排列組合的解題技巧
——合理分類和分步，講策略重模型

廣東

排列組合是研究在一定條件下完成某事的方法數，是組合數學的重要內容，也是中學階段學習和計算概率的基礎.其題型繁多，靈活多變，解題方法獨特.解決排列組合應用問題，一是要重點處理好分類和分步原則，二是要掌握常見的基本策略，三是要積累模型，靈活運用.本文以近幾年全國卷的高考真題和各地的模擬試題為例進行說明.

一、基本思想和原則：合理分類，準確分步，遵循先選后排原則

處理排列組合問題的基本思想是先選元素后排列，基本原則是按元素的性質進行分類和按事件發生的連續過程進行分步.對于含有約束條件的計數問題，應合理分類，準確分步，做到不重不漏，層次清晰.

例1.(2018·全國卷Ⅰ理·15)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種.(用數字填寫答案)

【點評】根據題意本題可分成兩類，一類是有1位女生入選，另一類是有2位女生入選，然后在每類中準確分步，做到不重不漏.

例2.(2019·全國卷Ⅰ理·6)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

( )

【點評】本題以古代典籍《周易》的“卦”為背景設置了一道概率題目，本質是排列組合問題.在計算基本事件的總數時，利用了分步乘法計數原理；在計算事件M包含的基本事件的個數時，實質上是遵循先選后排原則，最后利用古典概型公式計算出結果.

二、排列組合問題常用的解題策略

1.特殊優先策略

如果問題中有特殊元素或者特殊位置，應優先安排特殊元素或者特殊位置，再考慮其他非特殊元素或位置.

例3.要排出某班一天中語文、數學、英語、物理、化學和生物6門課各一節的課程表，要求語文排在前2節，數學不排在第5節，則不同的排列種數是多少？

【點評】特殊優先策略有兩種處理方法：一是給元素找位置，二是給位置找元素.上述解題思路體現了兩個特殊元素優先安排的策略，也可以考慮從特殊位置的角度入手，即前2節選1節排語文，在第5節排英語、物理、化學和生物中的1門，最后排其他4門課程.

2.相鄰問題——捆綁處理的策略

當計數問題要求的某幾個元素必須相鄰或排在一起時，常常采用捆綁法，即將需要相鄰的元素視為一個整體或新元素，再與其他元素一起排列.

例4.3對雙胞胎站成一排，要求每對雙胞胎都相鄰，則不同的站法種數是________.(用數字作答).

【點評】對于相鄰問題，常采用捆綁處理的策略，具體做法是先捆后排，被捆綁后的整體中各元素也必須排列.

3.不相鄰問題——插空分隔策略

對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決.

例5.現有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數為

( )

【點評】不相鄰問題常采用插空法處理，可理解成先排列自由元素，再插入不相鄰元素，從而借助自由元素實現對相鄰元素的分離.

4.定序問題——除法倍縮策略

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總的排列數除以這幾個元素的全排列數，這就是除法倍縮策略.

例6.甲、乙、丙等6個人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同側，則不同的排法共有

( )

A.480種 B.240種

C.120種 D.360種

【點評】本題采用除法倍縮策略進行解題，直觀形象，簡便易操作，不易遺漏.

5.正難則反——間接計數策略

正難則反是指直接求解較為困難，則先不考慮元素的附加條件，把所有排列和組合數計算出來，再排除不符合要求的情況，從而間接求出滿足條件的結果.

例7.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有幾種？

【點評】使用間接計數策略的要點是必須把不合要求的排列或組合排除干凈，既不能遺漏也不能重復.

6.不同元素的分組分配問題——先分組后分配策略

將n個不同元素按照某些條件分配給k個不同的對象這類分配問題，常見的處理策略是先分組后分配，即先將n個不同元素分成k組(涉及組合問題)，再分配給k個不同的對象(涉及全排列問題).

例8.將6個人分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的4個不同場館服務，不同的分配方案有________種.

7.相同元素的分組分配問題——隔板法

例9.某校準備參加2019年高中數學聯賽，把12個選手名額分配到高三年級的1～4班，

(1)每班至少一個名額，不同的分配方案共有多少種？

(2)若每班名額不少于該班的序號數，則不同的分配方案共有多少種？

【點評】名額分配問題適用于相同元素的分配，利用隔板隔成若干份，不同份對應著不同的分配數量，要注意區分好此類問題與前面不同元素分配問題的差異.

三、積累模型，靈活運用

針對一些不易理解的排列組合問題，如果能轉化為我們熟悉的模型，靈活運用上述常見解題策略，可使問題更直觀，達到化繁為簡的目的.常見的模型有:

1.定序模型

例10.元宵節燈展后，如圖懸掛有9盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，共有________種不同取法.(用數字作答)

【點評】本題的實質是定序模型，根據前面所講，解決定序模型常見的策略是除法倍縮策略.

2.排隊模型

例11.馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，先要關掉其中的3盞，但不能關掉相鄰的2盞或3盞，也不能關掉兩端的2盞，求滿足條件的關燈方法有多少種？

【點評】本題的實質是一個排隊模型，通過模型等價轉化，可以使生疏問題熟悉化，抽象問題具體化，困難問題簡單化.

3.球放盒子模型

①不同球放入不同盒子——先分組后分配

將n個不同的球放入k個不同的盒子，實質上就是上述中不同元素的分組分配問題，其基本策略是先分組后分配.

例12.(2017·全國卷Ⅱ理·6)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有

( )

A.12種 B.18種

C.24種 D.136種

【點評】本題涉及不同球放入不同的盒子，通過先分組后分配策略，可以達到有效解題的目的.

②相同球放不同盒子——隔板分配策略

例13.為預防和控制甲型流感，某學校醫務室欲將23支相同的溫度計分發到高三年級10個班級中，要求分發到每個班級的溫度計不少于2支，則不同的分發方式共有( )種.

A.120 B.175

C.220 D.820

排列組合題目題型多變，在做題的過程中要明確不同排列組合問題的解題策略，掌握解決問題的正確思路和方式，靈活運用這些策略進行解題.對于較為復雜的排列組合問題，我們還要認真分析，合理分類和分步，講策略重模型，合理等價轉化，可以達到事半功倍的效果.