一道高考題的多解、變式與題源

湖北

與本題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)有：橢圓的定義、方程與性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離公式、等腰三角形的性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的定義、余弦定理、橢圓的參數(shù)方程等.

本題考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、解法探究

【思路一】三角形等面積法求高yM，代入橢圓方程求xM.

由已知可得a2=36,b2=20，所以c2=a2-b2=16，所以c=4，

所以|MF1|=|F1F2|=2c=8.

因?yàn)閨MF1|+|MF2|=2a=12,所以|MF2|=4.

【思路二】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)M在橢圓上聯(lián)立方程組求解.

因?yàn)閍2=b2+c2，所以c=4，即F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，

因?yàn)镸為C上一點(diǎn)且在第一象限，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM)(xM>0,yM>0)，

因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以|MF1|=|F1F2|=8，

【思路三】作垂線，利用向量垂直的數(shù)量積為0及點(diǎn)M在橢圓上聯(lián)立方程組求解.

如圖，設(shè)M(m,n)(m>0,n>0)，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于P，過(guò)點(diǎn)F1作F1Q⊥MF2于Q，

【思路四】作垂線，利用三角形相似、三角函數(shù)的定義求解.

因?yàn)閍2=b2+c2，所以c=4，即F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，

因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以|MF1|=|F1F2|=8，

由橢圓的定義知|MF2|=4，

如圖，設(shè)M(m,n)(m>0,n>0)，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于P，過(guò)點(diǎn)F1作F1Q⊥MF2于Q，

所以Q為MF2的中點(diǎn)，

【思路五】利用余弦定理及三角函數(shù)的定義求解.

因?yàn)閍2=b2+c2，所以c=4，即F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，

因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以|MF1|=|F1F2|=8，

由橢圓的定義知|MF2|=4，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM)(xM>0,yM>0),

【思路六】利用余弦定理、同角三角函數(shù)間的關(guān)系求直線MF1的方程，并與點(diǎn)M在橢圓上聯(lián)立方程組求解.

因?yàn)閍2=b2+c2，所以c=4，即F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，

因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以|MF1|=|F1F2|=8，

由橢圓的定義知|MF2|=4，

【思路七】作線取點(diǎn)，利用△AF1O∽△MF1B求解.

因?yàn)閍2=b2+c2，所以c=4，即F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，

因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以|MF1|=|F1F2|=8，

由橢圓的定義知|MF2|=4，

如圖，設(shè)MF1與y軸交于A，作MB⊥x軸于B，

所以|OB|=3，

【思路八】利用余弦定理求cos∠MF1F2，|OM|，用參數(shù)α設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系求解.

因?yàn)閍2=b2+c2，所以c=4，即F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，

因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以|MF1|=|F1F2|=8，

由橢圓的定義知|MF2|=4，

在△MF1O中，由余弦定理得

所以|OM|2=36cos2α+20sin2α=24，又因?yàn)閟in2α+cos2α=1，

【思路九】利用余弦定理求cos∠MF2F1，|OM|，用參數(shù)α設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系求解.

因?yàn)閍2=b2+c2，所以c=4，即F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，

因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以|MF1|=|F1F2|=8，

由橢圓的定義知|MF2|=4，

如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為D，連接OM，MD，過(guò)點(diǎn)M作MB⊥x軸于B，

在△MF1O中，由余弦定理得

在△MF2D中，由余弦定理得

二、變式探究

【解析】依題意，由△OMA為等腰直角三角形可知OM⊥AM，

【解析】依題意，由△OMF為等腰直角三角形可知OM⊥FM或OF⊥FM.

因?yàn)閑∈(1，+∞)，

三、高考題追蹤

( )

思路分析：先根據(jù)條件得|PF2|=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.

【解題思路】因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以|PF2|=|F1F2|=2c,

四、教材探源

【人教A版選修1-1第42頁(yè)習(xí)題2.1A組2(1)】寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

【人教A版選修1-1第42頁(yè)習(xí)題2.1A組5(2)】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0).

五、模擬題追蹤

【解題思路】①當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，△F1F2P構(gòu)成以|F1F2|為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿足條件的等腰△F1F2P；

【點(diǎn)評(píng)】橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P使得△F1F2P為等腰三角形，6個(gè)不同的點(diǎn)有2個(gè)為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，另外4個(gè)分別在第一、二、三、四象限，且上下對(duì)稱左右對(duì)稱，要注意分情況討論.

【模擬題探究2】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_______.

【解題思路1】由于△F1PF2是等腰直角三角形，所以|F1F2|=|PF2|，

因?yàn)閍2=b2+c2，所以2ac=a2-c2，

【點(diǎn)評(píng)】比較以上兩種方法，第一種解法靈活運(yùn)用了“通徑”這個(gè)二級(jí)結(jié)論，但計(jì)算量較大；第二種解法較常規(guī)，用到了橢圓的定義，過(guò)程簡(jiǎn)潔易懂.

( )

【解題思路】設(shè)直線PF1與圓相切于點(diǎn)M，因?yàn)閨PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2為等腰三角形，

六、2020備考策略

《考試大綱》明確指出解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，圓錐曲線的方程與性質(zhì)是考查的重點(diǎn).2020年備考圓錐曲線的方程與性質(zhì)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.分析近幾年高考的命題趨勢(shì)；

2.重視教材中的典型例題、習(xí)題；

3.夯實(shí)解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)；

4.有效掌握解決解析幾何問(wèn)題的方法.將數(shù)與形結(jié)合起來(lái).將解析幾何知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)；

5.強(qiáng)化運(yùn)算能力.