎn)換，相互補(bǔ)充，弄清楚試題所表達(dá)的意思.應(yīng)當(dāng)手腦并用，對(duì)材料中的每一個(gè)字、每一個(gè)公式都要仔細(xì)閱讀，并且對(duì)重點(diǎn)的地方進(jìn)行記錄，這樣才能清楚地理解題目中每一個(gè)重要信息；同時(shí)應(yīng)當(dāng)反復(fù)閱讀，懷疑自己時(shí)就重新審題，做不下去時(shí)就重新審題，直到解出為止.

2.數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析在高考中逐步增加

近年來(lái)數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題與數(shù)據(jù)分析的題量和分值在高考中逐步增加，可見(jiàn)高考命題已經(jīng)在轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科體系觀念，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會(huì)，關(guān)心未來(lái)，實(shí)現(xiàn)高考命題改革與中學(xué)教育、教學(xué)觀念改革的結(jié)合.高考越來(lái)越朝著“以能力立意命題”“以素養(yǎng)立意命題”的方向前進(jìn)，以本題為例，如果教師在平時(shí)的教學(xué)中不重視數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題，不善于創(chuàng)新教學(xué)、智慧教學(xué)，不善于培養(yǎng)學(xué)生的能力、素養(yǎng)和創(chuàng)新精神，而只是一味地機(jī)械性教學(xué)，刻意模仿，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生“只知其然，不知其所以然”，在面對(duì)類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，就會(huì)吃大虧，束手無(wú)策！因此我們要通過(guò)數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題的教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問(wèn)題和自主解決問(wèn)題的機(jī)會(huì).

數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象的知識(shí)的素養(yǎng).培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念，是培育數(shù)學(xué)學(xué)科基本素養(yǎng)的有效載體.我們應(yīng)從培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高度，重視數(shù)據(jù)分析教學(xué)，在遇到較為復(fù)雜的計(jì)算時(shí)，教師絕不能偷懶，讓學(xué)生自己課后計(jì)算，而不做示范，其實(shí)，計(jì)算的每一步都蘊(yùn)含著對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，教師只講方法而忽略此步，是一種很不負(fù)責(zé)任的表現(xiàn)，也是一種脫離實(shí)際教學(xué)的表現(xiàn).因此在日常教學(xué)中我們不僅要重視教授學(xué)生提取和整理數(shù)據(jù)的方法，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，重視算法，加強(qiáng)限時(shí)計(jì)算，讓學(xué)生獲得持續(xù)發(fā)展的基本素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)課程的教育價(jià)值.

3.教解法不如教想法

如何教會(huì)學(xué)生解題?有些老師不考慮學(xué)生實(shí)際情況，不注重能力培養(yǎng)，只注重自我講解，自我體驗(yàn)，沉浸于自我世界，自我陶醉，這樣的表演與展示，學(xué)生只學(xué)會(huì)了機(jī)械的模仿，在核心素養(yǎng)能力培養(yǎng)上沒(méi)有一絲進(jìn)步.

事實(shí)上，教解法不如教想法.在具體教學(xué)過(guò)程中，我們可以先讓學(xué)生審題、獨(dú)立思考并說(shuō)出“想法”(必要時(shí)引導(dǎo))，其他同學(xué)質(zhì)疑、補(bǔ)充并實(shí)施“想法”，落實(shí)到紙筆上，最后提煉思想方法，討論變式、一題多解.這樣做的好處在于:可以著力改善解數(shù)學(xué)題過(guò)分依賴(lài)題型記憶、復(fù)制模仿的狀況，盡力使學(xué)生在嶄新的習(xí)題情境中，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以研究者的心態(tài)挖掘隱含信息，分析、解決問(wèn)題.當(dāng)然，學(xué)生形成“想法”要經(jīng)歷如下心路歷程:閱讀理解→獲取直接信息或挖掘隱含信息→信息直觀化(圖形、圖象)、符號(hào)化(代數(shù)式表達(dá))→依據(jù)自己的固有經(jīng)驗(yàn)、思想方法實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)與化歸.當(dāng)學(xué)生在形成“想法”的過(guò)程中遇到困難，課堂上老師可以采取如下策略：與學(xué)生共同閱讀、理解并挖掘各類(lèi)信息→幫助學(xué)生將信息直觀化(圖形、圖象)、符號(hào)化(代數(shù)式表達(dá))(當(dāng)數(shù)形結(jié)合時(shí)圖當(dāng)先)→幫助調(diào)動(dòng)學(xué)生固有經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)與化歸，等價(jià)轉(zhuǎn)化(常用“由已知想可知，由未知想需知”，溝通“可知”與“需知”).這種做法其實(shí)就是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的實(shí)質(zhì)參與，這也就是把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到了實(shí)處.