置之死地而后生，極端思維顯身手
——以2018年和2019年高考真題為例

江蘇

極端思維是數學解題中的一種重要思維方式，是一種從特殊元素入手來看問題的切入方式，也是破解一些相關數學問題的常見方法.靈活地借助極端思想，可以置之死地而后生，實現從無限到有限，從近似到精確，從量變到質變等方面的有效轉化.其破解的關鍵是根據題目條件正確設想極端點，利用所確定的極端狀態下對應的數學條件加以合理應用，從而得以正確破解.下面結合近兩年(2018年與2019年)的高考真題，就極端思維的巧妙應用加以實例剖析.

1.極端思維巧解函數題

( )

A

B

C

D

分析：常規方法是直接通過函數解析式的特點來確定函數的圖象，判斷難度較大.而通過自變量x的取值的極限性來分析圖象的走勢，可以比較簡單快捷、直觀形象地確定答案.

故選B.

點評：本題采用極端思維，通過自變量x的兩個變化極限所對應的因變量y的取值情況，結合選項中的相關圖象來排除即可.極端思維在解決函數的圖象問題時，關鍵在于根據題目條件，考慮相應函數的解析式、圖象和函數值等的極端取值，并利用函數的相關知識來解決，淡化函數的運算與變換過程，降低難度，提高效率.

2.極端思維巧解三角函數題

( )

分析：常規方法是利用單位圓中的三角函數線來解決一些非特殊角的三角函數值的大小關系問題，通過數形結合，直觀形象地判斷大小，判斷難度較大.而通過滿足條件不等式tanα

解析：由于tanα

點評：本題采用極端思維確定其滿足條件不等式的一個極端值α=135°，以特殊回歸一般結論，結合選項中的相關圖象來排除即可.其實，極端思維在解決三角函數的相關小題時，關鍵在于根據題目條件，考慮三角函數中的角度、圖象和函數值等的極端取值，淡化三角恒等變換等推理運算過程，降低難度.

3.極端思維巧解三角形題

例3.(2019·北京卷文·8)如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為

( )

A.4β+4cosβB.4β+4sinβ

C.2β+2cosβD.2β+2sinβ

分析：常規方法是利用三角函數思維或三角形的面積公式加以轉化，結合三角函數的圖象與性質或三角形面積最大時的條件加以分析.而借助極端思維來處理，通過特殊角的極端性，結合選項中的對比就可以快速破解.

4.極端思維巧解平面向量題

( )

分析：常規方法是根據題目條件，或通過平面直角坐標系的構造，或通過數量積公式的轉化來處理，較為繁雜.而通過構造三角形，結合平面向量的線性運算以及軌跡的確定，利用三角形的幾何性質來確定極端點，可以快速地確定相應的最值.

由b2-4e·b+3=0可得(b-2e)2=1，即|b-2e|=1，

故選A.

點評：本題采用極端思維，構造相應的三角形，結合點的軌跡的變化情況，根據點的變化極端思維來分析與處理.極端思維在解決有關的平面幾何問題時，關鍵在于根據題目條件，考慮相關的點或角的極端位置，并利用平面幾何的相關知識來解決，簡化圖形，直指目標.

5.極端思維巧解解析幾何題

( )

分析：常規方法是根據雙曲線的離心率的條件來確定參數關系，進而確定對應的漸近線方程，再利用點到直線的距離公式來求解.而借助焦點到漸近線的距離就是虛半軸長b這一結論，假定點(4，0)為其一個焦點，利用這一極端元素，轉化角色，快速破解.采用極端思維就省去不必要的計算，簡單有效.

解析：不失一般性，假定點(4，0)為雙曲線C的一個焦點，那么點(4，0)到C的漸近線的距離為b，

點評：實際上點(4，0)不一定是雙曲線C的一個焦點，而借助平面幾何中的相似比關系知x軸上的點到漸近線的距離與到原點的距離的比值是固定不變的.而通過假定點(4，0)為雙曲線C的一個焦點這一極端元素，可知所求解的距離就是參數b的值，直指目標.考慮極端元素，并結合極端元素條件下的解析幾何的相關知識轉化與應用，思路清晰，降低難度，優化過程，提高效率.

6.極端思維巧解綜合題

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分析：常規方法是借助雙曲線的方程確定對應的點的坐標，利用兩點間的距離公式，并結合數列極限計算.而借助極端思維，將抽象問題具體化，直接確定相應的直角三角形，進而結合條件計算對應的邊長即可.

應用極端思維解決一些相關的數學問題時，其關鍵點是巧妙抓住問題的全體對象中的極端情形或其所具有的某種極端狀態，對其進行特殊性研究，從而由特殊到一般，避開抽象思維，避免復雜運算，探索解題新路，巧妙獨辟蹊徑，進而有效降低解題難度，優化解題過程，起到事半功倍的效果.