穿插章末專題復習，提升高三一輪效能
——以“三角形中的最值問題”為例

江蘇

一、問題提出

在高三一輪復習期間，學生們往往是有題就做，不對知識和方法進行梳理，頭腦中的方法是孤立和零散的，如此反復的訓練,不僅沒能形成自己的解題思維，反而造成思維僵化.如果教師們的教學又僅停留在就題講題的層面，就不能促使學生對解題方法形成結構化，從而導致學生有很多方法聯想不起來或選用不合理，一輪復習后學生的學習就會停滯不前，提升空間很小.

“章末專題”復習是指對某一章內容進行過一輪復習后，圍繞本章復習的重點和關鍵點進行設計，以一個主題為研究中心,從“最原始”的概念開始,利用具有緊密相關性的知識和方法形成專項研究的一種教學方法,其具有見微知著的功效，能夠有效幫助學生建立知識間的聯系，促進學生高效學習.筆者所在學校的高三備課組，為了使復習更具成效，讓學生及時對一章內容的基本問題進行歸類，在短時間內習得解決一類問題的方法，通過研究和實踐，提出了在一輪復習中穿插章末專題的復習模式，收效顯著.以下筆者以“三角形中的最值問題”的教學為例，談談具體做法，不妥之處還請批評指正.

二、專題復習的設計

1.問題歸類，聯想方法

教師對專題中的基本問題進行歸類，確定解決此類問題完整、清晰的方法，遵循“先方法后選題”的原則，編制課前檢測(以下簡稱：前測)訓練內容，要求一個基本問題對應一個題目，或者一題多問，選取的題目要與方法直接對應，并要求學生利用課外時間獨立完成.這樣不僅可以了解學生對本專題的掌握情況，而且還能幫助學生通過題目對問題進行歸類，發現一類問題的基本特征，聯想出相關的結論或方法.基本操作流程如下：

教師準備：

制定學習目標

↓

根據“先方法后選題”的原則編寫前測

學生準備：

↓

學生利用課外時間獨立完成前測

↓

學生形成對一類問題基本特征的認識

↓

上交反饋

教師準備：

↓

批改,了解學情，挑選樣本

“三角形中的最值問題”的基本問題大致有三類:(1)與角有關的最值問題；(2)與邊有關的最值問題；(3)與周長或面積有關的最值問題.其處理思路有以下三個方向：思路1，化角處理，即利用正余弦定理、三角形邊長的隱含條件等將邊化為角，最終轉化為求三角函數的最值問題；思路2，化邊處理，即利用正余弦定理、三角形內邊的隱含條件等將角化為邊，最終轉化為一元函數求最值或者轉化為二元函數利用基本不等式處理；思路3，結合圖形特征，化為平面幾何或解析幾何模型，最終利用幾何性質，通過數形結合解決最值問題.基于以上分析，筆者選擇如下3道前測試題.

(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊.若acosB=2bcosA，則tan(A-B)的最大值為________.

(2)在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊.若3acosC+b=0，則tanB的最大值是________.

分析：前測(1)對應思路1，前測(2)對應思路2，前測(3)對應思路3，學生通過前測3個問題的解決，不僅回顧了解決這類問題的思路，還形成了對這類問題的基本特征的認識.前測的設置不僅促進了學生的“學”，而且還促進了教師的“教”，教師通過及時批改前測試題，很好地診斷了學生的學情，進而及時調整自己的教學.

2.師生對話，提煉方法

對數學問題的有效解決不僅僅表現為對問題的思考，學生與老師、學生與學生之間對問題的深度對話，更是對數學實質的一種思辨和表達；有效的生生和師生對話不僅能縮短師生之間、生生之間的思維落差，以實現思維同頻共振、互動耦合、螺旋上升，也能讓學生從知識到方法，再到運用中形成數學思想.通過前測的3道題的訓練及學習展示的樣本方法，學生已經初步了解本專題要研究的基本問題和基本方法，因此，在本環節中，教師要因勢利導，提出問題，引發生生、師生的深度對話，在對話中互相修正、補充、啟發，從而激發學生的認知活動，最終共同構建出解決此類問題的方法結構圖，達到對方法的整體認識.

教學片斷1：

師：通過對前測的訓練與思考，結合剛剛展示的幾位同學的解題方法，大家對這類問題有什么認識？先進行組內討論.

生1：這類最值問題可分為求角的最值(如前測1、2)、求邊的最值、求面積的最值(如前測3)三種類型.

生2：處理這類問題，需要用到正、余弦定理，三角形內角和定理、三角形面積公式、輔助角公式和基本不等式等知識.

生3：通過自己的思考和學習，發現解決這類問題基本上有三種思路：一是邊化角，轉化為三角函數最值問題；二是角化邊，轉化為一元函數或二元函數的最值問題；三是結合圖形特征，化為平面幾何或解析幾何模型.

生4：根據已知條件和問題的特征合理選擇三種思路.一般地，當題目條件所給的邊或者正弦值為齊次式時，可以運用正弦定理進行邊角轉化.而如果出現邊的二次或者兩邊之積時，符合余弦定理的特征，則可考慮用余弦定理進行邊角轉化.當然，當三種思路均可行時，選擇運算簡潔又能講清楚、寫明白的思路.

師：生4為我們解這類題提供了清晰的解題方向.同學們，發揮你們的聰明才智，能不能將生4提供的方法以結構圖的形式呈現呢？

最終通過生生、師生對話和教師的及時幫助，形成如下可操作的方法結構圖：

分析：通過生生、師生的深度對話，引入解題方法結構圖，既方便學生解題時操作，也方便課后復習，還可以讓學生對解題方法的形成過程有深刻的體會，幫助學生理清問題、已經儲存的主要知識點和零散的解題方法之間的聯系，在解題時迅速遷移出所儲備的知識和方法，產生方法聯想，讓學生學會思考數學問題，進而形成自己的解題思維.

3.選擇方法，解決問題

雖然學生在頭腦中儲備了方法結構，但涉及綜合性問題，學生會出現無法歸類，無法與方法結構建立聯系，或歸類后無法判斷哪種方法更合理、更簡潔的問題.因此，教師可以選擇涉及幾類問題或多種思路的綜合問題進行例題教學，教師通過回歸方法結構，引導學生對例題進行類型識別、回歸方法結構聯想方法.如“三角形中最值問題”設置如下的例題.

例：已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b+c=2a且a=6，求△ABC面積的最大值.

利用方法結構圖中的三種思路，得到如下解題方法：

分析：通過回歸方法結構，學生學會將新問題與已有的方法結構建立聯系，進而更準確、更迅速地提取方法，促進思維聯想的針對性和有效性，從而達到方法結構的遷移.更重要的是通過回歸方法結構，對問題進行多視角探究，學生的思維得到了鍛煉，分析問題和解決問題的能力得到了提升，這對于學生是終身受益的.

4.反饋練習，提升素養

現代系統科學的反饋理論指出：任何系統只有通過反饋信息，才能實現控制，教學也是如此.在課后，教師通過采取科代表普查、教師抽查等形式來監督學生及時對專題講義進行整理，并運用各種解法重新試做一遍講義上的例題，理解方法的選擇和優化,為學生回歸方法結構提供重復、可見的資料，加強對認知結構的鞏固.除此之外，教師還會依據本專題所涉及的方法選擇小題和涉及幾類問題或幾種方法的綜合問題，設置反饋練習，練習一般以10道題左右為宜，促進學生對本專題的方法結構的鞏固，提高學生回歸方法結構的意識.對反饋練習進行講評時，應基于講義中的方法結構聯想，以方法結構作為遷移點，不斷引導學生聯想與回歸，突出方法結構的應用，提升方法結構應用的針對性.還應引導學生每周安排時間復習方法結構，分析錯誤原因，思考方法的選擇和優化，回顧方法結構，加強對知識遷移的鞏固.

三、結束語

總之，高三的一輪復習不應只是對知識點和方法的簡單重復，應該做到在溫故知新的基礎上，進一步豐富學生的方法聯想能力，構建方法結構的章末專題復習模式，不僅讓學生對解決一類問題的基本方法形成結構，還讓學生學會通過回歸已有的認知結構，將復雜問題簡單化，簡單問題明朗化，這對突破學生的數學思維障礙起到極其重要的作用.